GeoGebra可視化數(shù)學軟件支持下的圓錐曲線定義性質(zhì)探究

◎強德平(甘肅省蘭州市第五十一中學，甘肅 蘭州 730000)

一、引 言

什么是圓錐曲線？用一個水平平面去截圓錐，得到的截口曲線是圓(如圖1).古希臘人發(fā)現(xiàn)，如果改變平面的角度，會得到橢圓、雙曲線、拋物線等一系列曲線，人們便將這些從圓錐中截取而來的曲線稱之為圓錐曲線.我們利用GeoGebra中的滑動條按鈕，改變平面的傾斜度，會清晰地看到這三種曲線.根據(jù)原始定義，我們會發(fā)現(xiàn)這樣的曲線有橢圓(如圖2)、拋物線(如圖3)，如果我們在圓錐頂部再放置一個等大的圓錐，會得到新的截口曲線——雙曲線(如圖4).

圖1

圖2

圖3

圖4

雖然圓錐曲線的原始定義很好地交代了曲線的來源和命名的理由，但是無法讓學生準確理解圓錐曲線的原始定義和第一定義之間的關系.例如橢圓的定義為：平面上到兩定點的距離等于定值的動點的軌跡，其中定值大于兩定點間的距離.我們利用GeoGebra動態(tài)數(shù)學軟件，構(gòu)建Dandelin雙球模型，可以直觀地解釋這個問題.

二、橢圓定義研究

如圖5，在圓錐內(nèi)部放兩個球，使其分別和圓錐表面和截面相切，將兩個球和截面的切點分別記為F1,F2.下面說明截面與圓錐的截面：在截面曲線上任取一點P，過點P作圓錐的母線切兩圓于E,F兩點，由圓外一點作切線的性質(zhì)可知，|FP|=|F1P|，|EP|=|F2P|，因 |EP|+|EF|為定值，所以|F1P|+|F2P|為定值，得證.

圖5

三、雙曲線定義研究

如圖6，在對頂放置的兩個圓錐內(nèi)部放兩個球，使其分別和圓錐表面和截面相切，將兩個球和截面的切點分別記為F1,F2.下面說明截面與圓錐的截面：

圖6

在截面曲線上任取一點P，過點P作圓錐的母線切兩圓于E,F兩點，由圓外一點作切線的性質(zhì)可知，|FP|=|F1P|，|EP|=|F2P|，因|EP|-|EF|為定值，所以|F1P|-|F2P|為定值，得證.

四、拋物線定義研究

拋物線推導過程與前兩者略有不同，下面先給出等價標準定義：如圖7，根據(jù)拋物線定義可知，|PF|=|PB|，等價于|PF|=|PP′|+|AF|.

圖7

如圖8，在圓錐內(nèi)放置一球，使其和圓錐表面和截面相切，和圓錐相切的部分為圖中黑色圓，和截面相切于點P，下說明截面與圓錐的截面.過點A作圓錐的母線BC，連接A、F并延長交圓錐底面與截面的交線于點D，過點A作圓錐底面與截面的交線的平行線，在截面曲線上任選一點P，過點P作AD的平行線PP′，顯然|PP′|=|AD|.作圓錐的母線EP.由截面與球相切可知，三角形ADC為等腰三角形，所以|AD|=|AC|，由球面切線性質(zhì)可知，|EP|=|BC|，|EP|=|FP|，|AF|=|AB|.所以|PP′|+|AF|=|AC|+|AB|=|BC|=|PF|，得證.

圖8

五、光學性質(zhì)探究

在圓錐曲線的眾多性質(zhì)中，光學性質(zhì)是最為重要和應用最為普遍的性質(zhì).橢圓的光學性質(zhì)是：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點.我們利用GeoGebra軟件中的點反射工具、迭代與迭代列表指令，可以形象地描述這一性質(zhì).如圖9，我們可以清晰地看到，從焦點中射出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，會經(jīng)過另一個焦點.雙曲線的光學性質(zhì)是：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線是散開的，它們的反向延長線經(jīng)過另一個焦點，如圖10.拋物線的光學性質(zhì)是：從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸，如圖11.

圖9

圖10

圖11

六、圓錐曲線光學性質(zhì)的證明

1.橢圓

圖12

2.雙曲線

圖13

3.拋物線

圖14

關于圓錐曲線的光學性質(zhì)，在傳統(tǒng)教學概念中，教師是直接給出的，學生缺乏直觀感受.而幾何知識恰恰與光學性質(zhì)緊密聯(lián)系，我們利用GeoGebra動態(tài)數(shù)學軟件，可以動態(tài)刻畫光的路徑，教會學生用數(shù)學的眼光觀察世界.此外，學生體悟了圓錐曲線的光學性質(zhì)后，將會對數(shù)學之美和數(shù)學之用產(chǎn)生深刻印象.

七、結(jié)束語

數(shù)學難教、難講、難理解，原因是其具有高度的概括性和抽象性.在具體的教學過程中，如果教師對于學生好奇的地方模糊處理，不僅不利于學生理解學習概念，還會對學生探究、想象和抽象能力的培養(yǎng)造成阻礙.在信息時代，GeoGebra動態(tài)數(shù)學軟件的應用，為數(shù)學抽象概念的學習搭建了良好的平臺.本文所研究的內(nèi)容，其優(yōu)勢在于：一是將抽象的圓錐曲線截取定義可視化，便于學生理解知識的起源過程；二是將動態(tài)定義中的定量關系靈活轉(zhuǎn)化，便于學生理解知識的原理規(guī)律；三是將動態(tài)表征靈活處理，通過旋轉(zhuǎn)、縮放、迭代等方式，增強學生的直觀感受.在課堂教學中，教師深度挖掘GeoGebra動態(tài)數(shù)學軟件的輔助功能，將讓學生的直觀想象能力得到深度培養(yǎng)，使其具備解決問題的能力.