2022年高考圓錐曲線解答題備考建議
——以2021年高考真題為例

◎李紹妹 崔永宏(云南師范大學數學學院，云南 昆明 650000)

作為高考壓軸題的圓錐曲線問題具有較強的挑戰性與區分度,備受教師與學生關注.筆者對2021年高考理科數學圓錐曲線解答題進行分析，希望給2022年考生提供參考.

一、試題統計

2021年高考理科數學共 8份試題,對圓錐曲線大題簡單統計如下:

試卷類型模型主要問題題型歸類特征條件研究對象新高考Ⅰ卷兩條直線與雙曲線相交兩直線斜率天津卷橢圓與直線相交滿足特征條件的直線定值定點類直線x=12,直線AB,PQ;TA·TB=TP·TQ距離公式;向量公式;參數方程;斜率;極點極線;二次曲線系M:直線與橢圓唯一公共點;N:直線與y軸正半軸交點;P:過N與BF垂直直線與x軸交點;MP∥BF向量公式;二次函數零點新高考Ⅱ卷一條直線與圓相切,與橢圓相交證明橢圓焦點在過直線與拋物線交點的直線上;距離為定值全國甲卷·理/文多條直線與圓相切,與拋物線相交討論過直線與拋物線交點的直線與圓的位置關系上海卷一條直線與橢圓相交證明符合特征條件的直線唯一證明類點M,N在C上;直線MN與圓相切點到直線距離公式;距離公式點A1,A2,A3在C上;直線A1A2,A1A3均與圓相切直線兩點式;同解變形理論;直線x=my+nF1A→·F2A→=13;kBF2=kAF1向量公式;斜率全國乙卷·理拋物線阿基米德三角形三角形面積最大值全國乙卷·文拋物線與直線相交斜率最值浙江卷三條直線與拋物線相交直線截距范圍北京卷橢圓與直線相交斜率范圍最值范圍類切點A,B;切線PA,PB直線斜截式;距離公式;同解變形理論點P在C上,PQ→=9QF→斜率;圖像交點?函數零點NR2=NP·PQ距離公式;向量公式P(0,3),B,C為直線與橢圓交點;M,N為AB,AC與y=-3交點;PM+PN≤15二次函數零點;距離公式

上述圓錐曲線大題可以進一步歸為三大類：

1.計算類問題：全國甲卷、天津卷、上海卷.

2.定值定點問題：新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷.

3.最值范圍問題：全國乙卷、浙江卷、北京卷.

二、計算類問題切入點1 直線方程之巧妙代換

直線方程有五種表示形式，待定系數法不是唯一選擇，我們通過直線的幾何意義可快速找到其代數方程.

例1全國甲卷理科第2問 拋物線C的頂點為坐標原點O,焦點在x軸上,直線l：x=1交C于P,Q兩點,且OP⊥OQ.已知點M(2,0),且⊙M與l相切.設A1,A2,A3是C上的三個點,直線A1A2,A1A3均與⊙M相切.判斷直線A2A3與⊙M的位置關系,并說明理由.

切入點2 設定點之設而不求

設點的坐標,以點的坐標為未知量,轉化條件,建立等式,替換掉點的坐標得到結果.

例2全國甲卷理科第2問

三、定值定點問題切入點1 設而不求

切入點2 參數方程

當以直線形式表示題目已知條件比較困難時,我們不妨將直線方程寫成參數方程形式.

例4新高考Ⅰ卷第2問

切入點3 二次曲線系

圓錐曲線系在解決曲線交點問題時可大大簡化計算,有令人意想不到的效果.

例5新高考Ⅰ卷第2問

由圓冪定理逆定理知：|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|，即A,B,P,Q四點共圓.因此,過A,B,P,Q的二次曲線系中xy項系數為0,得k1+k2=0.

四、最值范圍問題

我們可將已知條件轉化為單變量函數、基本不等式,需要特別注意的是自變量范圍問題.

切入點1 直線方程之設而不求

例6全國乙卷理科第2問 已知拋物線C：x2=2py(p>0)焦點為F,且F與圓M：x2+(y+4)2=1上點的距離最小值為4.若點P在M上,PA,PB是C的兩條切線,A,B是切點,求△PAB面積的最大值.

切入點2 阿基米德三角形

例7全國乙卷理科第2問

切入點3 設定點設而不求

例8浙江卷第2問 已知F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,M是拋物線準線與x軸的交點,|MF|=2.設過點F直線交拋物線于A,B兩點,若斜率為2的直線l與直線MA,MB,AB,x軸依次交于點P,Q,R,N,且滿足|RN|2=|PN|·|QN|,求直線l在x軸上截距的取值范圍.

注：本題可將直線方程設為y=2(x-m),直接求得m的范圍.

五、建 議

基于2021年圓錐曲線解答題特點,本文提出以下幾點建議.

(1)加強學生解析幾何思想的培養.解析幾何思想基本思路是圓錐曲線的破題之道,模式相對固定,應多多練習.學生對幾何圖形分析得越徹底，思路越清晰，解答過程越簡潔.

(2)加強學生數學運算能力的培養.圓錐曲線解答的核心過程是數學運算過程，運算能力至關重要.

(3)加強學生代數技巧、換元思想、不等式方法的培養.識記常見結論,看到題目“本質”.

(4)加強學生時間管理意識的訓練.平時訓練要規劃好時間,不急不緩,注重細節.

(5)加強學生心理素質的訓練，練就平和的心態,樹立克難攻堅的信心，“穩”字當頭.