考慮潛伏感染和疫苗接種的傳染病模型的穩定性①

艾明霞， 王穩地

西南大學 數學與統計學院， 重慶 400715

潛伏感染常見于新型冠狀病毒肺炎和甲型H1N1等多種傳染性疾病[1-3]， 但是目前研究疾病流行的模型中， 大部分未考慮潛伏的感染性[4-8]， 或假設潛伏期和感染期的感染性相同[9]． 部分常微分模型考慮了潛伏期的相對感染性[10]． 因為疫苗接種是控制疾病流行的關鍵措施， 而考慮到不同年齡個體對疾病的感染程度是不一樣的， 所以研究具有年齡結構的疫苗接種模型更有實際意義． 本文建立了一個考慮潛伏感染和疫苗接種的SEIR年齡結構模型， 并對模型的相關性態進行分析．

1 模型的建立

設S(a，t)，E(a，t)，I(a，t)和R(a，t)分別表示t時刻a年齡人類中易感者、 潛伏者、 感染者和免疫者的數量， 建立如下年齡結構模型：

(1)

表示t時刻a歲易感者承受的感染力，β1(a1)β2(a2)表示有效接觸率， 即一個a1歲易感者遇到a2歲感染者被感染的概率． 我們合理假設模型中各參數為正， 且初值條件非負．

(2)

2 平衡點的存在性和有效再生數RV

系統(2)的穩態解滿足如下方程組：

(3)

顯然y(a)=z(a)=0總是系統(3)第二和第三個方程的解， 對應的有λ(a)=0， 可以求得無病平衡點

E0=(x0(a)，y0(a)，z0(a))=(e-(hp+μ)a， 0， 0)

下面探究地方病平衡點E*=(x*(a)，y*(a)，z*(a))的存在性， 其中y*(a)，z*(a)≠0． 求解系統(3)得到

(4)

(5)

(6)

其中，

(7)

因為y*(a)，z*(a)>0， 所以D>0， 且x*(a)，y*(a)和z*(a)由D唯一確定． 結合表達式(4)-(7)， 可得等式：

(8)

等式(8)兩邊消去D， 得到

(9)

觀察表達式(4)， 可知x*(a)依賴于參數D， 記等式(9)右邊為P(D)． 顯然P(D)的單調性取決于x*(a)于D的單調性， 根據參數的正性及指數函數的單調性， 可知P(D)嚴格單調遞減， 且P(-∞)=+∞，P(+∞)=0．

因為方程(9)的正解個數對應系統(2)正平衡點的個數， 所以在P(0)≤1時， 系統(2)不存在正平衡點；P(0)>1時系統(2)存在唯一的正平衡點． 因此P(0)為平衡點存在性的閾值， 記RV=P(0)，

(10)

表示有效再生數， 即接種疫苗的種群中一個典型感染者在其感染期內能夠感染的平均人數[12]． 于是， 由上述分析得到下面的定理1．

定理1(i)RV≤1時， 系統(2)只存在一個無病平衡點E0；

(ii)RV>1時， 系統(2)存在一個無病平衡點E0和一個地方病平衡點E*．

3 無病平衡點的穩定性

3.1 無病平衡點的局部漸近穩定性

(11)

(12)

其中

(13)

結合方程(11)，(12)和(13)， 整理得到

(14)

(15)

將等式(15)右邊記為L(m)． 顯然L(m)嚴格單調遞減， 且L(-∞)=+∞，L(+∞)=0，L(0)=RV． 所以當RV>1 時， 特征方程(15)有唯一的正實特征根； 當RV<1時， 有唯一的負實特征根． 由指數函數非負性及三角函數的有界性， 可以驗證此實根是實部占優的． 所以RV也是無病平衡點局部漸近穩定性的閾值， 綜上所述， 可得如下定理2：

定理2(i)RV<1時， 方程(15)的特征根都是負實部， 無病平衡點E0局部漸近穩定；

(ii)RV>1時， 方程(15)存在正實部的特征根， 無病平衡點E0不穩定．

3.2 無病平衡點的全局漸近穩定性

定理3在RV<1時， 無病平衡點E0全局漸近穩定．

證沿特征線對系統(2)積分[13]， 當t>a時，

(16)

(17)

(18)

其中

顯然t>a時， 0a)． 所以

0≤f(a，t)≤e-(hp+μ)aβ1(a)Q(t)

(19)

0≤Y(a)≤e-(hp+μ)aβ1(a)C

(20)

其中

結合C的表達式及不等式(20)， 得到不等式：

4 地方病平衡點的局部漸近穩定性

(21)

求解微分方程組(21)， 并交換積分順序， 可得

(22)

(23)

其中

(24)

將等式(22)和(23)代入系統(21)的第4個方程， 并將右端的函數定義為Ω(w)， 所以得到w滿足的特征方程：Ω(w)=1， 其中，

定理4在RV>1時， 若滿足δ>hp，y*(a+)≤e-(δ+ μ)a+或者δ≤hp， 則有地方病平衡點E*是局部漸近穩定的．

證若δ>hp， 且y*(a+)≤e-(δ+ μ)a+， 整理可得不等式：

結合X(a，k)表達式(24)， 可得

若δ≤hp， 同樣有X(a，k)≥0． 此時Ω(w)關于w嚴格單減，Ω(-∞)=+∞，Ω(+∞)=0．

另外， 結合P(D)的表達式和等式(9)， 可得：

其中

顯然Ω(0)<1， 所以Ω(w)=1有唯一負實部特征根． 而且此實根是實部占優的， 即Ω(w)=1的特征根都是負實部， 可知E*是局部漸近穩定的．

5 結論

本文提出了一個考慮潛伏感染和疫苗接種的SEIR年齡結構模型， 分析得到有效再生數RV的表達式， 并驗證了無病平衡點E0和地方病平衡點E*的存在性； 借助特征方程得到RV>1時E0不穩定， 然后利用特征線法證明了RV<1時E0全局漸近穩定； 此外討論了RV>1時地方病平衡點E*局部漸近穩定的條件． 觀察有效再生數RV的表達式可知， 提高疫苗接種率p、 增大疫苗免疫成功率h或者減小潛伏期相對于感染期傳播力的比值ε都會減小RV的值， 也即能更好地控制疾病的流行[15]．