解決數學問題

許月媚

數學是計算機科學的理論基礎之一，計算機技術的出現和發展最初源于數學問題求解。由于自然科學領域需要進行大量的數值計算，而人工計算又存在效率落后、精確度低等不足，往往無法滿足計算要求，因此，就需要借助計算機程序來彌補人工計算的不足，同時解決很多數學方法所描繪的數值計算問題。

● 學習內容分析

本課節選自2019年教科版《必修1 數據與計算》第4單元“計算與問題解決”第2節《數值計算》，旨在幫助學生在了解算法及其特征的基礎上，學會分析問題，運用數值類問題求解的常用算法——解析法來解決實際問題。本課為《數值計算》的第一課時，重在實現學科知識的融通，將數學函數解析式求解與計算機模擬相融合，突出計算機在解決問題過程中的地位和作用。通過“解決數學問題”案例活動，引導學生體驗和探討計算機解決問題的過程。

● 學習者分析

本課的學習對象為高一年級的學生，他們雖然在數學、物理課上經常運用解析法解決問題，但很少能夠主動利用計算機程序實現問題求解。經過第2單元“編程計算”的學習，學生基本具備本節案例學習的知識儲備——程序設計的三大結構、輸入輸出函數、列表、自定義函數、模塊等，但考慮到大多數學生對程序設計知識的遺忘率較高，在教學過程中有必要對相關知識進行鞏固，以提高課堂教學的有效性。

● 學習目標

①了解解析法的概念以及計算機繪制函數圖像的基本原理。②掌握計算機編程解決問題的一般過程，能夠根據實際問題來抽象問題特征、建立結構模型、合理組織數據、設計算法方案，進而掌握Python繪制圖像的基本方法。③通過數學問題的求解，逐步理解計算機進行數值計算的基本流程和方法，并能夠將其遷移至學習和生活場景中的其他問題解決過程中。

● 教學過程

1.導入新課，提出問題

學習目標：①設計解析式進行數值計算、解決實際問題;②感受數據的圖形化表示;③了解解析算法在實際問題解決過程中的應用。

導入：計算機的最初用途是用于數值計算，它運算速度快，精確度高，借助它可以解決許多數學問題。

提出問題：如何選擇最優化草莓支付方案？某草莓采摘園在春節期間推出了甲、乙兩種優惠方案，優惠前的草莓定價為50元/kg。甲種優惠方案：游客進園需要購買40元的門票（每個家庭購買一張門票），采摘的草莓均按定價的六折賣給采摘游客。乙種優惠方案：游客進園不需購買門票，采摘的草莓按定價出售，但超過3kg后，超過的部分按定價的五折賣給采摘的游客。問題一：采摘8kg草莓，選擇哪個方案更優惠？問題二：采摘重量在什么范圍時，游客選用甲種優惠方案更合算？

設計意圖：讓學生明確本節課的學習主題，了解學習目標及內容。

2.問題一求解，分析問題

問題一求解：已知采摘重量求費用——采摘8kg草莓，選擇哪個方案更優惠？

思考1布置：請用數學方法求解該問題。假設采摘草莓的重量為x（kg），甲種優惠方案采摘所需的總費用為y1（元），乙種優惠方案采摘所需的總費用為y2（元），列出y1、y2關于x的函數關系式。

設計意圖：引導學生思考、設想，調動學生已有的知識儲備，對問題進行分析，通過數學方法解決問題一。

3.問題一求解，解決問題

提問：采摘重量不定，如何快速選擇費用方案？

編程解決問題：嘗試用計算機編程去解決，設計費用計算器。通過流程圖表示計算器的功能設計（如圖1），結合數學方法來設計解決問題的算法。

提問：我們知道甲種方案是一個分段函數，分段函數在編程中如何實現？

講解：復習自定義函數;講解分段函數關鍵代碼。

任務1布置：用解析法設計費用計算器——打開圖2的Python程序文件，補充并調試運行程序。

任務1參考答案：①float;②50*0.6*x+40;③0<=x<=3;④y=25*x+75;⑤f（x）。

講解：①計算機編程解決問題的一般流程（如圖3）。②解析法：用解析的方法提出問題條件與結果之間關系的數學表達式，并通過表達式的計算來實現問題求解。

小結：基于解析法的問題解決流程（如圖4）。

設計意圖：針對問題一的求解過程，分析問題環節已完成數學方法解決問題的基礎鋪墊，此部分旨在讓學生完成費用計算器的程序編寫，實現計算機編程解決問題。通過問題引導，讓學生以填空的形式編寫程序，降低難度，能夠消除學生的畏難情緒;通過數學問題的求解，幫助學生理解解析法的概念與應用，著重培養學生的計算思維能力，實現知識建構。

4.問題二求解，分析問題

問題二求解：比較不同的優惠方案——采摘重量在什么范圍時，游客選用甲種優惠方案采摘更合算？

思考2布置：數學上有哪些解決該問題的方法？請選擇其中一種并作簡單描述。

解決問題的方法：①比較法，通過計算解析式得出結果;②列表法，通過計算能得到選定的x，y數值;③圖像法，繪制函數圖像，觀察圖像。

設計意圖：學生思考，對問題進行分析，通過數學方法解決問題二。

5.問題二求解，解決問題

提問：用哪種方法更適合快速找到區間范圍？數學上如何繪制函數圖像？

講解：①圖像法繪圖步驟：列表—描點—連線。②計算機編程繪制函數圖像與數學方法繪制函數圖像相似：使用numpy模塊列表（numpy模塊講解）;使用matplotlib模塊描點、連線（matplotlib模塊講解）。

任務2布置：編程繪制圖像——打開如圖5所示的Python程序文件，補充并調試運行程序。

設計意圖：對比解決同一問題的不同方法，可以讓學生感受不同問題解決方法的差異，并學會選擇效率高、效果好的方法。對于問題二求解，圖像法更適合快速找到區間范圍。數學繪制函數圖像的步驟能夠促進學生理解計算機編程繪圖的步驟，讓學生理解Python在程序設計中的優勢，激發學習的熱情。

任務2參考答案：①f（i）;②np.arange;③50*0.6*x1+40;④plt.plot;⑤plt.show。

6.知識鞏固，目標達成

知識小測：

（1）計算圓面積的算法描述如下：①輸入圓的半徑r，②計算圓的面積s=pi*r**2，③輸出圓的面積s，④結束。這個算法是屬于（ ）？（單選題）

A.枚舉法 B.解析法 C.二分法 D.迭代法

（2）人們對計算機的最初應用大多是數值計算，主要借助計算機運算速度快、精確度高的特點來解決各種數學問題，如（ ? ?）等都屬于數值計算。（多選題）

A.函數的計算 B.方程的求解 C.數列求和 D.二分查找

（3）嘗試用Python繪制y=x^2-2x+1的圖像（如圖6）。（完善程序）

設計意圖：知識鞏固，檢查目標達成情況。

知識小測參考答案：（1）B。（2）ABC。（3）①import;②arange;③plot;④show。

7.總結歸納，知識建構

引導學生歸納、總結、梳理本節課的學習內容，進行知識提煉，實現知識建構，并能夠將利用信息技術解決問題的過程遷移到學習和生活場景中的其他問題解決過程中。

● 教學反思

本節課采用“提出問題——分析問題——解決問題——目標達成——知識建構”的教學模式，以學生熟悉的數學問題作為活動主線，通過典型、針對性強的生活案例，將相關基本概念、解題方法和思路傳授給學生。

教材第2單元已提及計算機解決問題的本質，即分析解決問題的方法和步驟，用計算機能夠識別的方式表示信息，使其成為計算機能夠處理的數據。以新課標為依據，活用教材，本教學設計圍繞“設計費用計算器”和“繪制函數圖像”兩個任務來開展教學，在任務一“設計費用計算器”中，可借助學案導學，引導學生從數學求解入手，啟發思維，讓學生逐步形成使用自然語言或流程圖描述算法的思路。任務一的核心是研究合理的數學模型和求解算法，任務二“繪制函數圖像”是任務一的延伸，難度也有所增加，程序中numpy模塊和matplotlib模塊的加入以及自定義函數的運用需要教師做好講解。在教學中筆者也發現，階梯式的任務設計有助于激發學生學習的積極性和求知欲，采用數學函數解析式求解與計算機模擬相融合的方式，有利于培養學生的信息意識，并在探究實踐、驗證及解決問題的過程中促進學生的知識遷移，發展學生的計算思維。