概率論在血液檢測(cè)分組問(wèn)題中的應(yīng)用研究

郭輝 孔夢(mèng)園

【摘要】大規(guī)模的血液檢測(cè)問(wèn)題，可采用分組檢測(cè)的方法，恰當(dāng)?shù)胤纸M可以減少檢測(cè)次數(shù)，進(jìn)而降低檢測(cè)成本.本文基于相關(guān)的概率論知識(shí)，對(duì)分組檢測(cè)的問(wèn)題進(jìn)行深入的討論，給出了一次分組檢測(cè)模型以及二次分組檢測(cè)模型，通過(guò)軟件python對(duì)一次分組模型以及二次分組模型進(jìn)行模擬，發(fā)現(xiàn)血液檢測(cè)呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)的概率越小，二次分組檢測(cè)方式越優(yōu)于一次分組檢測(cè).本文所研究的分組檢測(cè)模型不僅可以用于醫(yī)學(xué)上的疾病檢測(cè)，還可以用于計(jì)算機(jī)和通信領(lǐng)域中的信號(hào)檢測(cè).本文對(duì)分組檢測(cè)應(yīng)用方面的學(xué)習(xí)和相關(guān)概率論知識(shí)的教學(xué)都具有一定的參考價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】分組檢測(cè);數(shù)學(xué)期望;最優(yōu)分組

【基金項(xiàng)目】河南工業(yè)大學(xué)本科教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目（JXYJ-K201943）;2020年河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目;河南工業(yè)大學(xué)高層次人才科研啟動(dòng)項(xiàng)目（31401221）

一、引 言

對(duì)于大規(guī)模的血液檢測(cè)問(wèn)題，可采取分組檢測(cè)的形式，恰當(dāng)?shù)胤纸M可減少檢測(cè)次數(shù)，進(jìn)而降低檢測(cè)所耗費(fèi)的成本.已有的研究成果表明，分組檢測(cè)并不是每組人數(shù)越多越好，也不是每組人數(shù)越少越好，當(dāng)血樣陽(yáng)性率在某一確定范圍時(shí)，可以通過(guò)恰當(dāng)?shù)姆纸M，降低檢測(cè)次數(shù)，且血樣陽(yáng)性概率越小，平均檢測(cè)次數(shù)降低率越高[1].

高煥江在文獻(xiàn)[2]中對(duì)血液分組檢測(cè)模型進(jìn)行了詳細(xì)的研究，提出了求解二次分組化驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮?jiǎn)捷算法——數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)法，并對(duì)血液檢測(cè)分組模型解的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了說(shuō)明.張樂(lè)成等在文獻(xiàn)[3]中對(duì)血液檢測(cè)分組模型，給出了分組檢測(cè)模型中求解值的簡(jiǎn)單且精確的計(jì)算方法以及二次分組檢測(cè)方法中每個(gè)人平均檢測(cè)次數(shù)的計(jì)算公式.在二戰(zhàn)期間，學(xué)者Dorfman正式提出分組檢測(cè)的想法，并將其運(yùn)用在軍隊(duì)中士兵是否感染梅毒的檢測(cè)，大大提高了檢測(cè)效率.2017年，Shaul K.Bar-Lev等人在文獻(xiàn)[4]中基于分組檢測(cè)模型提出了“循環(huán)不完整識(shí)別程序（RIIP）”并應(yīng)用于血庫(kù)中血液的檢測(cè)，極大地降低了對(duì)于血液篩選時(shí)所花費(fèi)的時(shí)間以及成本.

本文在無(wú)錯(cuò)誤檢測(cè)的前提下，對(duì)于分組檢測(cè)的問(wèn)題進(jìn)行深入分析，首先進(jìn)行一次分組檢測(cè)、二次分組檢測(cè)模型的建立，尋找求解二次分組檢測(cè)模型的方法，然后對(duì)二次分組檢測(cè)的最優(yōu)分組中每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)與一次分組檢測(cè)中每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)進(jìn)行比較，并對(duì)不同的發(fā)病率下的模型進(jìn)行綜合分析.

本文所研究的分組檢測(cè)模型可以用于醫(yī)學(xué)上的疾病檢測(cè)，例如對(duì)于此次新型冠狀病毒肺炎的檢測(cè)，若能快速并高效地檢測(cè)出患者，并對(duì)其采取隔離等措施，在疾病的傳染階段，病情可以得到有效的控制，降低損失;用于計(jì)算機(jī)和通信領(lǐng)域中的信號(hào)檢測(cè)，可對(duì)寬帶私接的現(xiàn)象采取有效的防范措施，促進(jìn)互聯(lián)網(wǎng)市場(chǎng)健康高效的發(fā)展;還可用于對(duì)工業(yè)產(chǎn)品的性能進(jìn)行檢測(cè).例如，對(duì)于剛出廠的燈泡是否可以正常使用的檢測(cè)，利用分組檢測(cè)的思想，將大量的燈泡進(jìn)行分組，形成串聯(lián)電路.根據(jù)串聯(lián)電路的特點(diǎn)，只要有一個(gè)燈泡無(wú)法正常使用，那么整個(gè)串聯(lián)電路都是不通的，從而達(dá)到檢測(cè)的目的.

二、基本概念及理論

根據(jù)文獻(xiàn)[3][5][6]研究發(fā)現(xiàn)目前關(guān)于血液檢測(cè)的方法可以分為兩種：分別檢測(cè)和分組檢測(cè)，其中分組檢測(cè)又可分為一次分組檢測(cè)和二次分組檢測(cè).

分別檢測(cè)是將需要檢測(cè)的血液進(jìn)行逐一檢測(cè).檢測(cè)發(fā)病率較高的疾病或需要檢測(cè)人數(shù)較少時(shí)，使用此方法具有顯著的優(yōu)勢(shì).

分組檢測(cè)是在血液之間不會(huì)發(fā)生交互作用的前提下，可以把n個(gè)樣本分為k組，再進(jìn)行以組別為單位的分別檢測(cè).

一次分組檢測(cè)是每組有k1個(gè)樣本，把k1個(gè)樣本中抽取適量的血液混合在一起進(jìn)行檢測(cè).如果混合血液呈現(xiàn)陰性反應(yīng)，就說(shuō)明這k1個(gè)樣本的血液呈陰性反應(yīng)，這樣此組的k1個(gè)樣本只需檢測(cè)一次即可;如呈陽(yáng)性，則再對(duì)此組的k1個(gè)樣本的血液分別再進(jìn)行逐一檢測(cè)，這樣此樣本組k1個(gè)樣本總共需要進(jìn)行（k1+1）次的檢測(cè).

二次分組檢測(cè)是在一次分組檢測(cè)的基礎(chǔ)上，把呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)的樣本組中每個(gè)樣本再取出來(lái)一部分進(jìn)行混合，再繼續(xù)進(jìn)行分組檢測(cè)，每組k2個(gè)樣本，并且選擇適當(dāng)?shù)膋2值可能會(huì)使每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)降低，如果這混合血液呈現(xiàn)陰性反應(yīng)，就說(shuō)明這k2個(gè)樣本的血液呈陰性反應(yīng)，這樣此組的k2個(gè)樣本只需檢測(cè)一次即可;如呈陽(yáng)性，則再對(duì)此組的k2個(gè)樣本的血液分別再進(jìn)行逐一檢測(cè).

定義2.1 設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為p（xi）=P（X=xi），i=1，2，…，n，…，如果

∑∞i=1|xi|p（xi）<∞，

則稱E（X）=∑∞i=1xip（xi）為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.

三、一次分組檢測(cè)模型

設(shè)需要檢測(cè)的人口總數(shù)為n，血液檢測(cè)呈現(xiàn)陽(yáng)性的概率為p（0<p<1），則呈現(xiàn)陰性的概率為q=1-p.在血液之間不會(huì)發(fā)生交互作用的前提下，把n個(gè)樣本分為k組，每組有k0個(gè)樣本，把k0個(gè)樣本中抽取適量的血液混合在一起進(jìn)行檢測(cè)，此樣本組呈現(xiàn)陰性的概率為qk0，此時(shí)k0個(gè)樣本只需檢測(cè)一次即可;呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)的概率為1-qk0，則再對(duì)此組的k0個(gè)樣本的血液分別再進(jìn)行一次檢測(cè)，這樣此樣本組k0個(gè)樣本總共需要進(jìn)行（k0+1）次的檢測(cè).記k0個(gè)樣本需要的檢測(cè)次數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布律為

經(jīng)計(jì)算可得到每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)為

N1（k0）=1+1k0-qk0，

所需討論的是對(duì)給定的呈現(xiàn)陽(yáng)性的概率p值，討論分組人數(shù)k0取何值，N（k0）即每個(gè)樣本的檢測(cè)次數(shù)達(dá)到最小值，并且與分別檢測(cè)法比較，每個(gè)樣本的檢測(cè)次數(shù)需要滿足以下條件

N1（k0）=1+1k0-qk0<1，

此時(shí)分組檢測(cè)才有意義[7].

經(jīng)計(jì)算，得到下述結(jié)論：（1）當(dāng)呈現(xiàn)陽(yáng)性的概率p滿足p≥0.3時(shí)，進(jìn)行檢測(cè)時(shí)應(yīng)當(dāng)選擇逐一檢測(cè);（2）當(dāng)呈現(xiàn)陽(yáng)性的概率p滿足p<0.3時(shí)，進(jìn)行檢測(cè)時(shí)應(yīng)當(dāng)選擇分組檢測(cè).

四、二次分組檢測(cè)模型

當(dāng)采取二次分組檢測(cè)時(shí)，設(shè)每個(gè)大樣本組分為s個(gè)小樣本組，每個(gè)小樣本組為t個(gè)樣本，此時(shí)，大樣本組的檢測(cè)呈現(xiàn)陰性反應(yīng)的概率為qst，此時(shí)st個(gè)樣本需要檢測(cè)1次即可;若大樣本組呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)，則再分別檢測(cè)各個(gè)小樣本組的混合樣本，檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陰性反應(yīng)的小組，為全部正常，若檢驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)，則該小樣本組需要進(jìn)行逐一檢測(cè).若s個(gè)小樣本組中，有一個(gè)樣本組的混合樣本呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)，其余皆為陰性反應(yīng)，此時(shí)st個(gè)樣本需要檢測(cè)（1+s+t）次;有兩個(gè)樣本組的混合樣本呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)，其余皆為陰性反應(yīng)，概率為C1s（qt）s-1pt，此時(shí)st個(gè)樣本需要檢測(cè)（1+s+2t）次……記每個(gè)大樣本組需要檢測(cè)的次數(shù)Y是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布律為

對(duì)上式進(jìn)行化簡(jiǎn)得到

N2（s，t）=1st+1t（1-qst）+（1-qt）.

其中s，t皆為正整數(shù)[2].

當(dāng)選擇進(jìn)行二次分組檢測(cè)時(shí)，即認(rèn)為二次分組檢測(cè)是優(yōu)于分別檢測(cè)的，否則將選擇一次分組檢測(cè).在得到二次分組檢測(cè)中每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)N2（s，t）后，將其與一次分組檢測(cè)中每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)N1（k0）比較大小，較小的即為最優(yōu)分組方式.

五、分組模型的最優(yōu)組大小模擬

下面，在假定需要檢測(cè)的樣本數(shù)固定、檢測(cè)過(guò)程中不考慮其他影響因素以及檢測(cè)結(jié)果完全正確的前提下，將給定不同的患病概率p值，得到對(duì)應(yīng)患病概率p值下的最優(yōu)組大小.

（一）一次分組模型的最優(yōu)組大小模擬

運(yùn)用python模擬計(jì)算得到不同患病概率p值下的最優(yōu)組數(shù)大小，下述曲線圖反映了在給定一個(gè)患病概率p值的前提下，所對(duì)應(yīng)的分組組數(shù)k0變化的趨勢(shì)，如圖1所示

圖1 不同p值下的最優(yōu)組數(shù)大小

從圖1中，選取一組特定的患病概率p值，并將其對(duì)應(yīng)k0值，代入到一次分組檢測(cè)中每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)N1（k0）中，經(jīng)計(jì)算可得到每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)N1（k0），具體的數(shù)值對(duì)比，如表1所示

由表1可以看出，隨著患病概率p值的增大，最優(yōu)組中包含的樣本量不斷減小，因此，當(dāng)患病概率p值越大時(shí)，所選擇的最優(yōu)分組組數(shù)隨之增大.

（二）二次分組模型的最優(yōu)組大小模擬

對(duì)二次分組模型進(jìn)行模式時(shí)，設(shè)每個(gè)大樣本組分為s個(gè)小樣本組，每個(gè)小樣本組為t個(gè)樣本，記大樣本組的樣本個(gè)數(shù)為k1=st，小樣本組的樣本個(gè)數(shù)為k2=t，此時(shí)二次分組檢測(cè)每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)為

N2（k1，k2）=1+1k2-qk2-1k2-1k1qk1+1-qk1k1，

其中q=1-p，p為呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)的概率.當(dāng)p值很小時(shí)，N2（k1，k2）由

1+1k2-qk2-1k2-1k1qk1，

確定，記為

F2（k1，k2）=1+1k2-qk2-1k2-1k1qk1，

不加以證明，應(yīng)用以下幾個(gè)結(jié)論：

（1）當(dāng)k2一定時(shí)，F(xiàn)2（x，k2）有最小值（要求x>0），此時(shí)

x=2ln q+（ln q）2-4k2ln q，

記作x0.

（2）當(dāng)q>1ee時(shí)，如果x>-1ln q，那么F2（k1，x）>F2k1，-1ln q.

（3）在q>1ee的條件下，二次分組檢測(cè)的最優(yōu)組k2的值小于1-ln q+1，k1與k2的關(guān)系是k1=[x0]或k1=[x0+1]，（[]為取整）[3].

根據(jù)以上分析進(jìn)行二次分組檢測(cè)的模擬，設(shè)置p值分別取0.00001、0.0001、0.0005、0.001、0.005、0.01、0.05、0.1，得到對(duì)應(yīng)概率下最佳k1與k2值及每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)N2（k1，k2），如表2所示.

由表2可以看出，隨著p值的增大，最優(yōu)組中包含的樣本量不斷減小，因此，當(dāng)p值越大時(shí)，所選擇的最優(yōu)分組組數(shù)隨之增大.

（三）模型的對(duì)比

根據(jù)一次分組檢測(cè)模擬以及二次分組檢測(cè)模擬，我們發(fā)現(xiàn)在呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)的概率p確定的情況下，一次分組、二次分組兩種分組檢測(cè)方法的最優(yōu)組大小逐漸增大，對(duì)比如表3所示

從上表中的數(shù)據(jù)我們得知，隨著呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)的概率p不斷增大，兩種分組檢測(cè)的最優(yōu)組中包含樣本量的個(gè)數(shù)在不斷減少，即所選擇的最優(yōu)組組數(shù)在不斷增大.

將一次分組模型與二次分組模型，在呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)概率p相同情況下，每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)N1（k0）、N2（k1，k2）進(jìn)行對(duì)比，如表4所示

由表4可知，在相同的p值下，二次分組模型的平均檢測(cè)次數(shù)小于一次模型的平均檢測(cè)次數(shù)，即二次分組模型的檢測(cè)效率較高，但隨著p值的增大，兩種分組檢測(cè)中每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)逐漸接近.

六、模型的改進(jìn)及結(jié)論

本文對(duì)分組檢測(cè)模型進(jìn)行了理論分析以及軟件模擬，說(shuō)明了該模型的可行性，但是本文仍然有需要進(jìn)一步改進(jìn)之處.

（一）競(jìng)爭(zhēng)模型

本文所設(shè)計(jì)的分組檢測(cè)，是在已知呈現(xiàn)陽(yáng)性的概率p值的前提下所進(jìn)行的，但在實(shí)際生活中進(jìn)行樣本檢測(cè)時(shí)，我們大多時(shí)候都無(wú)法得知患病概率p值的大小，即我們沒(méi)有關(guān)于N個(gè)樣本中壞樣本個(gè)數(shù)的任何信息，此時(shí)我們可以對(duì)以上模型進(jìn)行改進(jìn).

針對(duì)以上問(wèn)題時(shí)，堵丁柱和黃光明提出基于二叉樹(shù)進(jìn)行檢測(cè)，例如，當(dāng)所需檢測(cè)的樣本數(shù)N=12時(shí)，此時(shí)共有23個(gè)待檢測(cè)組.當(dāng)所有的樣本都呈現(xiàn)陰性反應(yīng)時(shí)，只需要檢測(cè)一次，即檢測(cè)第一組;然而，當(dāng)所有的樣本都是呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)時(shí)，需要檢測(cè)23次，即檢測(cè)每個(gè)待檢測(cè)組，此時(shí)分組檢測(cè)的次數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于逐一檢測(cè)的次數(shù).

針對(duì)模型有效性的驗(yàn)證，堵丁柱和黃光明給出定理 MB（d|N）≤2M（d，N）+5，其中（d，N）表示在N個(gè)樣本中有d個(gè)壞樣本，MB（d|N）是指事先不知道d的值時(shí)所需要的檢測(cè)次數(shù)，M（d，N）是指事先知道d的值時(shí)所需要的檢測(cè)次數(shù)，即事先不知道d的值所需要的檢測(cè)次數(shù)不超過(guò)事先知道d的值所需要的檢測(cè)次數(shù)的2倍.

（二）容錯(cuò)模型

本文所設(shè)計(jì)的分組檢測(cè)，是在假設(shè)檢測(cè)結(jié)果完全正確的前提下進(jìn)行的.但在實(shí)際的檢測(cè)過(guò)程中，會(huì)出現(xiàn)由于操作或者儀器等因素的影響導(dǎo)致錯(cuò)誤的檢測(cè)結(jié)果：對(duì)于本應(yīng)是呈現(xiàn)陰性反應(yīng)的樣本組做檢測(cè)，結(jié)果呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng);本應(yīng)是呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)的樣本組做檢測(cè)，結(jié)果呈現(xiàn)陰性反應(yīng).

針對(duì)此問(wèn)題，可以進(jìn)行重復(fù)檢測(cè)法，即按照已有的方法進(jìn)行檢測(cè)，針對(duì)每一個(gè)待檢測(cè)的樣本進(jìn)行重復(fù)多次的檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果不一致，則說(shuō)明檢測(cè)結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤，假如每次檢測(cè)出現(xiàn)錯(cuò)誤的概率很小，重復(fù)檢測(cè)法是可以準(zhǔn)確無(wú)誤地檢測(cè)出所有的壞樣本.

（三）結(jié)論

在血液檢測(cè)的過(guò)程中，我們通過(guò)使用分組檢測(cè)的方法可以有效提高檢測(cè)效率、節(jié)省檢測(cè)成本.若選取分組檢測(cè)的最優(yōu)分組，進(jìn)行樣本的檢測(cè)，則可以使效率得到進(jìn)一步的提高.

本文通過(guò)使用python對(duì)一次分組模型以及二次分組模型進(jìn)行模擬，驗(yàn)證了一次分組檢測(cè)、二次分組檢測(cè)最優(yōu)組大小的存在性，并簡(jiǎn)要分析了患病概率p值對(duì)于分組檢測(cè)最優(yōu)組大小變化的影響，得到以下結(jié)論：（1） 當(dāng)呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)的概率p<0.3且需要檢測(cè)的人數(shù)比較大時(shí)，分組檢測(cè)的效率高于逐一檢測(cè)，否則可以直接使用逐一檢測(cè);（2） 隨著患病概率p值的減小，二次分組檢測(cè)的效率比一次分組檢測(cè)的效率提高;反之，隨著患病概率p值的增長(zhǎng)，二次分組檢測(cè)中每個(gè)樣本的平均檢測(cè)次數(shù)逐漸向一次分組檢測(cè)的次數(shù)接近.

在目前已有的文獻(xiàn)中，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于分組檢測(cè)最優(yōu)組大小求解大多是基于理論的推導(dǎo)，本文將分組模型建立的理論基礎(chǔ)轉(zhuǎn)化為程序代碼，基于python進(jìn)行模型的模擬，減少了理論推導(dǎo)的工作量，并且最優(yōu)組的大小可直觀得到.

【參考文獻(xiàn)】

[1] 高煥江.血液分組化驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膬?yōu)化研究課題研究報(bào)告[J].數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志，2015，28（11）： 1581 -1584.

[2] 高煥江.血液化驗(yàn)二次分組模型的簡(jiǎn)捷算法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43（4）： 53-59.

[3]張樂(lè)成，馬躍，趙旭.血液分組化驗(yàn)問(wèn)題二次分組化驗(yàn)法最佳分組方式的算法[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011，41（1）：78-84.

[4] Shaul K.Bar-Lev，Onno Boxma，Igor Kleiner，DavidPerry，Wolfgang Stadje.Recycled incomplet identification procedures for blood screening[J].European Journal of Operational Research，2017，259（1）：330-343.

[5] 許建強(qiáng)，盧磊.二分法在血液分組檢驗(yàn)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2018，48 （1）：139-142.

[6] 熊文俊，丁娟，李啟寨.分組檢測(cè)方法綜述[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2016，35（5）： 838- 855.

[7] 王為.分組檢驗(yàn)成立的條件及最佳分組方法[J].新疆工學(xué)院學(xué)報(bào)，1996（1）： 19-23.