三角函數的概念課例

張巧芬

教材分析

“三角函數”是普通高中人教A版新教材《數學》（必修第一冊）第五章的一節新授課。本節課具有承上啟下的重要作用。一方面，三角函數是對函數概念的一個加深也是對弧度制意義的一種深化;另一方面，三角函數是刻畫圓周運動規律的重要模型，是勻速圓周運動的最本質的體現。

學情分析

其次在本章內容之前，學生已經學習了函數的概念，并抽象了指數函數，對數函數等，對于如何用某類函數刻畫相應現實問題的變化規律總結了一定的經驗。即學生要經歷“背景—研究對象—對應關系的本質—定義”的過程。

教學目標

1、了解三角函數的背景，體會三角函數與現實世界的密切關系。

2、經歷三角函數概念的抽象過程，借助單位圓理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義，發展數學抽象素養。

教學重點：任意角的正弦、余弦、正切的定義

教學難點：影響單位圓上點的坐標變化因素分析，三角函數的定義方式的理解

教學思路

1、復習回顧，揭示課題

讓學生復習推廣后的角的概念和弧度制，為接下來研究三角函數概念的學習做好鋪墊。

2、創設情境，明確背景

在“函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型之一”的先行組織下，提出問題：現實世界而中存在著各種各樣的“周而復始”的變化現象，圓周運動是這類現象的代表。其特點是一個質點P繞圓心O作勻速圓周運動，那么它的運動規律該用什么函數模型描述呢？

3、歸納探究，發現共性

本環節主要圍繞“如何建立勻速圓周（單位圓）運動的數學模型”這一三角函數的本質展開，在三角函數中，影響單位圓上點的坐標變化因素較多，為了破除學生在對應關系認識上的定勢，幫助他們搞清楚三角函數的“三要素”，先讓學生明確“給定一個特殊角，如何得到對應的函數值”（建立與銳角三角函數的聯系），再借助信息技術，通過恰時恰點的問題串，引導學生經歷“任意角a→a的終邊OP→單位圓上點P的橫、縱坐標”的過程，使學生獲得以下對應關系，

任意角（弧度）對應于點P的縱坐標? （1）

任意角（弧度）對應于點P的橫坐標 ? （2）

4、生成概念，恰當命名

學生確認（1）（2）就是刻畫圓周運動的函數模型，然后讓學生以小組討論進行函數的命名及數學符號的表達，學生能從知識的類比與延伸思想方法中得到啟發，繼續沿用“正弦、余弦”名稱和記號的結論。將“銳角三角形”自然融化到“任意角三角函數”函數體系中，表現出數學發展過程中的和諧之美。由于學生始終把注意力集中在三角函數的“函數特性上”，可以使學生再一次認識函數的本質。

教學實錄

1、復習回顧，揭示課題

問題1、學習了任意角和弧度制，你印象最深刻的是什么？

師生活動：學生復習回顧上節課的內容，并用自己的語言概括總結上節課的核心內容。

設計意圖：通過回顧任意角和弧度制，為接下來的探究做好鋪墊

問題2、生活中有哪些圓周運動？

師生活動：學生在獨立思考的基礎上進行交流，舉例說明。

設計意圖：通過學生自身對現實生活中圓周運動現象的表達與交流，讓學生體會客觀世界“周而復始”變化現象，為抽象數學概念埋下伏筆并引出課題。

3、創設情境，明確背景

問題3、“函數是描述客觀世界變化規律的重要數學模型之一”，圓周運動在生活中隨處可見，如游樂場的摩天輪。為了便于刻畫這種生活中常見的圓周運動，我們可以把該問題抽象為一個質點P繞圓心O作勻速圓周運動，那么它的運動規律該用什么函數模型描述呢？

追問1、如圖1所示，單位圓⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉，請你建立一個函數模型，刻畫位置變化情況。

追問2、根據已有的研究函數的經驗，你認為可以按怎樣的路徑研究上述問題？

師生活動：學生在獨立思考的基礎上進行交流，通過討論得出研究路徑是：明確研究背景→對應關系的特點分析→下定義→研究性質。

4、歸納探究，發現共性

下面我們利用直角坐標系來研究上述問題。如圖2所示，以單位圓的圓心為原點，以射線為軸的非負半軸，建立直角坐標系，點，點的坐標為，射線從軸的非負半軸開始，繞點按逆時針旋轉角，終止位置為

問題4、當時，點的坐標是什么？當，點的坐標又是什么？他們唯一確定嗎？

師生活動：

追問：（3）當時，求點的坐標要用到什么知識？求點的坐標的步驟是什么？點P的坐標唯一確定嗎？

生1：求點P的坐標要用到直角三角形性質.畫出的終邊，過點作軸的垂線交軸于M，在OMP中，利用直角三角形的性質可得點的坐標

（4）如何利用上述經驗求當時，點的坐標？

生：利用三角形性質求出終邊與單位圓的交點的坐標，即為點的坐標。