立足數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)設(shè)計(jì)案例
——以“雙曲線與直線的位置關(guān)系”為例

◎辛蘭萍(山東省聊城市第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校，山東 聊城 252800)

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)倡導(dǎo)自主、合作、探究學(xué)習(xí)，注重學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，要求學(xué)生參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，并在具體的情境中，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、推理等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)對象的某些特征與其他對象的區(qū)別與聯(lián)系.美國著名的哲學(xué)家、教育家杜威認(rèn)為：知識的獲得不是個(gè)體旁觀的過程，而是探究的過程，探究是主體在與某種不確定的情景相聯(lián)系時(shí)所產(chǎn)生的解決問題的行動(dòng).在行動(dòng)中，知識不是存在于旁觀者的被動(dòng)的理解中，而是表現(xiàn)為主體對不確定情景的積極反應(yīng).知識是個(gè)體主動(dòng)探究的結(jié)果.”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的實(shí)質(zhì)是：教師創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)問題情景，學(xué)生自己動(dòng)手操作，把靜態(tài)的灌輸學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)探究，利用計(jì)算機(jī)等媒介，以數(shù)學(xué)理論為原理，以數(shù)學(xué)素材為對象，通過數(shù)值分析、圖形演示等來實(shí)例分析，開展探究性問題的教與學(xué).下面本文以“雙曲線與直線的位置關(guān)系”為例開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課.

一、課前準(zhǔn)備

教師給每臺電腦安裝好GeoGebra，并對學(xué)生進(jìn)行必要的技術(shù)培訓(xùn)，制作實(shí)驗(yàn)報(bào)告單(如下表).

實(shí)驗(yàn)名稱雙曲線與直線的位置關(guān)系實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)、人員指導(dǎo)教師日期實(shí)驗(yàn)器材電腦(每個(gè)同學(xué)一臺)、希沃電子白板、希沃助手、Geo-Gebra等實(shí)驗(yàn)原理:在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)環(huán)境下,利用GeoGebra平臺創(chuàng)建過定點(diǎn)直線系,通過改變滑動(dòng)條,觀察雙曲線與直線相離、相切、相交的位置關(guān)系,應(yīng)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),從特殊到一般,結(jié)合以數(shù)論形、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想總結(jié)出雙曲線與直線的位置關(guān)系實(shí)驗(yàn)步驟:(1)學(xué)生打開GeoGebra和教師同步作圖;(2)繪制雙曲線x2a2-y2b2=1及直線y=kx+b的圖像;(3)通過創(chuàng)建滑動(dòng)條k,改變直線的斜率,探索直線y=kx(過原點(diǎn)的直線系)與雙曲線x2a2-y2b2=1相離、相切、相交時(shí)滿足的條件;(4)通過滑動(dòng)條,改變直線的斜率,探究直線y=k(x-2a)[過雙曲線張口內(nèi)部定點(diǎn)(2a,0)的直線]與雙曲線x2a2-y2b2=1相離、相切、相交時(shí)滿足的條件;(5)通過滑動(dòng)條k,改變直線的斜率,探究直線y=kx-1[過定點(diǎn)(0,1)的直線系]與雙曲線x2a2-y2b2=1相離、相切、相交時(shí)滿足的條件;(6)應(yīng)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),從特殊到一般,借助數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想總結(jié)出雙曲線與直線的位置關(guān)系

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理表(一)斜率交點(diǎn)個(gè)數(shù)雙曲線與直線的位置關(guān)系實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理表(二)斜率交點(diǎn)個(gè)數(shù)雙曲線與直線的位置關(guān)系實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理表(三)斜率交點(diǎn)個(gè)數(shù)雙曲線與直線的位置關(guān)系實(shí)驗(yàn)心理體會(huì):

二、教學(xué)過程

1.借助信息技術(shù)，創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)問題情景，教師播放雙曲線與直線的動(dòng)態(tài)圖像并提出問題

問題1：根據(jù)動(dòng)畫演示，觀察圖像，可以發(fā)現(xiàn)雙曲線與直線有幾種位置關(guān)系？分別從什么角度來判斷？

圖1

學(xué)生1：通過觀察圖像，可以發(fā)現(xiàn)雙曲線與直線有三種位置關(guān)系，分別是相離、相切、相交.

教師：這位同學(xué)從直觀上得到了三種位置關(guān)系，回答得非常正確.

問題2：還有其他的判定雙曲線與直線的位置關(guān)系的方法嗎？

學(xué)生2：將雙曲線與直線方程聯(lián)立得到方程組，消去一元，得另一元的二次方程，然后根據(jù)其判別式的符號判定相離、相切、相交.

教師：這位同學(xué)從代數(shù)(方程)的角度類比橢圓與直線的位置關(guān)系的判定方法，回答得非常棒，掌聲鼓勵(lì).兩位同學(xué)分別從幾何圖形、代數(shù)方程的角度對問題進(jìn)行了闡述.下面老師指導(dǎo)同學(xué)們通過作圖進(jìn)行下面的實(shí)驗(yàn)探究，并填寫相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)報(bào)告單.

2.實(shí)驗(yàn)探究，小組合作交流，實(shí)驗(yàn)成果展示

教師選一名同學(xué)將其電腦桌面投屏到希沃電子白板演示其操作，并進(jìn)行總結(jié)發(fā)言.(自主探究、小組交流、成果展示)

圖2

圖3

當(dāng)滑動(dòng)條k=0.2和k=1.7的時(shí)候，我們分別得到上面兩種情況，將其推廣到一般情況，并填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告單(一).

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理表(一)斜率交點(diǎn)個(gè)數(shù)雙曲線與直線的位置關(guān)系|k|≥ba無交點(diǎn)相離|k|

教師將上述直線的定點(diǎn)變化為雙曲線張口區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，以點(diǎn)(2a，0)為例進(jìn)行下面的實(shí)驗(yàn)探究.

2.2 探究直線y=k(x-2a)[過雙曲線張口內(nèi)部定點(diǎn)(2a，0)的直線系]與雙曲線相離、相切、相交時(shí)滿足的條件

根據(jù)第一個(gè)實(shí)驗(yàn)操作步驟，同學(xué)們通過滑動(dòng)條k的變化，很容易完成下面的實(shí)驗(yàn)報(bào)告單.

教師：在指令欄輸入直線方程y=k(x-2a)，表示過定點(diǎn)(2a，0)的直線系，創(chuàng)建滑動(dòng)條k，通過播放動(dòng)畫演示，觀察兩者位置變化，并完成下列實(shí)驗(yàn)報(bào)告單(二).(自主探究、小組交流、成果展示)

圖4

圖5

圖6

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理表(二)斜率交點(diǎn)個(gè)數(shù)雙曲線與直線的位置關(guān)系|k|=ba一個(gè)交點(diǎn)相交(直線與漸近線平行)|k|ba兩個(gè)相交(交點(diǎn)位于同一支上)

教師將上述直線的定點(diǎn)變化為雙曲線張口外的兩漸近線之間的點(diǎn)，以此為例進(jìn)行下面的實(shí)驗(yàn)探究.

2.3 探究直線y=kx-1[過定點(diǎn)(0，1)的直線系]與雙曲線相離、相切、相交時(shí)滿足的條件

教師：下面請大家將滑動(dòng)條m調(diào)到m=1，通過滑動(dòng)條改變k的數(shù)值，觀察雙曲線與直線的位置關(guān)系，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果填入實(shí)驗(yàn)報(bào)告單.

教師選一名同學(xué)將其電腦桌面投屏到希沃電子白板，并演示其操作，同時(shí)進(jìn)行總結(jié)發(fā)言.由上面的實(shí)驗(yàn)操作，同學(xué)們很快觀察到雙曲線漸近線的作用，并能夠操作發(fā)現(xiàn)位置關(guān)系的變化規(guī)律.

圖7

圖9

圖10

當(dāng)滑動(dòng)條k=1、k=0.5、k=2.1時(shí)分別得到上面三種情況.學(xué)生通過動(dòng)手操作，移動(dòng)滑動(dòng)條，不但發(fā)現(xiàn)了直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，兩者相交，交點(diǎn)只有一個(gè)，而且有同學(xué)發(fā)現(xiàn)了上面的第四種情況，直線與雙曲線相切的時(shí)候，先預(yù)設(shè)ko，小組合作交流，勇于發(fā)言，同學(xué)們提出聯(lián)立方程組可以求出相切時(shí)的直線斜率，課堂上同學(xué)們通過如下推導(dǎo)：

消元并整理得(1-k2)x2+2kx-5=0

學(xué)生由此得到過定點(diǎn)(0，1)的直線與雙曲線相切時(shí)的情況.還有同學(xué)觀察到當(dāng)交點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)的相交情況有兩種：兩交點(diǎn)分別在雙曲線的兩支上和兩交點(diǎn)都在雙曲線的同一支上.教師引導(dǎo)學(xué)生，點(diǎn)擊交點(diǎn)選項(xiàng)，作出直線與雙曲線的交點(diǎn)，通過啟動(dòng)滑動(dòng)條k的動(dòng)畫演示，進(jìn)一步明確了過定點(diǎn)(0，1)的直線系與雙曲線的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生將此結(jié)論推廣到一般的過定點(diǎn)(0，m)的直線系y=kx+m與雙曲線的位置關(guān)系，并將結(jié)論填入實(shí)驗(yàn)報(bào)告單(三).

3.教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂總結(jié)(實(shí)驗(yàn)心理體會(huì))

(1)雙曲線與直線的位置關(guān)系判斷方法：

①通過畫圖像觀察，特別注意三種特殊位置關(guān)系，與坐標(biāo)軸平行、與漸近線平行、與雙曲線相切的情況，通過動(dòng)態(tài)變化，判斷其位置關(guān)系.

②聯(lián)立方程組，特別注意消元整理后得到的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，需要對二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論，然后根據(jù)判別式的情況來判斷交點(diǎn)情況.

(2)直線與曲線相交并不一定有兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)只有一個(gè)并不一定是相切關(guān)系.

(3)體會(huì)到從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想.

(4)通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)操作，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)是很有趣的.

三、教學(xué)反思

1.立足核心素養(yǎng)，反思學(xué)生發(fā)展

教師要踐行生態(tài)課堂，尊重知識的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律，尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.在研究雙曲線與直線的位置關(guān)系時(shí)，學(xué)生從特殊位置到一般情況，腦中有圖形，再結(jié)合代數(shù)方程思想研究相切情況；應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，將兩者雜而亂的位置關(guān)系整理得非常清晰，從而降低了難度，并且通過親自動(dòng)手操作，勇于探究實(shí)驗(yàn)，思考與動(dòng)手操作的積極性非常高，這節(jié)課收獲頗多.圖像上的直觀感受，再加上代數(shù)方程方面的計(jì)算，使同學(xué)們對錯(cuò)綜復(fù)雜的雙曲線與直線的位置關(guān)系有了進(jìn)一步的認(rèn)識和提高.本節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課充分調(diào)動(dòng)了同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高了學(xué)生運(yùn)用從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法的自覺性，并且進(jìn)一步發(fā)展了學(xué)生思維的嚴(yán)密性和靈活性.

2.立足學(xué)生生成，反思教學(xué)設(shè)計(jì)

本節(jié)“雙曲線與直線的位置關(guān)系”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)與探索，教師在實(shí)驗(yàn)操作、探究問題、合作交流的過程中不但培養(yǎng)了學(xué)生動(dòng)手操作、細(xì)致觀察的能力，而且培養(yǎng)了學(xué)生的表達(dá)能力和數(shù)學(xué)概括能力，以及質(zhì)疑問題和獨(dú)立解決問題的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在學(xué)生獨(dú)立計(jì)算過程中，學(xué)生情緒飽滿，思維活躍，并不是被動(dòng)地去接受新知，而是非常積極主動(dòng)地去探索新知，筆者認(rèn)為這是本節(jié)實(shí)驗(yàn)課最成功的地方.

3.數(shù)形結(jié)合與深度學(xué)習(xí)

華羅庚先生說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”學(xué)生在數(shù)和形兩方面同時(shí)把握，不僅有直觀的想象，更有深刻的理解、深入的思維和深切的體驗(yàn).比如在探究中，教師通過GGB展示，讓學(xué)生能夠直觀想象，然后通過推理求證得出具體的數(shù)值，合情合理，有理有據(jù)，深入人心.

4.不足之處，反思理念改革

筆者認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)過程還有不足的地方，主要在于學(xué)生在對GeoGebra軟件的操作上有些難度.我認(rèn)為這并不是障礙，對于這種既方便又容易操作的數(shù)學(xué)軟件，本節(jié)課只是起到拋磚引玉的作用，隨著逐步的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)該很容易熟練操作.本節(jié)課研究過定點(diǎn)直線系的定點(diǎn)屬于下面的前兩類點(diǎn)，后面的兩種情況由同學(xué)們課下探究.

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