思維中被隱藏的計(jì)算——從折紙談起

陳凱

筆者這樣來理解計(jì)算思維，它是一種特別的人的思維，這種人的思維可以更具體地認(rèn)為是一種“能夠?qū)C(jī)器按機(jī)器的方式模擬出某種人的思維”的思維。本文將問題聚焦于這句話中的“人的思維”一詞，試著以一些具體的思維活動(dòng)說明人的思維中本身隱含著計(jì)算的思維。這種隱藏著的計(jì)算的思維還不能被稱為計(jì)算思維，直到它被挖掘、顯現(xiàn)出來，并向著機(jī)器能夠運(yùn)作的方式來進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

● 用折紙來“計(jì)算”

考慮一種簡(jiǎn)單的依賴折紙來進(jìn)行“計(jì)算”的“裝置”，每一張紙都可以對(duì)折，從而在紙的中間留下折痕，這樣，紙所代表的數(shù)字就從1（只有一個(gè)區(qū)域）變?yōu)?（有兩個(gè)區(qū)域），再次對(duì)折的話，2就變?yōu)?，如圖1所示。看上去好像通過不停地將紙對(duì)折，就能實(shí)現(xiàn)2的n次方的“計(jì)算”。

如果同時(shí)實(shí)施橫向和縱向的對(duì)折，那么似乎還能讓這個(gè)“裝置”做乘法。例如，為了知道3乘以5的結(jié)果是什么，就橫向折2次，縱向折3次，這樣就顯現(xiàn)出4乘8共32個(gè)區(qū)域。然后標(biāo)出其中包括了橫向3個(gè)區(qū)域和縱向5個(gè)區(qū)域的范圍，能數(shù)出共有15個(gè)區(qū)域，如圖2所示。

可以針對(duì)這個(gè)例子來提問：這個(gè)折紙的過程算不算是一種計(jì)算？假設(shè)有一臺(tái)機(jī)器，它能接受某個(gè)人輸入的數(shù)值，如3和5，然后就自動(dòng)開始折紙，最后把3行5列的區(qū)域用筆圈出來作為結(jié)果還給這個(gè)人，那么是不是說這臺(tái)機(jī)器實(shí)施并完成了計(jì)算？提出這個(gè)問題的意圖將在后面一起分析。

● 用折好的紙來“計(jì)算”

準(zhǔn)備好一些對(duì)折n次且沒有重新攤開的紙，可以想見，對(duì)折的次數(shù)越多，紙所占的面積就越小，可以從紙的寬窄推測(cè)出它所代表的數(shù)量，為了方便起見，可以用字母給這些寬窄不同的紙條命名，如圖3所示。

接下來是用這些紙條來“計(jì)算”3乘以5。找出紙條C和A放在一起代表5，然后將三組C和A的紙條組合排列成3行，如下頁圖4所示。

接下來，將所有被發(fā)現(xiàn)能成對(duì)的相同大小的紙條，替換為一張比原有紙條窄一半的紙條，也就是說，兩張A型紙條換成1張B型，兩張B型紙條換成1張C型，以此類推，直到無可替換為止。最后就能得到用A、B、C、D四種類型紙條組成的序列，代表結(jié)果15，如下頁圖5所示。

重復(fù)剛才的問題，如果某個(gè)機(jī)器可以自動(dòng)實(shí)施這樣的操作，算不算是一種計(jì)算？

● 8888這個(gè)數(shù)到底有多大——機(jī)器的直觀和人的抽象

上面的兩個(gè)活動(dòng)，一是用折紙來做3乘以5，二是用折好的紙，并按某種替換規(guī)則來做3乘以5，筆者在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于這兩種方法，認(rèn)為其屬于計(jì)算或不屬于計(jì)算的，都有不少支持者，有趣的是，認(rèn)為后一種方法屬于計(jì)算的人要比認(rèn)為前一種方法屬于計(jì)算的人要多。至于為何更多的人認(rèn)可后者的方法屬于計(jì)算，解釋是多樣的。例如有些人說：用前一種方法，就是橫向折紙?jiān)倏v向折紙來做乘法，最終得到的結(jié)果不得不需要一個(gè)一個(gè)去點(diǎn)數(shù)，而不是自動(dòng)給出一個(gè)數(shù)字;而用后一種方法，最終的結(jié)果是以某種符號(hào)的形式呈現(xiàn)的，其實(shí)對(duì)應(yīng)了二進(jìn)制數(shù)字符號(hào)，如當(dāng)結(jié)果是一個(gè)A型紙條和一個(gè)D型紙條組成的序列，就知道對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)是1001。

對(duì)于這個(gè)解釋，仔細(xì)推敲就可以發(fā)現(xiàn)存在說不通的地方，因?yàn)榧幢闶敲鎸?duì)寬窄不同、用于表達(dá)某個(gè)數(shù)量的紙條序列，若想要知道它所代表的實(shí)際數(shù)量，就必須把這些折起的紙條攤開，去數(shù)一下被折痕所分開的區(qū)域總共有多少或者要進(jìn)一步將不同寬窄紙條所代表的數(shù)量進(jìn)行相加——這似乎讓人覺得計(jì)算尚未完成。但這個(gè)解釋提供了一條可以深入思考的線索，那就是人到底是怎樣去把握數(shù)量的。不妨做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，閉上眼睛，想象一下黑暗的眼前可以同時(shí)精確地顯現(xiàn)出多少個(gè)亮點(diǎn)。例如，筆者自己經(jīng)過努力，可以在想象的畫面中呈現(xiàn)出一個(gè)4*4陣列的圖案，也就是說，可以同時(shí)想象出差不多16個(gè)亮點(diǎn)擺放在頭腦中。但5*5陣列的圖案就很難顯現(xiàn)出來，雖然說在想象出來的亮點(diǎn)陣列邊緣，每行5個(gè)亮點(diǎn)和每列5個(gè)亮點(diǎn)仍然很清晰，但整個(gè)亮點(diǎn)陣列的圖案卻是混沌的。即便如此，筆者也能借助深刻腦海的乘法口訣知道那個(gè)圖案肯定會(huì)有25個(gè)亮點(diǎn)。不過，如果是一個(gè)帶傳感器的計(jì)算機(jī)，讓它生成或辨識(shí)出幾百個(gè)、幾千個(gè)、幾萬個(gè)乃至更多亮點(diǎn)，應(yīng)該都沒什么問題。這個(gè)例子說明，機(jī)器可以直觀地去把握數(shù)量（這里不討論機(jī)器和人在主動(dòng)意識(shí)上的差異），但人卻不行，人只能直觀比較少的數(shù)量，對(duì)于很多數(shù)量的東西，只能通過一個(gè)抽象的數(shù)字系統(tǒng)去記錄它。記錄和把握其實(shí)是兩件不同的事，舉例說，寫下123456789這樣的9位數(shù)，它很容易記住，但實(shí)際上，卻不能去直觀到這個(gè)數(shù)量到底有多少。不過，人可以去做抽象的推演，如89其實(shí)是8個(gè)10加上9，而789其實(shí)是7個(gè)100加上8個(gè)10再加上9。通過這樣的方法，人就能確信自己能知道123456789這個(gè)數(shù)字到底是怎么一回事。假設(shè)給出兩個(gè)數(shù)字，一個(gè)是十進(jìn)制數(shù)8888，一個(gè)是二進(jìn)制數(shù)10001010111000，一般情況下，人自我感覺到仿佛更能夠把握前者而不是后者。但無論頭腦中出現(xiàn)的是8888這個(gè)十進(jìn)制數(shù)字還是它所對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)字的形式，此人都很難真正用頭腦直觀地去感知8888個(gè)實(shí)體的數(shù)量，而只是根據(jù)日常習(xí)慣，下意識(shí)地將8888這一系列數(shù)字的符號(hào)對(duì)應(yīng)為8×1000+8×100+8×10+8的計(jì)算規(guī)則，因?yàn)榉浅４_信這種規(guī)則的正確性，以致于不會(huì)真的去計(jì)算和驗(yàn)證一下。人雖然可以相信8888對(duì)應(yīng)了8888的實(shí)際數(shù)量，也可以相信10001010111000這個(gè)二進(jìn)制數(shù)字也對(duì)應(yīng)了此二進(jìn)制數(shù)字想要表達(dá)的實(shí)際數(shù)量，卻不能用直觀來確認(rèn)十進(jìn)制的8888和二進(jìn)制的10001010111000這兩個(gè)數(shù)字實(shí)質(zhì)是相等的。這其實(shí)說明了，人無法直觀一個(gè)很大的數(shù)量，卻能依靠直觀來確信自己的數(shù)字演算系統(tǒng)是合理的。?

設(shè)想這樣一個(gè)機(jī)器，它能通過傳感器數(shù)出幕布上亮點(diǎn)的數(shù)量，但為了“遷就”人類，就不得不將感知到的數(shù)量變成十進(jìn)制的數(shù)碼符號(hào)呈現(xiàn)出來。人賦予了這個(gè)機(jī)器抽象的能力，其原因是人自身對(duì)數(shù)量的直觀能力是受限的。但人卻有另一種十分重要的直觀能力，那就是能將數(shù)字演算系統(tǒng)的局部規(guī)則的有效性推廣到整體，并知道這種推廣是正確的，人也相信可以將演算規(guī)則推廣擴(kuò)展到機(jī)器上，但機(jī)器由于自身“稟賦”的限制，其演算過程和人的思維過程可能存在很大的差異。

● ENIAC這樣做加法和乘法——人將抽象的過程交予機(jī)器模擬

通過古老的ENIAC計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算的例子，可以進(jìn)一步說明，有哪些和計(jì)算有關(guān)的思維被隱藏在一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)加法或乘法的機(jī)械過程中。為簡(jiǎn)化問題，這里給出了一個(gè)極為簡(jiǎn)化的ENIAC數(shù)據(jù)存儲(chǔ)和顯示面板，它由一列數(shù)據(jù)輸入面板和兩列數(shù)據(jù)輸出面板組成。表1顯示的是用數(shù)字7加上數(shù)字5這個(gè)運(yùn)算的初始狀態(tài)。表中的井號(hào)表示這里的顯示燈亮，也可以認(rèn)為是此處存儲(chǔ)了數(shù)字1;格子中如沒有井號(hào)則表示這里的顯示燈不亮，也可以認(rèn)為是存儲(chǔ)了數(shù)字0。

操作過程中的每一步動(dòng)作，會(huì)使得當(dāng)前亮著的燈要么發(fā)生變化，要么不發(fā)生變化。如果發(fā)生變化，則當(dāng)前格子里的燈會(huì)熄滅，而緊鄰的上一個(gè)格子的燈被點(diǎn)亮，對(duì)于最頂端所亮的燈，熄滅后會(huì)輪換到本列最底下格子的燈亮起。至于燈什么時(shí)候發(fā)生變化，則會(huì)遵循一系列規(guī)則，這個(gè)規(guī)則和十進(jìn)制進(jìn)位法則有關(guān)，大家可以觀察第93頁表2中總共10步動(dòng)作的情況，然后自己推斷燈的變化規(guī)律。

需要花費(fèi)一些時(shí)間來理解ENIAC的加法運(yùn)算過程到底是怎樣的。簡(jiǎn)單地說，無論做什么樣的加法，輸入端面板的燈必然會(huì)跳動(dòng)10次，可以想見，在運(yùn)算過程結(jié)束時(shí)，輸入端面板燈的狀態(tài)就會(huì)回到初始時(shí)的狀態(tài);而只有當(dāng)輸入端面板燈的跳動(dòng)回轉(zhuǎn)到底部后，輸出端面板的燈才會(huì)隨著輸入端面板燈的跳動(dòng)而一起跳動(dòng)。ENIAC輸入端面板燈必然跳動(dòng)10次的這個(gè)規(guī)則其實(shí)賦予了它可以進(jìn)行乘法運(yùn)算的能力，設(shè)想一下，如果輸出端面板的數(shù)字均為0，輸入端只要重復(fù)實(shí)施加法過程，就能得到乘法運(yùn)算結(jié)果。

對(duì)于ENIAC加法過程中燈的跳動(dòng)方式，觀察者能清晰地觀察其每一步變化，但調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大部分人無法在一開始就直觀地領(lǐng)悟到為什么這種跳動(dòng)方式是合理的。只有在經(jīng)過了一些邏輯推理后，才真正領(lǐng)悟到，輸入端一開始做的動(dòng)作，其實(shí)是借助10-X的方法獲取輸入值。舉例說，當(dāng)輸入端面板的7號(hào)燈被點(diǎn)亮?xí)r，機(jī)器并不“知曉”這代表了7，當(dāng)燈向上“爬升”，3次變化動(dòng)作發(fā)生時(shí)，輸出端都是輪空不動(dòng)的狀態(tài)，所以，當(dāng)燈“觸頂”并回轉(zhuǎn)到面板底部時(shí)，就剩下了10-3等于7次的數(shù)量，可以與輸出面板聯(lián)動(dòng)進(jìn)行跳動(dòng)變化。這種加法過程和人做加法的過程有相當(dāng)大的不同，人可以通過邏輯推理，確認(rèn)這個(gè)過程實(shí)際是對(duì)所有的數(shù)字普遍有效的。

這里做一個(gè)簡(jiǎn)單的總結(jié)，通過折紙和ENIAC實(shí)施簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算的例子，可以發(fā)現(xiàn)以下幾點(diǎn)：①人在計(jì)算過程中，常會(huì)用抽象來彌補(bǔ)直觀的不足;②人能夠直觀到抽象的正確性;③人也能夠?qū)ふ页瞿撤N更適合機(jī)器實(shí)現(xiàn)的機(jī)械過程，來代替人的抽象推理過程，并能直觀到它的正確性——即便這個(gè)過程和人真正的思維過程很不一致。雖然說以上三點(diǎn)都和計(jì)算思維有關(guān)，但筆者認(rèn)為，最后一點(diǎn)應(yīng)該和計(jì)算思維有著更密切的聯(lián)系。回到前文的問題，用折紙或排列折紙序列的方式得到乘法的結(jié)果，這是不是一種計(jì)算？答案可以是否定的，想象一下，宇宙中存在著許多這種會(huì)折紙的某物，但卻并不是為了某個(gè)特定目的去折紙，同時(shí)也沒有某種智慧的生物來觀察它們的折紙的過程和結(jié)果，那么，折紙就僅僅是折紙而已。答案也可以是肯定的，當(dāng)某種智慧的生物發(fā)現(xiàn)紙的狀態(tài)的變化其實(shí)可以對(duì)應(yīng)某種抽象符號(hào)系統(tǒng)的變化過程時(shí)，折紙也就成為了計(jì)算。無論是用折紙來計(jì)算，還是用ENIAC來做計(jì)算，如果不僅僅看計(jì)算結(jié)果而是將過程細(xì)致地展開，就可知其工作過程和人在做計(jì)算時(shí)的思維過程有很大的不同，而差異的程度或許可以作為判斷完成某項(xiàng)任務(wù)中含計(jì)算思維“濃度”的一項(xiàng)依據(jù)。