廣義Vakhnenko方程新的周期孤立波解

楊川 李棟龍 周虹

摘? 要：應用Hirota方法及擴展的同宿測試法對廣義的Vakhnenko方程進行研究，獲得了該方程周期孤立波解。

關鍵詞：Hirota方法;擴展的同宿測試法;廣義Vakhnenko方程;周期孤立波解

中圖分類號：O175.2? ? ? ? ? DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2022.03.018

0? ?引言

隨著當代數學和物理學的發展，非線性科學日顯重要，其中非線性偏微分方程是非線性科學的重要內容之一，故尋找非線性偏微分方程的精確解是數學家和物理學家的重要研究課題。至今，人們創造并發展了很多求非線性方程精確解的方法，如逆散射法[1]、B?cklund變換法[2]、齊次平衡法[3]、雙曲函數展開法[4]、擴展的雙曲函數展開法[5]、Jacobi橢圓函數展開法[6]和Hirota變換法[7]等。近年來，許多學者致力于Hirota變換法的各種推廣和應用[8-11]，使得Hirota變換法有了進一步的發展和拓展。這些求解非線性方程精確解的方法有力地推動了非線性科學的發展。

Vakhnenko方程（Vakhnenko equation，VE）是研究某種處于松弛介質中的高頻波的數學模型[12]，公式如式（1）所示：

[??xAu+u=0 ].? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

其中：[A=??t+u??x] ，[u]表示無維壓力變量，[x]和[t]分別表示空間和時間變量。對于邊界條件，即當[|x|→∞]時，[u→0]，具有多回形孤子解[13]。

廣義的Vakhnenko方程（generalised Vakhnenko equation，GVE）[14]，即：

[??x（A2u+qu2+βu）+qAu=0] .? ? ? ? ?（2）

其中：[β]、[q]是任意的非零常數，其具有回形孤子解、駝峰型和尖型孤子解。Vakhnenko等[15]用B?cklund轉換法和逆散射法對方程在[q=1]時進行了求解，分別得到了方程具有一個無限序列守恒定律的結論和N-孤子解。El-Nahhas[16]用同倫分析法對Vakhnenko方程求解并得到了單回形孤子解。Hirota等[17]用因變量轉換法（dependent variables transition，DVT）求出多孤子解。Li[18]通過研究描述電磁物理學中高頻波（high frequency wave，HFW）傳播的Vakhnenko方程來描述一種新型的呼吸器。通過在Hirota雙線性法中將雙線性函數擴展為混合指數函數和三角余弦函數，構建了一個解析多值函數解，這是一個經過驗證的環狀扭結呼吸器。Abdou等[19]基于三波法得到Vakhnenko方程單一的周期孤立波解。Li等[20]基于擴展的同宿測試法獲得Vakhnenko方程的N-loop解。本文主要應用Hirota方法及擴展的同宿測試法在文獻[14]基礎上對廣義的Vakhnenko方程（GVE） 求解其周期孤立波解并對解進行討論。

1? ? 精確解及解的分析

式（2）（[q=1]）對應的雙線性形式[14]為：

[（βDXDT+D3XDT+D2X）f?f=0].? ? ? ? ? ? （3）

其中：X、T分別表示空間和時間變量。

Hirota雙線性算子定義為：

[DmxDkt（a?b）=（??x-??x）m（??t-]

[??t）ka（x， t）b（x， t）|x=x， t=t]? .? ? ? ? ?（4）

為了獲得新周期孤立波解，作如下假設：

假設1

[f=e-Ω（X+α2T）+b1cosp（X-α1T）+b2eΩ（X+α2T）].（5）

其中：[αj、bj、p、Ω（j=1， 2）]是實數。

將式（5）代入式（3）化簡后得到：

[2b1b2pΩ[（3p2-Ω2-β）α1+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3Ω2-p2+β）α2+2]sin（η）sinh（ξ）+2b1b2[p2（3Ω2-p2+β）α1+Ω2（Ω2-3p2+β）α2+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（Ω2-p2）]cos（η）cosh（ξ）+b21p2（β-4p2）α1-1]+? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[4b2Ω2[（β+4Ω2）α2+1]=0.]

其中：[η=p（X-α1T）]， [ξ=Ω（X+α2T）+lnb2]，令[sin（η）sinh（ξ）]、[cos（η）cosh（ξ）]的系數及常數項等于0，可求得：

[α1=-p2+Ω2-β（p2+Ω2）2+2β（Ω2-p2）+β2， α2=-p2+Ω2+β（p2+Ω2）2+2β（Ω2-p2）+β2，b2=-14b21p2（3p2-Ω2-3β）Ω2（p2-3Ω2-3β）.]? ? ? ? （6）

并可得到周期孤立波解：

[U=6（lnf）XX=12b1b2（Ω2-p2）cosp（X-α1T）cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1cosp（X-α1T）+2b2cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2+24b1b2pΩsinp（X-α1T）sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1cosp（X-α1T）+2b2cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2+][24b2Ω2-6b21p2{b1cosp（X-α1T）+2b2cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2].（7）

[U]中的各常數關系由式（6）給出：

1）若[α1α2>0]，[b2>14b21]，[U]中的[X]和[T]取任何值都不會使其分母為0，此時得到非奇異的周期孤立波解，見圖1。

2）若[α1α2>0]，[0<b2<14b21]，此時當[X]和[T]取某些值時，可使表達式（7）的分母為0，則這時的[U]為奇異的周期孤立波解，見圖2，奇異的部分已被截斷。

假設2

[f=e-Ω（X+α2T）+b1sinp（X-α1T）+b2eΩ（X+α2T）] . （8）

將式（8）代入式（3）化簡后得到：

[2b1b2pΩ[（3p2-Ω2-β）α1+（3Ω2-p2+β）α2+2]cos（η）sinh（ξ）+2b1b2[p2（3Ω2-p2+β）α1+Ω2（Ω2-3p2+β）α2+（Ω-p2）]sin（η）cosh（ξ）+b21p2[（β-4p2）α1-1]+4b2Ω2[（β+4Ω2）α2+1]=0.]

其中：[η=p（X-α1T）]，[ξ=Ω（X+α2T）][+lnb2]，令[cos（η）sinh（ξ）]、[sin（η）cosh（ξ）]的系數及常數項等于0，得到的系數關系同假設1的式（6），此時可得到周期孤立波解為：

[U=12b1b2（Ω2-p2）sinp（X-α1T）cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1sinp（X-α1T）+2b2cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2+? ? ? ? 24b1b2pΩcosp（X-α1T）sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1sinp（X-α1T）+2b2cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2+][? ? ? 24b2Ω2-6b21p2{b1sinp（X-α1T）+2b2cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2] . （9）

[U]中的各常數關系由式（6）決定：

1）若[α1α2>0，]，[b2>14b21]，得到非奇異的周期孤立波解，見圖1。

2）若[α1α2>0]，[0<b2<14b21]，此時當[X]和[T]取某些值時，使表達式（9）的分母為0，則這個時候的[U]為奇異的周期孤立波解，見圖2，奇異的部分已被截斷。

假設3

[f=b1cosp（X-α1T）+b2eΩ（X+α2T）-e-Ω（X+α2T）]. （10）

將式（10）代入式（3）得到的系數關系同式（6），此時的周期孤立波解為：

[U=12b1b2（Ω2-p2）cosp（X-α1T）sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1cosp（X-α1T）+2b2sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2+? ? ? 24b1b2pΩsinp（X-α1T）cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1cosp（X-α1T）+2b2sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2-][? ? ? 24b2Ω2+6b21p2{b1cosp（X-α1T）+2b2sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2.]（11）

這完全是一個奇異的周期孤立波解，見圖3和圖4。

假設4

[f=b1sinp（X-α1T）+b2eΩ（X+α2T）-e-Ω（X+α2T）]. （12）

將式（11）代入式（3）運算化簡得到的系數關系同式（6），此時的周期孤立波解為：

[U= 12b1b2（Ω2-p2）sin[p（X-α1T）]sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1sin[p（X-α1T）]+2b2sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2 -? ? ?24b1b2pΩcos[p（X-α1T）]cosh[Ω（X+α2T）+lnb2]{b1sin[p（X-α1T）]+2b2sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2-][? ? ?24b2Ω2+6b21p2{b1sin[p（X-α1T）]+2b2sinh[Ω（X+α2T）+lnb2]}2 .]（13）

這也完全是一個奇異的周期孤立波解，見圖3和圖4。

2? ? 結論

本文主要應用Hirota方法及擴展的同宿測試法獲得了廣義的Vakhnenko方程的周期孤立波解。這些解是包含一個周期解和一個孤立波的雙波，它反映了周期解和孤立波的彈性碰撞，這是一個有趣的物理現象，證明了廣義的Vakhnenko方程解的復雜性以及各種動力學行為。

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New periodic solitary wave solutions for generalized Vakhnenko

equation

YANG Chuan1， LI Donglong2， ZHOU Hong1

（1. School of Electronic Information Engineering， Liuzhou Vocational and Technical College， Liuzhou 545006， China; 2.College of Science， Guangxi University of Science and Technology， Liuzhou 545006， China）

Abstract： Periodic solitary wave solutions of the generalized Vakhnenko equation are obtained by? ? ? Hirota method and the extended homoclinic test method.

Key words： Hirota method; extended homoclinic test method; generalized Vakhnenko equation;? ? ? ? ?periodic solitary wave solution

（責任編輯：于艷霞）