關于Cauchy收斂原理的幾何解釋在教學中的應用

◎姚衛紅(上海交通大學數學科學學院，上海 200240)

一、內容介紹

關于微積分(高等數學)的教學，有很多經典的理論，例如實數的完備性六大定理，其中，確界存在定理、單調有界必有極限、區間套定理、聚點存在定理的幾何意義非常明顯.教師在教學中可以配合幾何解釋，加深同學們的印象.我認為比較有難度的是Cauchy收斂原理，它是六大定理中唯一一個充分必要的結論，對學生未來的學習意義重大.非數學專業的教學不見得要給出證明，但是可以講一講當初柯西是怎么想到的(這對培養和啟發同學們的數學興趣很有意義)，有什么劃時代的意義，當初數學家的靈感來自哪里.一般來說，靈感是受到了幾何意義的啟發.所以，用幾何的方法解釋和證明定理的結論非常重要.我們知道，收斂的數列一定有界，有界不見得收斂.但是，有界而不收斂的數列一定不止一個聚點，換句話說，一定至少存在兩個不同的聚點.這種情況肯定不是柯西列.

二、基本知識

定義1 設S為數軸上的點集，ξ為定點 (它可以屬于S，也可以不屬S)．ξ的任何鄰域內都含有S中無窮多個點，則稱ξ為點集S的一個聚點．

聚點概念的另兩個等價定義如下：

定義1’ 對于點集S，若點ξ的任何ε鄰域內都含有S中異于ξ的點，即U0(ξ;ε)∩S≠Φ，則稱ξ為S的一個聚點．

下面我們介紹魏爾斯特拉斯(Weierstrass)聚點定理．

定理 實軸上的任一有界無限點集S至少有一個聚點．

推論1 (致密性定理)有界數列必含有收斂子列．

說明：若{an}中有無限多個相等的項，即存在完全相同的項組成的子序列，設為{akn}，則點a=akn也是數列{an}的聚點.

推論2 有界數列收斂當且僅當僅有一個聚點.

證明：因為數列收斂的充要條件是其任何子列都收斂到相同的值，而這個值一定是數學的聚點，所以，有界數列收斂當且僅當僅有一個聚點.

Cauchy收斂準則 —— 數列收斂的充要條件:

1.回顧基本列概念( 基本列亦稱為Cauchy列)

基本列: 設{an}是一個數列，若對任意給定的ε>0，有一正整數N，當m,n>N時，有|an-am|<ε成立，則稱{an}為基本列.

2.Cauchy收斂原理

定理 數列{an}收斂?{an}是Cauchy列.

一般來說，Cauchy收斂原理的證明是利用了致密性定理，為了方便讀者閱讀，我們這里給出教科書上數列的柯西收斂準則的證明(見下面的證明1).

先證有界性，取ε=1，則?N,n,m>N?|an-am|<1.特別地，n>N時,|an-aN+1|<1?|an|<|aN+1|+1.

以上是國內外課本上的傳統證明方法.在下面的證明2中，我們將采用幾何解釋法來證明數列的柯西收斂原理的充分性.我們的基本思路就是，根據推論2，有界數列收斂當且僅當僅有一個聚點.那么我們采用反證法，證明柯西列不可能有兩個聚點，也就相當于證明了數列的柯西收斂原理的充分性.這樣的證明方法幾何特征比較明顯，學生容易理解和接受，而且為未來學習上極限和下極限做好了鋪墊(最大聚點就是上極限，最小聚點就是下極限).

證明2 (反證法)假設柯西列{an}不收斂，因為柯西列是有界數列，所以，{an}至少有兩個不相同的聚點，設為A，B，不妨設A>B， 設{akn}及{aln}是數列{an}中兩個不同的子列，分別以A，B為極限：

同理，?N2∈N+，當n>N2時，

因此，當n>max{N1,N2} 時， 有

(1)

但因為{an}是柯西列，故?N3∈N+，當n>N3時，有

(2)

結合(1)(2)，當n>max{N1,N2,N3}時， 有

矛盾.

下面我們給出以上這個證明的幾何解釋，有了這個幾何解釋，有兩個聚點的數列一定不是柯西列便一目了然：

從上圖可以看出，有兩個聚點的數學列不可能是柯西列.

說明：

a.Cauchy收斂準則從理論上完全解決了數列極限的存在性問題.

b.Cauchy列也稱為Cauchy條件，它反映這樣的事實：原則上，收斂數列各項的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何兩項之差的絕對值可以小于預先給定的任意小正數.或者，形象地說，收斂數列的各項越到后面越是“擠”在一起，所以，直觀上講，有兩個聚點的數列根本就不可能是Cauchy列.這就是我們本篇論文的主要思路.

c.Cauchy準則把ε-N定義中an與a的之差換成an與am之差.其好處在于我們無須知道數列收斂到什么(事實上也不見得事先就能夠知道)，只要根據數列本身的特征就可以鑒別其斂散性.

3.Cauchy收斂準則的思想，可以用來理解Riemann的定積分的定義

眾所周知，在教學中，定積分的定義(Riemann的定積分的定義)理解的難度相當大，它是數學分析和高等數學當中最難懂的定義.但是我們借鑒Cauchy收斂準則的思想，可以大大地弱化理解的難度.

我們首先來回顧一下Riemann的定積分的定義(見下面的定義1、定義2和定義3)

注：①由于Δχi≤‖T‖，i=1，2，…，n，因此‖T‖可用來反映[a，b]被分割的細密程度.

注：顯然積分和既與分割T有關，又與所選取的點集{ξi}有關，有了上述兩個定義，我們便可簡潔地寫出定積分的定義.

(3)

其中f稱為被積函數，χ為積分變量，[a,b]為積分區間，a，b分別稱為這個定積分的下限和上限.

以上定義1～定義3是定積分抽象概念的完整敘述.下面是與定積分概念的有關的幾點補充注釋.

表達定積分的極限形式：

(4)

(5)

總之，理解這個問題的關鍵點在于把[a,b]的分割T看作限制函數f的自變量取值范圍的量，類似于一致收斂定義中的δ，而不要將它看作一個變量.這樣再來看黎曼的定積分的定義，就與一致連續的定義沒有本質差異了.所以，定積分的定義也可以陳述為：

(3’)

其中f稱為被積函數，x為積分變量，[a,b]為積分區間，a,b分別稱為這個定積分的下限和上限.

這樣敘述Riemann的定積分的定義，理解的難度大大降低.