基于多尺度模型的單層網(wǎng)殼非線性屈曲分析

王兆毅， 王憲杰，2*， 張帆， 趙穎， 奐瑾， 江鑫禹

(1.云南大學建筑與規(guī)劃學院， 昆明 650000； 2.浙江大學建筑工程學院， 杭州 310058)

大跨度空間網(wǎng)殼結構得益于其覆蓋空間大、造型新穎、自重輕等優(yōu)點，成為工程師們非常樂意采用的一種結構形式。單層網(wǎng)殼由于厚度薄，剛度相對較小，幾何非線性敏感。所以穩(wěn)定性分析是單層網(wǎng)殼設計中的關鍵問題。以往屈曲分析時，設計師們不得不依賴于連續(xù)化理論(“擬殼法”)將網(wǎng)殼轉化為連續(xù)殼體結構，通過近似的非線性解析方法來求出殼體的穩(wěn)定性承載力，但這種方法有較大的局限性，缺乏統(tǒng)一的理論模式，事實上僅對少數(shù)特定的殼體才適用[1]。隨著計算機的發(fā)展及應用，非線性有限元分析方法轉而成為實現(xiàn)結構穩(wěn)定性分析的主要方法,各種改進的弧長法[2]是這方面的一個重要成果，其為結構的荷載-位移全過程路徑跟蹤提供了最為有效的計算方法，并能準確的確定其穩(wěn)定性極限承載能力。

以往單層網(wǎng)殼穩(wěn)定性分析往往停留在宏觀層級上，無法反映細觀受力機理。然而結構的失效破壞往往源自材料的局部失效，進而導致關鍵節(jié)點或桿件喪失承載能力，最終導致整體結構的破壞。可見，結構的失效過程本質上是宏觀層面與細觀尺度之間相互耦合影響的結果[3]。如何在跨尺度連接處施以精確的約束耦合關系，在不損失各尺度的自由度的前提下，建立多尺度計算模型并有效模擬宏觀-細觀的非線性演化過程是非常必要的。陸新征等[4-5]通過Uforms子程序實現(xiàn)了跨尺度界面的連接，通過多尺度模型與梁單元模型時程分析結構對比，驗證了多尺度模型可以更加準確地模擬節(jié)點的實際受力情況。石永久等[6]探討了多尺度模型在鋼框架抗震計算的應用問題，實現(xiàn)了不同尺度模型間的有效連接，通過與國內(nèi)外典型節(jié)點試驗進行分析對比，驗證了細觀單元與宏觀模型界面連接方法的有效性。羅堯治等[7]利用平截面假定推算了跨尺度連接界面的位移協(xié)調(diào)方程，并給出了與焊接球連接的桿件長的參考值。朱南海等[8-9]用宏觀單元對網(wǎng)殼節(jié)點及桿件的薄弱區(qū)進行離散，建立網(wǎng)殼結構的多尺度模型，進行了多尺度建模下的網(wǎng)殼靜力穩(wěn)定性及地震損傷過程分析。結果均表明了多尺度模型具有更高的精確度。劉春城等[10]提出了一種易于有限元軟件實現(xiàn)的跨尺度單元連接法，建立了結構行為一致多尺度模型，驗證了該模型的合理性。 Yu等[11]驗算了多點約束法界面連接控制方程，研究結果顯示多點約束法可用于實現(xiàn)跨尺度界面的有效連接。上述研究均表明：多尺度模型兼顧計算效率與時間成本。但鮮有提及多尺度模型是否影響結構基本特性這一問題，并沒有針對結構不同的重點響應區(qū)域建立不同的精細單元，難以全面考察多尺度計算模型的優(yōu)越性。

基于并行一致多尺度法，建立一個能有效反映細觀力學性能響應多尺度計算模型，對實際網(wǎng)殼進行模態(tài)分析及荷載-位移全過程非線性屈曲分析。通過全梁單元模型與多尺度模型的分析對比，為多尺度計算模型的發(fā)展與工程設計應用提供理論支撐。

1 多尺度模型屈曲分析理論

1.1 界面連接方法

多尺度模型構建思路大致上能分為兩種：信息傳遞多尺度方法與并行一致多尺度方法。前者主要是提取宏觀結構的各項響應作為精細構件的邊界條件，旨在實現(xiàn)不同尺度之間力學性能參數(shù)的交互。后者建模策略是對結構薄弱區(qū)的構件采用細觀尺度的精細模型，一般用實體單元或是殼單元離散，宏觀結構采用梁單元等桿系單元離散。目的是同時建立細觀與宏觀尺度模型，實現(xiàn)跨尺度單元之間連接界面的耦合，以達到整體結果的同步計算分析。并行一致多尺度法的關鍵點是如何在不損失宏觀單元自由度的同時不增加精細單元的額外約束。而多點約束法是有效解耦連接界面處位移協(xié)調(diào)方程的方法之一。

多點約束法的基本思想是在跨尺度連接界面上利用位移協(xié)調(diào)條件推導出約束方程，進而實現(xiàn)不同單元的耦合。以宏觀單元節(jié)點的自由度作為控制值，建立針對細觀單元各節(jié)點相應的自由度及位移值的控制方程，便可用于表征不同單元之間的力學響應及自由度的傳遞。且在小變形問題中，多點約束法不用迭代，節(jié)約了計算時間。在大變形問題中，多點約束法并不會引起連接處剛度突變，保證了計算效率和計算精度，在求解非線性迭代問題中具有很強的魯棒性。

Abaqus中提供了Tie、Coupling、MPC(multi-point constrain)等約束方法，其中MPC允許在模型不同自由度中強加約束，將其耦合，可以實現(xiàn)不相容單元荷載、位移的有效、精確傳遞，且更易考察連接處的應力及位移響應。

1.2 自由度耦合

基于多尺度模型，建立連接面處的局部坐標系如圖1所示，在連接面建立基準梁單元，宏觀節(jié)點處共有6個自由度{u1,u2,u3,u4,u5,u6}；精細單元節(jié)點有3個自由度{u1,u2,u3}；多點約束法連接界面節(jié)點自由度的約束方程可寫為

圖1 跨尺度界面連接示意圖Fig.1 Schematic diagram of cross-scale interface connection

C(uB,uS)=uB-CuS=0

(1)

式(1)中：uB為宏觀單元節(jié)點自由度，為主自由度；uS為精細單元節(jié)點自由度，為從自由度；C為約束方程系數(shù)矩陣；經(jīng)簡化后的多點約束連接式是一個一次多項式，具體方程為

uB=C1uS1+C2uS2+…+CnuSn+C0

(2)

1.3 跨尺度連接界面位移協(xié)調(diào)方程

對于解耦線性約束方程，常用位移協(xié)調(diào)一致法求解，引入局部坐標系xyz，以B為原點，并符合右手螺旋法則。基于平截面原則，任何精細單元節(jié)點位移滿足關系式

(3)

式(2)中：xS、yS、zS分別為精細單元節(jié)點在局部坐標系中的x、y、z坐標；yB、zB為宏觀單元節(jié)點在局部坐標系的y、z坐標；βi為精細化模型節(jié)點對宏觀單元節(jié)點的影響權重系數(shù)，可以取βi=1/n。

由式(3)可知，宏觀單元節(jié)點在微觀單元連接界面的沿桿件軸向位移、沿平面內(nèi)外切向位移，由精細單元界面上的全部節(jié)點決定。

1.4 網(wǎng)殼屈曲分析理論

屈曲分析的目的是確定結構從穩(wěn)定的平衡狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡狀態(tài)時的臨界荷載及其屈曲模態(tài)。采用一致缺陷模態(tài)法定義初始缺陷時，先對結構進行特征值屈曲分析和缺陷結構的非線性全過程分析。

線性屈曲分析可以得到理想線性結構的理論屈曲強度，無須進行非線性分析，就可得到臨界荷載及屈曲模態(tài)，可為非線性屈曲分析提供參考荷載值。其控制方程為

(KL+λKσ)ψ=0

(4)

式(4)中：λ為特征值，即通常意義上的荷載因子；ψ為特征位移向量；KL為結構的小位移剛度矩陣；Kσ為參考初應力矩陣。

為考慮初始缺陷對理論屈曲強度的影響，需對結構進行基于大撓度理論的幾何非線性屈曲分析，其控制方法為

KT×Δu=F-r

(5)

式(5)中：KT為單元切線剛度矩陣；Δu為位移質量矩陣；F為外力矩陣；r為殘余力矩陣。

2 多尺度模型非線性屈曲分析

本文中所用實例為唐山勒泰中心項目[12]上方分割頻率為6的凱威特K8單層網(wǎng)殼，網(wǎng)殼跨度為76.8 m，矢高為12 m，矢跨比為1/6.4。桿件為Q345B圓鋼管，管徑為168 mm，壁厚為6 mm，節(jié)點形式為Q345B焊接空心球節(jié)點，外徑為420 mm，壁厚為12 mm。節(jié)點數(shù)為185，桿件數(shù)為465。外圈節(jié)點鉸接。在ABAQUS中屈曲分析得出的屈曲因子為施加荷載的放大系數(shù)，為方便考察穩(wěn)定性極限荷載，本例中在網(wǎng)殼節(jié)點處施加單位集中荷載。有限元模型如圖2所示。

2.1 結構固有特性研究

對網(wǎng)殼進行模態(tài)分析，得出其振型與自振頻率、周期等固有特性(圖3、表1)，便于驗證多尺度模型的適用性與正確性。

2.2 確定結構重點響應區(qū)

通過計算可知式(4)中λ=247.6，由于施加的是單位荷載，故該網(wǎng)殼理想臨界荷載為247.6 kN。特征值屈曲分析不考慮雙重非線性及初始缺陷，所得出的結果只是屈曲荷載的上限，是一種理論解，得不到結構的實際承載力。這里關注的是前幾階屈曲模態(tài)，尤其是第一階屈曲模態(tài)(圖4)，結構的一階屈曲模態(tài)是結構屈曲的位移傾向，是潛在的位移趨勢，如果結構的初始缺陷分布與結構的第一階屈曲模態(tài)相吻合，無疑對結構的穩(wěn)定性產(chǎn)生最不利影響，故一階屈曲模態(tài)可用來模擬網(wǎng)殼結構中的缺陷分布。

圖2 有限元模型[12]Fig.2 Finite element model[12]

圖3 全梁單元前四階振型Fig.3 The first four modes of the full beam element

采用“一致缺陷模態(tài)法”引入初始缺陷，根據(jù)《空間網(wǎng)格結構技術規(guī)程》[13]的相關規(guī)定：初始缺陷最大計算值按照網(wǎng)殼跨度L的1/300，取256 mm。有限元軟件中，實現(xiàn)引入初始缺陷的關鍵是定義Imperfection函數(shù)。分析過程考慮幾何非線性，采用兩段式理想彈塑性本構，屈服強度為345 MPa，滿足von Mises準則。為考察結構實際節(jié)點臨界荷載，同樣施以單位荷載。考慮幾何、材料雙重非線性，對結構進行荷載-位移全過程穩(wěn)定性分析。

通過觀察圖5可知，進入屈服階段的桿件主要是第四圈部分環(huán)向桿及小部分第一圈及第二圈內(nèi)的斜向桿，其中第四圈環(huán)向桿與徑向桿相交的節(jié)點的塑形程度最為嚴重，應力集中較為顯著。底部環(huán)向桿與斜向桿仍基本處于彈性階段，其應力響應不明顯。位移形變量最大的區(qū)域集中于第三圈環(huán)桿與徑向桿相交的節(jié)點，在節(jié)點處出現(xiàn)局部的坍縮。觀察圖6可知當節(jié)點荷載增大到114.16 kN時，結構的平衡狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡狀態(tài)，隨后隨著荷載不斷降低，位移不斷增大，表明荷載必須不斷下降才能維持結構內(nèi)外力之間的平衡，此階段說明結構已經(jīng)產(chǎn)生失穩(wěn)破壞，承載力不斷上升，位移不斷增大。故該網(wǎng)殼結構失穩(wěn)時的節(jié)點臨界荷載為114.16 kN,臨界時刻的結構最大位移為204.8 mm。

由以上分析可以看出，該網(wǎng)殼結構分別有位移響應集中的重點區(qū)域，主要為于第三圈環(huán)桿與徑向桿相交的4個節(jié)點。應力響應集中的重點區(qū)域，主要為第四圈環(huán)向桿與徑向桿相交的8個節(jié)點。

表1 全梁單元自振頻率與周期Table 1 The natural frequency and period of the full beam element

圖4 全梁單元一階屈曲模態(tài)Fig.4 The first buckling mode of the full beam element

圖5 全梁單元失穩(wěn)時刻力學響應Fig.5 Mechanical response at the moment of instability of the full beam element

圖6 全梁單元荷載位移曲線Fig.6 Load-displacement curve of full beam element

2.3 多尺度模型的建立

進行多尺度雙重非線性靜力穩(wěn)定性分析時，應先對薄弱區(qū)域進行精細化建模(圖7)。取殼單元建模時，應力分布受邊界效應影響顯著，節(jié)點塑性發(fā)展程度亦可能受邊界效應干擾，本文中討論桿件長度對計算結果的影響，采用文獻[7]中研究結果作為建模參數(shù)，取空心球節(jié)點及與球節(jié)點相接處0.9倍桿件外徑的桿件作為需精細化建模區(qū)域[7]。精細單元采用S4R殼單元建模，宏觀單元采用B31梁單元建模，多尺度模型在結構尺寸。材料本構與全梁單元一致。表2為多尺度模型分類一覽，參照一致單元模型，對多尺度有限元模型進行模態(tài)分析及考慮初始幾何缺陷的雙重非線性屈曲分析。

圖7 多尺度模型及精細化節(jié)點連接大樣Fig.7 Multi-scale model and the large-scale connection of refined nodes

表2 多尺度模型分類依據(jù)

2.4 多尺度模型固有特性研究

利用模態(tài)分析得出多尺度模型的結構固有特性，如圖8及圖9所示，多尺度模型與全梁單元模型的低階振型存在明顯差別，全梁單元前四階振型存在一定的對稱性，但該特性并沒有明顯地在多尺度模型振型中體現(xiàn)。究其原理是因為多尺度模型建立具體詳盡的節(jié)點參數(shù)，且由具體的球節(jié)點替代了單一梁單元交匯節(jié)點，導致結構整體剛度分布隨著不同數(shù)目及區(qū)域的精細化節(jié)點的建立而發(fā)生改變。觀察表3、表4和圖10可知，多尺度模型1、2的一階自振頻率與全梁一致單元模型相比分別降低了0.42%和0.13%，且前十階自振頻率相差無幾，由此可見，多尺度模型的建立不會顯著改變結構的自振頻率及周期等固有特性，更進一步驗證了多尺度計算模型的正確性。

圖8 多尺度模型1前4階振型Fig.8 The first 4 modes of multi-scale model 1

圖9 多尺度模型2前4階振型Fig.9 The first 4 modes of multi-scale model 2

表3 多尺度模型1自振頻率及周期Table 3 Multi-scale model 1 natural vibration frequency and period

表4 多尺度模型2自振頻率及周期Table 4 Multi-scale model 2 natural vibration frequency and period

圖10 三種計算模型前10階自振頻率對比Fig.10 Comparison of the first ten natural frequencies of the three calculation models

2.5 考慮初始缺陷的非線性屈曲分析

同一致單元模型的非線性屈曲一致，同樣以“一致缺陷模態(tài)法” 引入初始缺陷，考慮雙重分線性，對多尺度模型1、2分別進行非線性屈曲分析。

觀察圖11可看出，多尺度模型一階線性屈曲模態(tài)是基本一致的，說明引入的初始幾何缺陷也基本相同。但理想臨界荷載卻有所降低，多尺度模型1、2臨界荷載分別為213.59 kN和190.09 kN，較全梁單元臨界荷載分別降低了13.7%和23.2%。

由圖12及圖13可知，多尺度模型1、2與全梁單元模型在失穩(wěn)時刻應力分布基本一致，進入屈服階段的桿件主要是第四圈部分環(huán)向桿，外圈桿件基本處于彈性階段，其中第四圈環(huán)向桿與徑向桿相交的節(jié)點塑形最為顯著。但不同的是多尺度模型表現(xiàn)出了節(jié)點與桿件處出現(xiàn)明顯的應力集中，說明桿件與節(jié)點連接處為薄弱區(qū)域，這一結果與實際工程情況相吻合。且桿件中也出現(xiàn)了局部區(qū)域的屈服及應力集中，此部分桿件發(fā)生變形，且出現(xiàn)局部凹陷。

圖11 多尺度模型最低階線性屈曲模態(tài)Fig.11 The lowest-order linear buckling mode of the multi-scale model

圖12 多尺度模型1失穩(wěn)時刻應力分布及節(jié)點大樣Fig.12 Multi-scale model 1 stress distribution and node size at the moment of instability

觀察圖14及圖15可知，多尺度模型與一致單元模型在失穩(wěn)時刻位移云圖分布大致相同，盡管位移最大的點發(fā)生轉移，但位移形變量最大的區(qū)域都集中于第二、三圈環(huán)桿與徑向桿相交的節(jié)點附近。

圖13 多尺度模型2失穩(wěn)時刻應力分布及節(jié)點大樣Fig.13 Multi-scale model 2 stress distribution and node size at the moment of instability

圖14 多尺度模型1失穩(wěn)時刻位移分布及節(jié)點大樣Fig.14 Multi-scale model 1 displacement distribution and node size at the moment of instability

圖15 多尺度模型2失穩(wěn)時刻位移分布及節(jié)點大樣Fig.15 Multi-scale model 2 displacement distribution and node size at the moment of instability

圖16 三種計算模型下荷載-位移曲線Fig.16 Load-displacement curves under the three calculation models

在精細化區(qū)域部分，桿件的位移比球節(jié)點的位移更為顯著，故桿件與節(jié)點連接處易出現(xiàn)局部形變，位移變形并不協(xié)調(diào)。

上述分析表明：單層網(wǎng)殼的整體失穩(wěn)，往往伴隨著節(jié)點與桿件相接處薄弱區(qū)的應力集中和桿件的變形。且由于精細節(jié)點的引入，導致結構局部區(qū)域剛度變化，但一致全梁單元模型并沒有考慮節(jié)點局部變形及應力集中，采用梁單元交匯節(jié)點會忽略空間力系交匯處的復雜受力及變形。采用多尺度模型，不僅可以模擬細觀桿件的力學性能變化，也能得出較為準確的宏觀結構力學響應分布。

由圖16可知，多尺度模型1、2的節(jié)點臨界荷載與全梁單元相比分別降低了5.48%和15.06%，且結構穩(wěn)定承載能力隨著引入更多的精細化節(jié)點而下降。主要是因為引入具體形狀及厚度參數(shù)的精細化模型，改變了整體結構的剛度分布，又考慮局部桿件的屈服和節(jié)點與桿件相交處的應力集中，使得結構桿件傳力途徑發(fā)生變化，特別是隨著節(jié)點的變形及桿件的局部塌陷，進一步加劇了結構失穩(wěn)破壞，使得多尺度模型還沒有達到一致單元模型的極限承載力就發(fā)生失穩(wěn)破壞。由于更多布置在應力集中處的精細化節(jié)點的引入，節(jié)點塑性發(fā)展程度加深，故多尺度模型2的穩(wěn)定性承載能力比多尺度模型1更低。

以上分析表明：多尺度模型不僅能模擬宏觀結構的力學響應分布，也能準確模擬出細觀節(jié)點的塑性開展。

3 結論

建立了針對應力、位移響應集中的重點區(qū)域進行精細化建模的多尺度模型，比較多尺度模型與全梁單元模型的振型、固有特性和在考慮初始缺陷的非線性屈曲分析中的各項響應及穩(wěn)定性，驗證了在大跨度空間結構和網(wǎng)殼結構性能研究中多尺度建模方法的可行性、準確性以及多尺度建模方法在局部細觀力學響應分析時的優(yōu)越性。主要結論如下：

(1)相對于全梁單元模型而言，多尺度模型兼顧計算效率與計算精度，采用多尺度模型不會顯著改變結構的自振頻率及周期等固有特性,但由于細化了節(jié)點參數(shù)的精細化節(jié)點域的引入會導致結構的剛度分布發(fā)生變化，進而導致低階振型的改變。

(2)多尺度模型與全梁單元模型在失穩(wěn)時刻的應力分布、位移分布情況基本一致，在宏觀結構分析上，多尺度模型也有一定的精度。由于引入精細化模型考慮了局部桿件的屈服和節(jié)點的應力集中，使得節(jié)點發(fā)生變形、桿件出現(xiàn)局部塌陷，導致多尺度模型的承載力比全梁單元有所降低。

(3)多尺度模型相較于全梁單元，既能精確地確定重點響應區(qū)節(jié)點的應力、位移邊界條件，也能較為清楚地顯示出大跨度空間結構細部節(jié)點的應力開展情況及破壞過程，為空間結構的分級優(yōu)化設計提供了新的途徑。