微課環境下初中數學復習課教學再探究
——以一元二次方程應用的動態幾何問題為例

◎楊子威 王 文(合肥師范學院數學與統計學院,安徽 合肥 230601)

一、引 言

近年來,伴隨著科技的革新,各式各樣的電子信息技術應用于數學教學屢見不鮮.其中,微課作為電子信息技術輔助教學的一種特殊手段,為初中數學復習課的有效教學打開了新局面，開辟了新途徑.將微課技術與初中數學復習課充分融合,不僅對微課教學的應用范圍進行了擴充,而且是對現今“雙減”政策下數學復習課教學的一種再發展與再創造.筆者基于微課教學的特色優勢和長期以來的教學實踐,對微課教學的具體應用案例以及相關的教學策略進行探討.

二、微課的概念及其特點

微課是指以短小精悍的教學視頻為表現形式,教師或教輔人員依據某學科的知識點(如重點、難點等)或教學流程(如情景導入、獨立探索等)而設計和錄制的一種微型在線教學課程.該課程支持多種學習方式,具有簡短性、靈活性、針對性以及豐富性的特點.

1.簡短性

微課的簡短性特點具體表現在微課的學時相較于傳統課程更加簡短.國內學者普遍認為一節微課的時長應控制在十分鐘以內,并以五至八分鐘為佳.從學生的心理層面來講,短時間的學習過程有利于減緩學生的心理壓力,并使學生在潛意識中認為微課所教授的知識更加易于理解.

2.靈活性

微課的簡短為其賦予了靈活性的特點,微課的教學時間短、課程容量少,這意味著微課視頻上傳至網絡時所占用的空間不大.微課是一種儲存在網絡平臺上的教學視頻,因此微課的靈活性具體又可分為觀看時間的靈活(如課前觀看、課后觀看、重復觀看等)和觀看設備的靈活(如移動端、PC端等).

3.針對性

一節微課的教學應將目光更多地投向對某一知識點的探究上,使相關的知識內容聚合起來以彰顯教學內容的針對性.需要注意的是,在數學教學中對某一知識點的探究不僅僅是指單一的概念或定義,也可以是一種解題方法或解題思路.

4.豐富性

微課的豐富性是從微課的制作層面來考慮的,微課雖以視頻為特定的教學載體,但視頻內容的制作方式可以是“百花齊放”.如教師在制作數學微課視頻時,可將數學教學中的幾何畫板、GeoGebra等教學輔助軟件穿插在視頻中，將教學內容更加直觀地展現給學生.

三、微課應用于初中數學復習課教學的可行性分析

微課技術的運用不是盲目跟風,數學復習課的教學更不是肆意而為.教師將微課技術應用于初中數學復習課的教學,首先應結合微課教學的獨有特征,判斷其是否匹配當前的教育理念,只有在當前教育政策引領下的教學方式和教學手段才具有應用的價值,才能夠為學生創造出有意義的教學；其次應明確復習課的教學現狀,了解復習課教學內容的呈現形式,進而分析出當前的問題所在；最后應將上述二者結合，綜合考慮微課是否能夠為復習課的教學起到優化作用,甄別復習課的微課教學是否切實可行.

1.微課教學符合當今的教育理念

新課標指出,教師應為學生的學習提供更加豐富的信息技術資源,并將信息技術看作數學學習和問題解決的強力工具.微課教學是信息技術環境下的一種網絡課程,每位教師都可以利用身邊的設備對想要教授的內容進行創作.這種自由的創作環境無疑對信息技術資源起到了擴充與完善作用.同時,在當今“雙減”政策的要求下,優化教學方式、培養學生的自主學習能力成為教師應關注的重點內容.微課教學作為信息技術與課程教學的巧妙結合,是新型教學方式的一次大膽創新.學生可以借助微課平臺多次、反復觀看微課視頻,投入探索性的學習過程中,這有利于學生自主學習能力的培養.因此,微課教學符合當今的教育理念,具有應用的價值.

2.初中數學復習課教學的現狀不容樂觀

筆者結合自身在合肥市西安路學校的教學經驗,對初中數學復習課的教學現狀進行了調查與分析,并將發現的問題進行了總結與歸納,如下表所示.

表1 復習課存在的問題及歸因

通過表1的整理,我們可以發現該校數學復習課所存在的問題都是一些“老”問題,是具有代表性的問題，同時是令很多數學教師苦惱的問題.而這類問題一直持續至今,很大程度上是受傳統教學方式的束縛,學校和教師未能意識到教育信息技術革新的優勢造成的.

3.微課能夠優化初中數學復習課教學

微課以自身的獨特優勢為初中數學的復習課教學打開了一扇窗.

(1)微課帶給學生的新鮮感是傳統教學所無法比擬的,初中階段的學生對新鮮的事物會產生濃厚的興趣,微課利用這一優勢可以讓數學復習課不再枯燥乏味,讓數學課堂重新煥發生機.

(2)在以往的數學復習課教學中,教師普遍認為學生在之前的學習過程中已經具備了相對完善的基礎知識,因此對一些基礎性的知識點就進行了快速講解或選擇性忽略,這就導致一部分底子薄弱的學生跟不上教學節奏.微課教學可以將所要復習的數學內容進行模塊化處理,將每一個數學知識點都詳細地呈現出來.這樣一來即使是基礎相對薄弱的學生也可以通過反復觀看視頻取得不錯的學習成效.

(3)數學的復習課一般是以整個單元為主題,通過兩三個課時對整個單元進行回顧與串聯,但不少教師很難把握好本單元的整體知識、重難點知識以及中考的頻繁考點三者之間的關系,容易造成顧此失彼的現象,從而丟失了數學復習課的針對性教學.微課教學則可以將復習課拆開揉碎,教師用一兩節微課去做整體知識的回顧,再用一兩節微課專門去對考試熱點問題進行解析,讓每節微課都發揮自己的作用.一節微課所復習的知識容量少,重點突出且明確,因此教師利用微課進行復習課教學能夠很好地為學生提供針對性的指導.

(4)微課自引入我國以來主要經歷了三個發展階段,如今在科技的加持下微課正在逐漸向第四階段邁進.國內部分作者針對數學復習課的微課教學,別出心裁地在視頻中添加了一個互動選項,即學生需要在相應的對話框內選擇答案來回答問題,否則微課就無法繼續播放.這一小小的舉動極大地改善了微課教學的互動空間,讓每一個學生都有了回答問題的機會,使學生的課堂參與度得到了明顯提高.

綜合微課特點、當前的教育理念以及初中數學復習課的現狀,我們不難看出將微課應用于初中數學復習課教學具有一定的實踐意義,其在擴大了微課自身應用范圍的同時為初中數學的復習課提供了新的教學方式.

四、微課教學在初中數學復習課中的應用

一元二次方程應用中的動態幾何問題是初中數學的重難點知識,同時是中考的熱點,其題型復雜多變,按傳統講法，復習課講解起來比較復雜.針對這種情況教師可以采用微課來組織學生開展復習課的教學活動,幫助學生針對性地復習鞏固,激發學生的學習興趣.筆者將通過以下三個模塊來對一元二次方程動態幾何問題的其中一個專項進行微課教學探究.

1.知識提取,復習導入

一元二次方程應用中動態幾何問題涉及知識點多,且綜合性較強,而一元二次方程中的面積問題和邊長問題是動態幾何問題的基礎,解決好這類基本幾何問題是處理動態幾何問題的前提條件.因此,在復習一元二次方程的動態幾何問題之前,教師應在微課中先向學生展示一些基礎性的問題,要求學生獨立解答,通過自我檢測的方式對基本的幾何問題進行復習回顧和知識提取.

圖1

例1如圖所示,正方形ABCD的邊長為1,E,F分別是邊BC,CD上的一點,且△AEF是等邊三角形,求邊BE的長.

【設計意圖】本題涉及了一元二次方程、全等三角形和勾股定理的部分知識點,學生首先要根據全等三角形的條件證明出△ABE≌△ADF,而后由勾股定理可知AE2=AB2+BE2，FE2=CF2+CE2.由此教師可在微課中引導學生找出其中的等量關系(即AB2+BE2=CF2+CE2),然后設未知數x(即BE的長為x)，將AB2+BE2=CF2+CE2轉化為一元二次方程的等量關系式x2+1=2(x-1)2,最后解方程.至此,學生在本節微課中完成了之前所學知識的復習回顧和知識提取,為接下來復習一元二次方程動態幾何問題提供了一個良好的開端.

2.領悟方法,化動為靜

動態幾何問題是一元二次方程應用中的難點,對學生的思維能力要求較高.該類問題從本質上來講是基本幾何問題的拓展演變,由于題目中的單個點或多個點由靜態變為了動態,學生在處理問題時常常感到棘手.經過對這類問題的歸納總結,我們不難發現“化動為靜”找出數量關系是解決這類問題的關鍵.因此,在利用微課的復習教學中教師可以借助數學軟件來輔助教學,通過數學軟件制作的動畫來演示動點的運動過程和軌跡,幫助學生直觀感知題目信息.

圖2

例2如圖所示,在矩形ABCD中,AB邊長為6 cm,BC邊長為12 cm,點P從點A出發以1 cm/s的速度沿AB邊向點B運動,點Q從點B出發以2 cm/s的速度沿BC邊向點C運動,若點P,Q分別從點A,B同時出發,多少秒后△PBQ的面積等于8 cm2?

【設計意圖】在本題中，教師主要想通過微課視頻向學生傳達兩個信息.其一，處理動點問題的關鍵在于“化動為靜”,把動態的點進行轉換,變為基本的幾何模型進行處理.其二，解題方法在于把位置關系轉化為數量關系,將時間變路程,把動點運動時間的問題轉化為動點的運動路程的問題,也就是求線段長度,再將線段代入常用的數量關系當中(如:周長、面積、勾股定理等),而本題中的數量關系是通過△PBQ的面積所確定的.同時,教師可以在微課中插入動畫演示的環節,讓學生直觀地感知△DPQ隨時間的變化所發生的變化,以便找出其中的數量關系,如下圖所示.

圖3 陰影面積變化過程

3.綜合問題,變式訓練

微課的復習教學絕對不是單純的“炒冷飯”——將學過的知識再拿出來溫習一遍,而是教師利用微課的優勢幫助學生將零散的知識進行整合,串聯各個知識點,并通過綜合問題和變式訓練幫助學生更深層次地把握知識的脈絡體系,從而優化知識結構,提升學生的解題能力.因此,筆者在“一元二次方程應用的動態幾何問題”微課復習授課中設計了綜合性強的變式問題.

例3如圖所示,在矩形ABCD中,AD=BC=20 cm,P,Q,M,N分別以A,B,C,D為起始點沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的邊上同時運動,當其中一點率先抵達所在運動邊的另一個端點時運動停止.已知時間相同,若BQ=xcm(x≠0),則AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm.當x為何值時,以PQ,MN為兩邊,以矩形的邊AD或BC為第三邊可以構成一個三角形?

圖4

變式1:當x為何值時,以P,Q,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形?

變式2:以P,Q,M,N為頂點的四邊形能否為等腰梯形?如果能,則x為何值?如果不能,請說明理由.

【設計意圖】本題動點的個數從一個變成了四個,并在解題的過程中涉及分類討論的思想,本題中，學生找出相關的量是解題的關鍵.在復習課的微課教學中設置這類題目有利于培養學生思維能力,提升學生的核心素養.在第一問中學生需要分類討論點P與點N重合以及點Q與點M重合的兩種不同情況,利用已知條件中的AD=BC=20 cm列出等量關系式(即AP+ND=AD或BQ+MC=BC).在變式1中,由第一問可知點Q在點M的左側,接下來我們只需討論點P與點N的位置關系,并通過平行四邊PQMN對邊相等的性質列出相應的等量關系式即可.在變式2中,教師可在微課視頻中引導學生過點Q,M分別作AD的垂線,垂足分別為點E,F,進而分別推斷出點E,P的位置關系和點F,N的位置關系,從而得出方程2x-x=x2-3x.在整節復習課的微課教學過程中,問題難度層層遞進,對學生的要求逐步提高,讓學生的思維在解題的過程中不斷變化發展.同時,微課教學的方便、快捷和可視化的特點為學生的知識結構帶來了優化,并潛移默化地完成了對學生直觀想象能力的培養.

五、反思與總結

1.教師角度

(1)教師應意識到時間長短是微課教學能否成功的重要因素.在復習課的微課教學中,教師應在問題出示以后隨即給出解題過程,而學生的思考與作答則應在視頻暫停時完成.本節“一元二次方程應用中動態幾何問題”微課復習教學在很大程度上彌補了傳統教學課堂中教師對課堂時間把握不足的弊端.筆者將本節復習課分為“知識提取,復習導入”“領悟方法,化動為靜”和“綜合問題,變式訓練”三個階段,利用錄制好的網絡微課視頻,讓學生在課前課后觀看,既保障了日常教學的正常進行,又對動態幾何問題進行了課后彌補與完善,防止有學生在課堂上跟不上教師節奏而“掉鏈子”.

(2)微課技術的應用為教師帶來了便捷,教師可以在微課視頻中提前做好幾何畫板或GeoGebra軟件的動畫演示過程,避免了在實際教學中對軟件和多媒體進行調試的煩瑣環節.對于本文的例2,筆者在微課中穿插了幾何畫板的動畫演示環節,呈現動點的運動軌跡,很大程度上幫助了學生直觀感知題目信息.

(3)教師利用微課來進行復習課的教學，看似簡便,實則不然.微課不只是教師利用錄好的視頻向學生傳遞知識,更重要的是其要能達到預期的教學效果以及能體現微課教學相對于傳統教學模式的優勢.如何在一個個簡短的微課視頻中達到上述的目標,這無疑是對教師微課授課技能的一個嚴峻考驗.

2.學生角度

(1)微課具有可反復觀看的特點,這是學生掌握知識的保障.微課教學以視頻為載體,這就在時間上和空間上為學生提供了極大的便利,學生在遇到問題時可以不受場地因素的限制,通過微課視頻的反復觀看來感悟和解決問題.

(2)復習課的教學是對之前學過的知識進行“溫故知新”,由于是已經學過的知識,學生容易對教師所教的內容失去新鮮感,微課在復習課中的應用很好地打破了這一困境.在微課教學結束后,筆者針對復習課的效果對學生進行了訪談,在交流中發現學生對新的事物總是充滿著好奇心,對利用信息技術教學的課堂的興趣遠大于傳統的課堂教學.學生特別指出在一元二次方程動態幾何問題中,視頻模擬動點的運動軌跡,可以彌補解題時思維的空缺.

綜上,微課教學可以通過吸引學生注意力的方式來提高學生學習興趣,使學生感受到數學的魅力,取得了在傳統教學模式中取得不了的復習效果,顯著地提高了復習效率和質量.