Nyquist第一準則的理解與應用

王 霞，王卓然

（云南民族大學 電氣信息工程學院，云南 昆明 650504）

0 引 言

“通信原理”課程是通信工程、電子信息類專業本科生的一門重要的專業基礎課，課程在學科體系中起承上啟下的作用，一直備受教師和學生的高度重視[1]。然而，該課程涉及公式、定理較多，推導過程煩瑣，相對枯燥的理論知識讓大部分學生對課程的學習興趣不大，課堂教學存在一定難度[2]。數字基帶傳輸系統是“通信原理”課程的重點內容之一，也是數字通信的基礎。如何消除碼間串擾、如何降低噪聲對信號的影響是所有數字通信系統都必須要解決的兩個基本問題[3]。根據數字通信原理，基帶傳輸系統若要實現無碼間干擾傳輸，則基帶系統總的傳輸特性必須滿足Nyquist第一準則。部分學生對Nyquist第一準則的理解困難，運用Nyquist第一準則分析實際問題更是無從下手[4]。本文從實踐出發，針對基帶傳輸系統的碼間干擾問題，從原理上闡述了基帶系統無碼間干擾的條件，即Nyquist第一準則。

1 數字基帶傳輸系統模型與Nyquist第一準則

基帶傳輸系統的傳輸特性的模型如圖1所示。設發送濾波器、信道、接收濾波器總的傳輸特性為H(ω)，則有H(ω)=GT(ω)×C(ω)×GR(ω)。

圖1 基帶傳輸系統模型

要使基帶傳輸系統實現無碼間干擾傳輸，則系統的傳輸特性H(ω)應滿足：

式中：C為常數；T為傳輸碼元的時間間隔。

基帶系統的總特性H(ω)凡能滿足此要求的，均可以消除基帶系統的碼間干擾，該條件稱為Nyquist第一準則。一般地，定義理想基帶傳輸系統的傳碼率RB=1/T為奈奎斯特速率，其帶寬B=(π/T)/2π=1/2T為奈奎斯特帶寬，T為奈奎斯特間隔。如果系統以高于1/T的速率進行傳輸時，將存在碼間干擾；如果系統以低于1/T的速率進行傳輸時，有可能存在碼間干擾，也有可能無碼間干擾。奈奎斯特速率是系統實現無碼間干擾傳輸時能達到的最大速率，此時的系統最高頻帶利用率為2 Baud/Hz。推廣到一般系統有，當系統的頻率為ω時，該系統無碼間干擾時最高的傳輸速率（即奈奎斯特速率）為2ω。

由傳碼率RB與T的關系，可得到該判據式（1）的等價描述為：

判斷某傳輸系統是否滿足無碼間干擾傳輸，有兩種方法。

方法一：把一個基帶傳輸系統的傳輸特性H(ω)等間隔分割為2π/T寬度，若各段在(-π/T, π/T) 區間內能疊加成一條直線，那么它在以RB=1/T的速率傳輸基帶信號時，就能做到無碼間串擾傳輸。

方法二：由H(ω)確定系統的奈奎斯特等效帶寬BN，然后。由RBmax=2BN求出最大碼速率，再與實際碼速率比較，若RBmax/RB為正整數，則無碼間干擾，否則有碼間干擾。

2 Nyquist第一準則的應用

下面通過一個實例來分析系統滿足無碼間串擾傳輸的條件，即Nyquist第一準則的具體應用。假設基帶系統的頻率特性如圖2所示。若以2/T速率傳輸信號，判斷各系統是否存在碼間串擾。若以8/T速率傳輸信息，各系統以幾進制碼元傳輸時可以實現無碼間串擾。

圖2 4種不同基帶系統的頻率特性

（1）首先分析第一個問題，判斷各系統是否存在碼間串擾。

根據式（1）和題中給出的條件RB=2/T可知，要使系統實現無碼間串擾，必須滿足的條件為：

分別將圖2（a）、（b）、（c）、（d）4個系統按照該平移量進行平移疊加，然后在觀察區間內檢驗最后疊加的結果是不是一條水平直線。按照該方法可知：在RB=2/T的碼速率下，（a）和（c）系統不能實現無碼間串擾，（b）和（d）系統可以實現無碼間串擾。

此外，分析介紹一種根據系統頻率特性H(ω)分析碼間干擾特性的簡便方法。由H(ω)確定系統的奈奎斯特等效帶寬BN，然后。由RBmax=2BN求出最大碼速率，再與實際碼速率比較，若RBmax/RB為正整數，則無碼間干擾，否則有碼間干擾。下面對這一方法進行簡要分析。

首先介紹理想基帶傳輸系統的奈奎斯特帶寬。理想基帶傳輸系統的傳輸特性具有理想低通特性，其傳輸函數為為：

圖3 理想低通系統的頻域與時域波形

對于圖3（a），當系統傳碼率為RB=1/T時，根據Nyquist第一準則的頻域條件可以判斷，系統無碼間串擾。從時域的角度觀察圖3（b）可以看到，理想低通信號h(t)在t=±nT(n≠0)時有周期性零點。如果發送碼元波形的時間間隔為T，接收端在t=±nT(n≠0)時抽樣，就能達到無碼間串擾，如圖4所示。

圖4 無碼間串擾示意圖

由圖4可見，輸入數據若以RB=1/T的波特速率傳送時，在各個T的整數倍處的數值僅由本碼元所決定。其他各碼元對應的輸出響應在此處均為零，即各碼元之間沒有相互干擾。因此，如果在T的整數倍處進行抽樣判決，就可以正確地恢復出“1”碼和“0”碼。但若不滿足RB=1/T的條件，在各個T的整數倍處，其他各碼元的輸出響應將不會為零，即各碼元的輸出響應是相互影響的，此時存在碼間相互干擾。如果在此處抽樣判決，由于碼間干擾，容易出現誤碼。由此定義理想基帶傳輸系統的傳碼率RB=1/T為奈奎斯特速率，其帶寬B=(π/T)/2π=1/2T為奈奎斯特帶寬，T為奈奎斯特間隔。如果系統用高于1/T的速率進行傳輸時，將存在碼間干擾，如果系統用低于1/T的速率進行傳輸時，有可能存在碼間干擾，也有可能無碼間干擾。奈奎斯特速率是系統實現無碼間干擾傳輸時能達到的最大速率，此時的系統最高頻帶利用率為2 B/Hz。推廣到更一般的系統可以得到，當系統的頻率為ω時，該系統無碼間干擾時最高的傳輸速率（即奈圭斯特速率）為2ω。

使用該方法需要得到系統的奈奎斯特等效帶寬，也就是將給定的系統等效為理想基帶傳輸系統后的奈奎斯特帶寬。根據該方法可得：

根據題中所給條件RB=2/T：

對于系統（a），RaBmax/RB=1/2≠整數，故系統（a）有碼間串擾；

對于系統（b），RbBmax/RB=1=整數，故系統（b）無碼間串擾；

對于系統（c），RcBmax/RB=3/2≠整數，故系統（c）有碼間串擾；

對于系統（d），RdBmax/RB=2=整數，故系統（d）無碼間串擾。

根據題中所給條件Rb=8/T，可以得到此時的碼速率RB=Rb/log2M=(8/T)/N=8/TN，其中令N=log2M為正整數，M就是系統所采取的進制數。為了使系統滿足無碼間串擾，必須滿足條件RBmax/RB為正整數。令RBmax/RB=n，n為正整數。

對于系統（a），RaBmax/RB=Na/8=n，從而Na=8n，M=28n，n為正整數；

對于系統（b），RbBmax/RB=Nb/4=n，從而Nb=4n，M=24n，n為正整數；

對于系統（c），RcBmax/RB=3Nb//=n，從而Nc=8n/3，M=28n/3，考慮到M和n都必須為正整數，所以此時n取3的倍數的正整數；

對于系統(d），RdBmax/RB=Nd/2=n，從而Nd=2n，M=22n，n為正整數。

3 結 論

在數字基帶傳輸系統中，碼間干擾是影響通信質量的主要決定性因素。本文在對數字基帶傳輸系統進行分析的基礎上，總結了判斷數字基帶傳輸系統是否存在碼間干擾的兩種分析方法，并通過一個具體例子探討了奈奎斯特準則的理解和應用。