培養學生應用意識復習課一例

◎何 婷(遼寧省錦州市第八初級中學，遼寧 錦州 121000)

一、教學內容

北師大版《義務教育課程標準實驗教科書·數學》九年級下學期中考專項復習——“三角函數的應用”.

二、內容解析

初中階段“三角函數”是“空間與圖形”領域的重要內容，主要研究銳角三角函數、解直角三角形及解決與直角三角形有關的實際問題.它是學生在高中繼續學習三角函數的基礎，是中考必考內容，其實際應用問題更是命題的重點和熱點，其命題背景與實際生活密切聯系，是應用數學知識解決實際問題的一類典型題.這類問題在考查三角函數基礎知識的同時對學生構建數學模型有了更高的要求，解決問題的關鍵是要善于從復雜的圖形中識別和構造出基本圖形，把錯綜復雜的問題簡化，抽象為合理的數學模型.因此，本節課的教學重點為：從實際問題中抽象出基本圖形，掌握并靈活應用各種數學關系解直角三角形.

三、教學目標

(1)靈活應用直角三角形邊角關系解直角三角形.

(2)經歷從實際情境中抽象出數學基本圖形和數學關系的過程，感受模型、抽象的基本思想在銳角三角函數中的應用，積累數學建模的經驗.

(3)經歷觀察、討論等數學活動過程，發展合情推理能力.

(4)在解決具體問題過程中，體會數與形之間的聯系，感悟數學思想，積累解這類問題的經驗，發展應用意識和解決問題的能力.

目標解析：

目標(1)：在解決三角函數實際問題時，我們首先要運用轉化的思想方法把實際問題轉化為數學模型，然后找出要解的直角三角形(對于非直角三角形問題，則需要添加輔助線將其轉化為直角三角形問題)，再根據銳角三角函數，選擇合適的邊角關系，求出未知數的值.因此，熟練靈活地應用各種關系解直角三角形是解決銳角三角函數實際應用問題的工具和基礎，為本節課的目標.

目標(2)：本節課通過對實際問題的討論，培養學生的問題意識，讓其經歷從實際問題中抽象出兩類基本圖形和數學關系的過程，引導學生感受當兩個目標直角三角形都不可解時，用方程思想來解決,會產生柳暗花明之效，并滲透數學建模的思想.

目標(3)：自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式.因此教師要給學生自主探索的時間，讓其在觀察、交流等數學活動中，逐步發展合情推理能力.

目標(4)：通過解決具體問題的過程，讓學生歸納總結出數學方法，進而升華成數學思想，是一種有效的教學手段.因此以經典范例為載體，逐漸滲透數學思想方法為本節課的教學目標.

四、學情分析

在知識層面上，九年級學生已經熟練掌握了勾股定理及三角形相似，也學習了銳角三角函數和特殊角度的三角函數值，并且掌握了直角三角形中各邊和各角的關系.在此基礎上，學生解直角三角形難度并不大，但在深入研究幾何圖形的基礎上，根據已知條件，靈活恰當地選擇直角三角形邊角之間的關系，并達到熟練運用的程度還有一定困難.

在心理層面上，九年級學生經過近三年的初中學習和生活，邏輯思維從經驗型逐步向理論型發展，記憶能力、觀察能力和想象能力也迅速發展，他們思維活躍，有較強的接受能力和推理能力，同時具備一定的數學探究活動經驗和應用數學的意識.但學生抽象概括能力有限，將實際問題抽象為數學問題，特別是將實物圖形抽象為幾何圖形，以及綜合運用所學知識解決問題的能力有待提高，因此學生需要通過觀察、思考、交流，進一步體會“航海”“物體測量”等實際問題與銳角三角函數之間的聯系，感悟數學思想，積累解題經驗，提高應用數學和合作交流的能力.

基于以上分析，本節課的教學難點是：從實際問題中抽象出基本圖形，掌握并靈活應用各種數學關系解直角三角形.

五、教學支持條件分析

(1)學習工具單的使用避免了“老師講，學生聽”的滿堂灌的學習，使學生有了思維空間，學習效率更高.

(2)在設計并應用PPT課件整合教學資源的同時，教師運用幾何畫板可以幫助學生直觀理解基本圖形之間的關系.

(3)各小組用答題板展示學習成果，這樣便于各小組之間的交流，也能使教師直接觀察到學生解決問題時出現的亮點和錯誤，有助于教師了解學生的學情.

(4)教師以典型范例為載體，遵循啟發、吸收、消化、發展的認知規律進行總體策劃，分階段、有步驟地滲透數學思想方法，在解題過程中，充分發揮數學思想方法對發現解題路徑的定向、聯想和轉化功能，引導學生舉一反三，觸類旁通.

(5)通過小組交流討論，學生能獨立思考，構造出實際問題中的直角三角形，并有意識地運用方程思想，通過解直角三角形來解決實際問題，這是一個質的飛躍.

六、教學過程設計

1.提出問題，引出課題

師：老師有一個問題想請同學們幫忙解決.

圖1

引例：如圖1,分校和老師家都位于東湖的堤壩線MN上，它們相距2000 m，主校、分校及老師家構成了一個三角形ABC，測得∠ACB約為30°，∠ABM約為60°，我想知道主校到東湖堤壩線MN的距離是多少？

師：你想用什么知識解決這一問題？

【師生活動】教師提出問題，引導學生抽象出數學圖形，運用啟發式追問讓學生積極思考后引出課題.

【設計意圖】教師利用與生活實際有關的具體情境，讓學生體驗由生活情境抽象出數學問題的過程，感受數學建模思想的運用，提高應用數學的能力.

2.課前整理，復習回顧

問題(1)：三角函數有什么作用？(求線段長或求角度)

問題(2)：你還學過哪些求線段長的方法？

追問：哪種方法更簡便？

問題(3)：在解決此問題的過程中，你發現三角函數的應用有哪些類型？

【師生活動】在教師引導下學生積極思考回答，總結求線段長度常用的基本方法(勾股定理、相似、三角函數)，發現三角函數應用的常見類型.

【設計意圖】通過學習工具單上的課前練習和本環節層層遞進的問題串，學生進一步感受到三角函數是求線段長度的有力工具，在原有求線段長度的經驗的基礎上，進一步深化理解三角函數方法的簡便性，并從中總結出三角函數應用的類型(即①只在一個直角三角形模型中應用三角函數，②兩個及兩個以上直角三角形模型中應用三角函數)，為下面抽象、歸納出兩個基本圖形做好鋪墊.

問題(4)：在一個直角三角形中應用三角函數需要滿足什么條件？其解題策略是什么？

問題(5)：應用三角函數解決實際問題時已知條件常為斜三角形，我們應該如何應對？

問題(6)：對如圖所示的斜三角形應如何作高使其轉化為直角三角形？你有幾種方法？

問題(7)：這兩個基本圖形有什么聯系？

【師生活動】通過學習工具單，學生已經在課前進行了討論，明確了確定直角三角形的條件和解題策略(有斜用弦、無斜用切、寧乘毋除、取原避中)，對于斜三角形也有運用轉化思想化斜為直的意識.教師運用幾何畫板讓學生對斜三角形作高，引出兩個重要基本圖形，并引導學生初步感知兩者的聯系.

【設計意圖】教師再次通過問題串啟迪學生思維，引導學生運用轉化的數學思想發現三角函數應用中的兩個重要基本圖形并形成感性認識，為下面小組合作探究環節形成對兩個基本圖形的理性認識奠定基礎.

3.合作交流，探求新知

活動一：小組合作，探究策略

探究圖2,在這幾種情況下，當a為已知量時，如何求x的值？從中你總結出了哪些解題策略?

圖2

【師生活動】教師先讓學生獨立思考，再進行分組交流和歸納，小組內學生達成共識后，各小組將自己的答案寫在本組答題板上.所有小組完成后，各組代表展示講解，其他組做對比、評價，教師逐步引導學生歸納出兩類基本圖形的三種題型：

(1)兩個直角三角形均可解；

(2)一個直角三角形可解從而另一個也可解；

(3)兩個直角三角形均不可解.

【設計意圖】教師在課前給學生探索的時間，課上通過小組合作交流，充分挖掘學生潛能，發展合作探究能力.此環節突出了本節課的重點，學生在深入研究幾何圖形的基礎上，進一步提高了根據已知條件，靈活恰當地選擇直角三角形邊角之間的關系解決問題的能力，在比較和體會各圖形求解方法之間的差異與共性的同時，感受到方程思想在解決三角函數實際問題中的作用，為突破本節課的難點做好了鋪墊.

活動二：例題板演，規范書寫

【師生活動】師生共同分析，教師板演.

【設計意圖】本環節培養學生分析問題、解決問題的能力，同時滲透數形結合的思想，讓學生明確三角函數實際應用的步驟及解題過程.

本環節設定在上一環節之后，在對基本圖形深入分析的基礎上，讓學生對數學建模思想從表象認識逐步上升為本質認識.有了再認識，學生在解決后面實際問題時，就會潛移默化地應用建模和數形結合思想以及歸納的解題策略去解決問題.這樣學生就能用建立圖形與解直角三角形的經驗去深入研究后續的問題，學會抓住事物的本質屬性，逐步形成能力.

活動三：圖形變換，化斜為直

圖3

【師生活動】學生獨立思考后，交流解題方法，教師引導辨析總結.

【設計意圖】初看此題，從圖形、條件到問題給人的感覺和上一道例題屬于一個類型，我們仔細思考可以發現，由于特殊條件的限制，過點P作垂線的方法不可行，但本質上有相通之處，稍加點撥，學生找到了解題方法.此環節意在讓學生學會多方法、多角度地分析解決問題，體會基本圖形之間的變化聯系和數學知識的辯證統一，從而突破難點.

4.歸納小結,內化升華

師：通過本節課的學習你能從知識內容、解題策略、思想方法等方面談談收獲嗎？

師生總結：了解幾何模型之間圖形變換關系，有助于更有效地理解題意從而建立模型.

【設計意圖】教師引導學生梳理本節課相關知識和數學思想方法，形成知識網絡，逐步提升對數學思想方法的理性認識.

5.板書設計

圖4

【設計意圖】思維導圖式板書是課堂教學引人入勝的“導游圖”.首先，思維導圖可以直觀形象地展示思維過程，凸顯重點和難點，體現教學意圖，提高課堂教學效率，增強教學效果，能更有效地實現課堂教學目標；其次，思維導圖的呈現方式既可以刺激學生的多種感官，激發其學習興趣，調動其左腦的邏輯思維，又能激發右腦的創造力和想象力，啟發學生獨立思考，培養學生發散思維和創新思維；最后，這樣的板書有助于學生建構知識網絡，把握知識之間的內容聯系和數學的本質.

七、總 結

《義務教育數學課程標準(2011年版)》中提出了10個核心概念，其中包括數學應用意識，并且在數學課程的四個部分內容教學中都有體現，因此數學應用意識是數學核心素養的重要組成部分.而學生的應用意識主要體現在以下兩個方面：一方面是利用數學知識解釋現實世界中的現象，并解決現實世界中的問題；另一方面是將現實生活中許多與圖形和數量有關的問題抽象成數學問題的過程，并用數學的方法予以解決.因此，教師在整個數學教學的過程中都應該注重培養學生的應用意識.

本文以“三角函數的應用”為例說明了教師如何建立數學應用課堂教學模式來培養學生應用數學解決問題的策略，即：使學生受到數學問題和實際問題的雙向轉化訓練，經歷“分析實際問題—構建數學模型—建立數學關系式—解數學問題—回歸實際問題”幾個環節，通過“問題—討論—探索—發現—應用”的過程，使學生真正意識到數學與生活的密切聯系.也只有這樣，學生才能夠真正體會到數學的應用價值，在掌握解決實際問題的一般思想方法的同時，形成科學的思維習慣，并具備自覺應用數學的意識.結合本課，教師應用此模型時應注意以下幾點：

1.問題設計應符合學生認知規律且突出數學本質

學生接受新知識，必須具備一定的知識基礎.新知識的教學圍繞學生具備的知識基礎展開，使教師傳授的知識貼近學生知識的最近發展區.如問題(1)的提出，讓學生體驗由實際情境抽象出數學問題的過程，培養學生用數學的觀點和方法去看待客觀世界的素養，提高學生應用數學的能力.問題(2)～(3)讓學生在原有求線段長度的經驗的基礎上，進一步深化理解三角函數方法的簡便性，并從中總結出三角函數應用的基本類型.問題(4)～(7)通過問題串啟迪學生思維，引導學生發現三角函數應用中的兩個重要基本圖形，并形成感性認識，為下面小組合作探究環節形成對兩個基本圖形的理性認識奠定基礎.

2.數學思想方法滲透和解題經驗總結應貫串教學始終

數學思想方法是數學的靈魂.本節課的教學設計，從始至終都突出了數學思想方法的教學.例如，應用三角函數解決實際問題的過程體現了數學建模思想的運用；分析基本圖形之間的聯系和化斜為直的方法，體現了轉化思想的運用；通過小組交流歸納出兩類基本圖形的三類題型，蘊含著分類的數學思想；解決兩個直角三角形都不可解的類型，運用了方程思想.整節課的學習過程，都是教師引導學生解決一系列由淺入深的實際問題，使學生逐步感悟數學思想方法，積累解決“航海”“測量物體高度”等實際問題的經驗.

3.自主學習與合作交流應注重實質

自主學習不是自由學習，需要教師的精心指導，合作交流不同于小組討論，需要在教師有目的有計劃的引領下進行.教師應注意兩方面：一是合作交流要有一定的時間做保證，并要在學生進行了比較充分的自主學習和獨立思考的基礎上進行.沒有以獨立思考為基礎的小組合作交流是低效的.本節課的自主探索環節是課前學生在教師精心設計的學習工具單的指導下已對課上內容有了了解，這樣大大提高了課堂效率，也讓合作交流的時間更充分.二是教師適時引導，合作交流建立在了解學生認知需求和交流需求的基礎上.交流不僅是學生之間的交流，也是師生之間的互動交流，如果沒有教師有價值的引導，學生的主體性就不會得到充分發揮.

4.精選范例揭示規律，從而形成解題策略

教師通過典型范例，提示三角函數應用問題解題規律，使學生形成典型問題的解題策略.對于本節課的每個典例，教師都是引導學生解答、反思，總結解題策略和經驗，舉一反三，觸類旁通，提煉數學思想方法，讓學生在學習的過程中收獲“漁”而不是“魚”.例題和變式練習具有典型性、啟發性，因此學生在分析和思考解決問題的過程中，充分展示出了數學思維和具有代表性的數學方法，并從中抽象出基本圖形和解題規律，較好地發展了學生的數學素養.

5.借助思維導圖式板書促進數學應用意識的培養

培養學生數學應用意識，關鍵就是培養學生抓住問題中的數學本質的能力，而思維導圖是一種有效的教學方法，它能夠將很多數學知識聯系在一起，并能夠系統、完整地展現出來，這種直觀、嚴謹、易懂的方法能夠幫助學生構建知識體系，明確數學知識之間的內在聯系，抓住數學本質，從而在一定程度上促進學生數學應用意識的養成.