分類討論思想在初中數學解題中的應用探索

陶潔靜

【摘要】分類討論思想是數學解題中比較常見的方法，可以很好地培養學生的一題多解能力，還可以幫助學生橫向聯系知識，有助于學生系統知識體系的建設，對于學生數學解題思維、解題能力提升都有很大幫助.初中數學教師要引導學生充分掌握分類討論思想的特征，靈活應用分類討論方法解決數學問題.

【關鍵詞】 分類討論思想;初中數學;解題

在數學學習中，分類討論思想是一種比較簡單、常用的數學思想，可以引導學生更加理性地思考數學問題、分類化解數學問題，從不同的角度對數學問題進行分析處理[1].通過分類討論思想解決數學問題，可以更好地幫助學生整理知識點，并且能對數學問題進行分解、細化，有助于學生探索問題規律，簡化難題.

1 初中數學解題中分類討論思想的應用

1.1 引導學生樹立分類討論意識

課堂教學是培養學生分類討論思想的重要平臺，教師不僅可以在習題講解中指引學生應用分類討論思想，還可以指引學生用分類討論思想來歸納整理知識點，便于學生對知識進行系統、全面的了解.在實際教學中，初中數學教師需要指引學生結合自身的學習情況，實現知識模塊化學習，能對知識進行合理的分類[2].

1.2 學生互動分類討論

對初中生來說，他們的思維還相對比較簡單，對數學思想方法的認識還存在一定的不足.所以在實踐中初中數學教師還需要在學生認識、了解分類討論思想以后，指引學生針對這一思想進行互動交流，讓學生能在討論中加深理解，避免學生出現分類討論復雜化的情況，影響學生的學習效果[3].

2 具體案例分析

2.1 在不等式問題處理中的應用

例1 已知不等式（n+3）x≥n2-25，求x的取值范圍.

本題主要是對不等式的知識點進行考查，學生在解題中需要注意到多種情況，如n+3=0，n=-3時，x可以取得任意數值.對此，學生就可以利用分類討論方法解決本題：

當n+3=0，n=-3時，不等式恒成立，因此x可以是任意的實數;

當n+3>0，n>-3時，x≥n2-9n+3=（n+3）（n-3）n+3=n-3，因此可以得出x≥n-3;

當n+3<0，n<-3時，同上可以得出x≤n-3.

綜上所述，n=-3時，x是任意的實數;n>-3時，x≥n-3;n<-3時，x≤n-3.

在本題中，主要考查學生對不等式解法及分類討論思想的應用.學生在本題中可以意識到，不等式中本身存在很多變量，在解題中要注意不能按照單一的思想處理問題，應該靈活的應用分類討論思想，列出符合題意的所有情況，一一分析，然后完成解題.

2.2 在絕對值問題處理中的應用

例2 若|a|=3，|b|=2，a>b，求ba的值.

本題中，考查的是絕對值性質、冪的計算，本題的難點是b有兩個取值，同時都小于a，所以學生在解題中應該靈活地應用分類討論思想.

根據題意可以知道a=±3，b=±2，由于a>b，所以要對a、b的值進行分類討論.a=3b=2或a=3b=-2，因此可以得出ba=8或ba=-8.

2.3 在方程問題處理中的應用

例3 已知方程（m-3）x|m-1|+x2-3=0，如果以上式子是一元二次方程，需要m滿足什么條件？

本題中，要想滿足式子是一元二次方程，只需要x的指數小于等于2，為自然數即可，也就是|m-1|≤2.

當|m-1|=2時，m=3或m=-1，代入上式可以得出x2-3=0或3x2+3=0;

當|m-1|=1時，m=2或m=0，代入上式可以得出x2-x-3=0或x2-3x-3=0;

當|m-1|=0時，m=1，代入上式得出x2-5=0.

綜上所述，m的取值是-1、0、1、2、3時滿足題目要求.

本題中，主要考查了學生對一元二次方程定義的掌握情況，有的學生在解題中很容易出現遺漏答案的情況，通過分類討論思想的應用，則可以很好地避免學生遺漏，對于學生解題準確性的提升十分有利.

2.4 在三角形問題處理中的應用

例4 如圖1所示，直線l1和直線l2相交，同時有一個線段AB與直線l1相交，如果在兩條直線上有一個點P，問什么情況下能使得△PAB是等腰三角形？

在本題中，學生需要先回顧之前學過的等腰三角形知識，然后在結合分類討論思想進行處理.設等腰三角形PAB是以AB為底邊;然后設線段AB是等腰三角形PAB的腰，有∠A是頂角及∠B是頂角兩種情況，所以學生在解題中還要進行分類討論.

（1）AB是△PAB的底邊，如圖2所示，做出線段AB的垂直平分線，與兩條直線相交于P1、P2，由于垂直平分線上的點到與線段兩個端點的距離是一樣的，AP1=BP1，AP2=BP2，則△P1AB、△P2AB是等腰三角形.

（2）AB是△PAB的腰，∠A是頂點，如圖3所示，A為圓心，AB為半徑畫圓，與兩條直線相交與P3、P4、P5、P6.由于圓上的任意一個點至圓心的距離是一樣的，則AB=AP3=AP4=AP5=AP6，可以得出△P3AB、△P4AB、△P5AB、△P6AB都是等腰三角形.

（3）AB是△PAB的腰，∠B是頂點，如圖4所示，B為圓心，AB為半徑畫圓，與兩條直線相交與P7、P8、P9、P10.同理可得AB=AP7=AP8=AP9=AP10，可以得出△P7AB、△P8AB、△P9AB、△P10AB都是等腰三角形.

綜上，P點滿足以上幾種情況，可以使得△PAB為等腰三角形.

3 總結

由于分類討論思想的應用并非是一朝一夕能完成的，需要學生不斷地訓練、應用，因此教師在日常教學中也需要引導學生樹立良好的分類討論意識，讓學生在學習中能靈活的應用分類討論思想進行學習、解題，促進學生的數學學習水平提升，為學生綜合發展提供保障.

參考文獻：

[1]趙濟民.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J].新課程，2018（8）：94.

[2]陳亭葶.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J].試題與研究：教學論壇，2021（4）：152.

[3]陳經輝.初中數學分類討論思想在解題中的應用探索[J].中學課程輔導（教學研究），2019，13（2）：286-287.