通過建立一維模型講解兩相流數值模擬過程

周 豹，楊 娜，胡永茂，謝再新，段卓琦，羅 亮，Gretar Tryggvason

（1.大理大學，云南大理 671003；2.約翰霍普金斯大學，馬里蘭州巴爾的摩 21218-2681）

數值模擬/仿真被廣泛應用在力學、能源、環境科學等教學中。一方面是因為數值模擬本身具有靈活、易于控制、可重復性好，能夠預測參數變化、發現新的現象等特點，并隨著計算機硬件性能發展能夠解決的問題日益豐富，已成為科學研究的重要方法。完成一項數值模擬類似于完成一項實驗，相對于實驗，數值模擬在一些方面具有不受實驗儀器、設備制約的優勢，省時省力。例如飛行器的風洞實驗結果與相應的數值模擬結果非常接近，而風洞實驗花費的時間、經濟成本要遠遠高于數值模擬。另一方面數值模擬能直觀地給出參數的實時數據、變化特征，例如流體數值模擬中的速度、壓力、阻力、溫度、組分濃度、紊流特性、管道應力疲勞等。學生可以通過數值模擬體會參數變化之間的關系、參數變化給系統帶來的影響，深入理解公式的推導過程，建立實際現象與抽象公式的直觀聯系，對學生形成邏輯記憶有很大的幫助。

兩相流動是流體力學的一個分支，是單相流動的拓展，同時也是復雜多相流動（流體中同時存在固體、液體和氣體、微生物等中的兩種或幾種）的基礎。兩相流動廣泛存在于自然界和能源、醫學、化工等領域。例如，整個地球的水汽循環、核反應堆中的沸水堆、血液循環系統都屬于典型的兩相流動問題。兩相流是能源動力專業的主干課程，也是一些相關專業的必選課程。

流體力學中牛頓流體的問題描述基本都是NS（Navier-Stokes）方程的求解〔1〕。NS 方程的存在性與光滑性問題是千禧年七大數學難題之一，至今沒有被解決，但不影響它在應用領域的重要地位和作用。可以通過離散NS 方程求數值解。離散求解的同時可視化即為流體數值模擬的過程。工程和科學研究一般采用三維數值模擬，三維數值模擬能夠很好地展示流體的參數變化規律，但是計算量大，計算機時長。教學中為演示原理、講解離散和計算過程，通常把三維問題簡化為二維問題。即便如此，二維程序仍比較復雜，所需講解的細節問題仍有很多，占用課時量大，很難在同一時間段完成，造成課程的不連貫。本文以氣液兩相流中典型泡狀流為例，講解在向上的管流、層流穩定狀態下，氣泡會分布于貼壁面處〔2〕現象的數值模擬過程。為了盡可能用較短的課時闡述整個數值模擬過程，使學生對問題的全貌和計算過程有全面認識，對二維問題進一步簡化，只考慮截面一個方向的分布，結果能夠很好地反應氣體分布規律。所編寫的Matlab 程序短煉，易于學習和講述，為講述二維、三維數值模擬的復雜過程提供過渡，同時也為學生提供簡化問題、分析問題的思路。

1 兩相均相流模型的描述

實際問題較為復雜，為了講解原理首先應簡化復雜問題，不考慮流動過程中可能伴隨的液滴/氣泡破裂、相變、熱交換等問題，在原有對單相流動的理解基礎上，進一步簡化研究兩相流模型。

利用兩相流基本NS 方程建立一維數學模型。假設氣相以小氣泡的形式彌散在液相中，設截面方向x 處氣相占比εg，平均氣相占比，截面方向x 處液相占比為εl，平均液相占比和εg是位置x 和時間t 的函數。其中，下標l 代表液相，下標g 代表氣相。氣相和液相占比的關系為

x 處的密度為

平均密度

連續性方程為

動量方程〔3〕為

其中

2 連續性方程和動量方程的離散和計算過程

首先對各個參數進行初始化，其中設截面寬度H=2；截面含氣率液相密度ρl=2.5；動力黏度系數μl=0.002 5；運動黏度系數；時間步長〔4〕方向步長單位坐標對應點的含氣率初始化為

如圖1 所示，在不考慮氣泡的大小，氣相均勻分布的情況下，為求得流體速度分布，對流體微元進行受力分析。為使流體微元兩側的黏性阻力相等便于分析，選擇以中心點對稱的微元，以為例，微元“面積”（對于一維線段，則為長度）為微元受力平衡：

圖1 單相流體層流二維受力示意圖

化簡后兩邊同除2δl 可得到

剪切力又等于

兩式聯立得

積分得

由邊界條件w＝0，即v（H）＝0 得到C＝0，得到速度v 沿x 的分布

為計算方便，設氣相密度為0，動量方程（4）可以改寫成

采用一階迎風格式計算Fg和mf，其中上標j 為時間點，下標i 為坐標點

解出

通過計算

得到

圖2a 為初始狀態，其中速度分布為拋物形態，氣相為均勻分布在橫截面上。經過迭代計算，8 s左右之后，流體處于穩定狀態，如圖2b 所示，此時流體在管道中部速度分布基本保持均勻分布，氣泡則集中在管道四周（一維則為兩側）。符合實驗現象〔5〕。

圖2 含氣率和速度分布

3 結語

本文依據NS 方程對兩相泡狀流在二維管道截面方向上建立一維模型，通過離散NS 方程，設置初始條件，迭代計算流道內的液相速度分布、氣泡分布，講解兩相流數值模擬的分析、計算過程。模型簡單，所需編寫代碼簡練，能夠在較短課時完成講解，易于學生掌握、理解原理及數值模擬整體過程，為后續學習打下良好的基礎。