常吸力下非飽和土柱孔擴張彈塑性解及飽和度響應

2022-07-05 09:14:44李鏡培魏國偉劉耕云

哈爾濱工業大學學報 2022年8期

李鏡培，魏國偉，劉耕云

(1.巖土及地下工程教育部重點實驗室(同濟大學)，上海 200092；2.同濟大學地下建筑與工程系，上海 200092)

圓孔擴張理論主要研究圓孔擴張或收縮所引起的應力場和位移場的變化，廣泛應用于靜力觸探試驗(CPT)和旁壓試驗(PMT)結果的解釋[1-2]、靜壓樁的沉樁效應分析[3-4]和隧道圍巖壓力的計算[5]等。在過去的幾十年里，圓孔擴張理論所涉及的土體模型從早期的理想彈塑性模型逐漸發展到臨界狀態模型。目前，不少學者將研究聚焦于土體各向異性[6-7]、三維強度[8]和不同原位應力[9]對圓孔擴張過程中土體力學行為的影響。然而，上述解答大多是針對兩相的飽和土提出的，飽和土在圓孔擴張過程中飽和度沒有變化，僅具有力學響應。而對于非飽和土來說，擴張響應還需充分考慮其水力耦合特性。

目前，部分學者對非飽和土中圓孔擴張問題進行了研究。Russell等[10-11]在研究中引入基質吸力，分別假定土體屈服后服從邊界面模型和修正劍橋模型，采用相似求解技術給出有限徑向范圍內非飽和土中圓孔擴張問題的解答。Yang等[12-13]進一步拓展了排水條件和邊界條件，分別研究了水力滯后和邊界效應的影響。張亞國等[14]考慮吸力效應的影響，采用單應力狀態變量法將Chen等[15]的飽和土排水精確解拓展至非飽和土中。為了更好地模擬非飽和土的水力耦合特性，Chen等[16-17]采用Sun[18]提出的非飽和土臨界狀態模型(UCSM)，引入孔隙比相關的土水特征曲線(SWCC)，分別提出了不同排水條件下非飽和土柱孔擴張和球孔擴張的精確解答。Yang等[19]考慮了非飽和土的超固結特性，在水力耦合特性的基礎上，建立了超固結非飽和土柱孔擴張的彈塑性半解析解。

Sun[20]的非飽和土三軸試驗和王永洪等[21]的非飽和土樁土界面剪切試驗均表明，飽和度對非飽和土的應力-應變特性和強度具有重要影響。因此，在求解非飽和土圓孔擴張問題時須充分考慮其飽和度響應。上述解答[16-17,19]均假定飽和度隨孔隙比呈線性負相關，但事實上，非飽和土常吸力壓縮過程中，飽和度隨著孔隙比減小既有可能增加，也有可能減小。Gallipoli[22]通過非飽和土的常吸力壓縮試驗觀察到飽和度隨著孔隙比的減小而增大。Sun等[20]的非飽和珍珠黏土三軸試驗和李濤等[23]的非飽和土水-力耦合本構也得出了相同的結果。然而，Koliji等[24]發現在粉質黏土的常吸力加載過程中，土體的飽和度減小。Romero等[25-26]也均在固結試驗中觀測到了飽和度減小的趨勢。基于上述試驗結果，Pash等[27]提出了非飽和土常吸力加載路徑下飽和度隨孔隙比變化的模型，并討論了該模型預測飽和度變化的能力。該模型可根據有效應力參數增量ψ與飽和度Sr的大小關系，將土體受力過程中飽和度隨孔隙比的變化定義為負/正相關關系，因此，其能夠更好地預測非飽和土受力過程中飽和度增大或減小的趨勢。

此外，之前的解答大多采用雙應力狀態變量來描述非飽和土的水力行為。而單應力狀態變量形式簡單，對試驗條件要求較低[28]，又與傳統土力學中有效應力的表達式相協調，更便于指導工程實踐。同時，許多研究都假設非飽和土CPT過程中基質吸力保持不變[29-31]，即為排水條件。因此，采用有效應力這一單一狀態變量，結合非飽和土臨界狀態模型[18]和Pash等[27]提出的常吸力下非飽和土飽和度隨孔隙比非線性變化模型，推導非飽和土中排水條件下柱孔擴張問題的精確半解析解。與Chen等[16]采用的方法相比，本文采用的本構關系能夠較為全面地模擬非飽和土柱孔擴張過程中的水力行為。所提出的解答可為非飽和土中柱孔擴張問題提供一個通用的分析框架，也為分析非飽和土中沉樁效應、CPT等提供參考。

1 力學模型

如圖1所示，柱孔在一定范圍內受初始水平地應力σh0和豎直地應力σv0作用，當內部壓力由σh0增大到σa，孔徑從a0擴張到a，孔周一定范圍內土體任一點從r0移動至r位置，形成一個半徑為rp的塑性區，塑性區外為彈性區。規定應力以壓為正，應變以體積收縮為正。

圖1 非飽和土柱孔擴張模型

(1)

Bishop等[32]建議非飽和土有效應力表達式為

σ′=σn+χs

(2)

式中：σn為凈應力，等于總應力減去孔隙氣壓力(假設孔隙氣與大氣相通，可視為0)；χ為有效應力參數，表示吸力對有效應力的貢獻；s為吸力，等于孔隙氣壓力ua與孔隙水壓力uw的差值，即ua-uw。

2 本構模型

2.1 屈服面及硬化準則

UCSM在p′-q平面上的屈服面是一個橢圓，如圖2所示。隨著擴孔壓力逐漸增大，孔壁及周圍土體依次從彈性狀態發生屈服，進入塑性狀態。假設土體服從相關聯的流動法則，屈服函數(f)和塑性勢函數(g)可采用以下形式：

圖2 p′-q平面常吸力下屈服曲線

(3)

(4)

λ(s)=λ(0)[(1-c)e-bs+c]

(5)

式中：λ(0)和λ(s)分別為飽和土和非飽和土(基質吸力為s)在e-lnp′平面上正常壓縮線(NCL)的斜率；p′n為參考應力；b和c為材料參數，可分別取0.65和0.125[18]；κ為υ-p′平面內非飽和土加載-再加載線的斜率。

2.2 水力耦合條件

在小應變和土顆粒不可壓縮的假設下，飽和度Sr的變化可歸因于孔隙水體積應變量(dεw=-dVw/V，Vw和V為水的體積和總體積)和總體積應變量(dευ=-dV/V=-dVυ/V=-de/(1+e)，Vυ為孔隙的體積，e為孔隙比)，即

(6)

式中n=e/(1+e)為孔隙率。常吸力加載條件下，水的體積應變率與總體積應變率有關[33]，即

dεw=ψdευ

(7)

式中ψ為有效應力參數增量。聯立式(6)和(7)，飽和度隨孔隙比的變化可表示為

(8)

ψ計算如下：

(9)

有效應力參數χ對于飽和土和干土其值分別為1和0；對于非飽和土，χ可表示為[10,34]

(10)

式中：Ω為材料參數，最佳擬合值為0.55。se為飽和狀態與非飽和狀態轉換所對應的吸力值，對于沿主干路徑飽和度降低的土體，se等于進氣值(sae)；對于沿主濕路徑飽和度升高的土體，se等于排氣值(sex)，如圖3所示。se取進氣值sae。

圖3 考慮水力滯后和孔隙比變化影響的SWCC

聯立式(8)～(10)，可將飽和度增量表示為

(11)

式中

(12)

為了利用上式預測土體受力過程中飽和度的變化，有必要考慮SWCC參數的演化，即進氣值se、孔徑分布指數λp隨孔隙比的變化。采用Pasha等[35]提出的模型，考慮孔隙比變化的SWCC參數可表示為(更新參數均用*表示)

(13)

(14)

式中Sres為殘余飽和度，取0.1[27]。

3 擴張響應

3.1 彈性區

在彈性區(r>rp)，假設土體符合胡克定律和小應變理論，則彈性區應變張量以增量形式表示為

(15)

(16)

另外，在彈性區，彈性模量E和剪切模量G保持不變，分別等于其初始值。彈性區內任意點的應力分布可表示為

(17)

由式(17)可以看出，彈性區平均有效應力p′在擴張過程中保持不變，即

Dp′=0

(18)

因此，在柱孔擴張過程中，體積應變增量在彈性區等于0，即

(19)

3.2 彈塑性響應

塑性區內的3個總主應變增量Dεr、Dεθ和Dεz可以分解為彈性分量和塑性分量，即

(20)

(21)

(22)

根據硬化準則，可得

(23)

聯立式(22)和(23)，可得

(24)

式中

(25)

聯立式(3)和(21)，主塑性應變增量可用矩陣形式表示為

(26)

式中

(27)

聯立式(11)、(15)、(20)和(26)，并轉置，該問題的彈塑性本構關系用拉格朗日形式表示為

(28)

式中

(29)

上述方程中存在σ′r、σ′θ、σ′z、e和Sr5個未知數，未能直接求解，需要引入平衡微分方程(式(1))聯立求解。但平衡方程用歐拉形式表示，而本構矩陣用拉格朗日形式表示，因此，需要引入Chen等[15]提出的輔助變量ξ，將歐拉系轉化到拉格朗日系下。ξ可表示為

(30)

式中ur為徑向位移。

對于柱孔擴張問題，其豎向應變Dεz=0，因此，體應變增量Dεv=Dεθ+Dεr；利用輔助變量，根據對數應變的定義，應變分量可表示為

(31)

(32)

將輔助變量代入平衡方程，平衡方程可以用拉格朗日形式表示為

(33)

將式(31)和(32)代入式(28)并聯立式(33)，可組成求解排水條件下非飽和土中柱孔擴張問題的方程

(34)

3.3 邊界條件

根據連續性條件，在彈塑性交界面應保持彈性區的性質：平均應力保持不變，即Δp′=0。因此，在彈塑性交界面(r=rp)的平均有效應力等于初始值，即

p′(ξp)=p′0

(35)

將上式代入屈服函數式(3)，并考慮非飽和土先期固結壓力的影響，如圖2所示，可將彈塑性交界面的偏應力表示為

(36)

根據式(17)，彈塑性交界處有效應力為

(37)

從彈性解和連續性條件可知，彈塑性交界面處土體孔隙比e(ξp)和飽和度Sr(ξp)分別等于初始值，即

e(ξp)=e0

(38)

Sr(ξp)=Sr0

(39)

另外，輔助變量ξp的初始值可表示為

(40)

至此，彈塑性交界面處的基本未知量都已確定，所有控制方程都表示為輔助變量ξ的函數。因此，方程求解后需將輔助變量ξ與徑向坐標r進行轉換：

(41)

4 模型驗證及敏感性分析

本節中，將基質吸力和超固結比對柱孔擴張的響應特性進行了研究，以探究擴張過程中柱孔周圍應力的分布和飽和度的變化等，所選參數如表1所示。

表1 土體參數取值

4.1 模型驗證

當土體呈飽和狀態時，土體吸力為0。因此，為了驗證本文所提出的解答，可假設基質吸力s=0，χ=1，使本文解答退化至飽和土情況，并與Chen等[15]提出的飽和土柱孔擴張排水解進行對比，其中初始比體積υ0取值與文獻[15]相同。圖4(a)為柱孔擴張過程中不同超固結比下的擴孔壓力曲線對比，圖4(b)～(d)分別為a/a0=2時柱孔周圍土體應力及比體積的徑向變化及應力路徑在p′-q和p′-υ平面上投影的對比。可以看出，當吸力等于0時，本文解答與文獻[15]的飽和土柱孔擴張解答基本相同，證明本文解對于排水情況的求解是有效的。同時，由4(a)可知，隨著孔徑的增大，擴孔壓力先快速增大，當柱孔擴大至約2倍初始孔徑時，擴孔壓力增速放緩，并逐漸趨于恒定值。因此，取2倍初始孔徑(a/a0=2)為當前柱孔擴張狀態進行分析。

圖4 本文退化解答與文獻[15]的對比

4.2 敏感性分析

圖5為不同基質吸力和超固結比條件下的擴張-壓力曲線。可以看出，當a/a0<2時，擴張壓力顯著增長；之后，擴孔壓力隨著孔徑的增大緩慢增大，最終接近定值。同時，隨著吸力和超固結比增大，擴孔壓力明顯增大，表明吸力和超固結比對擴孔壓力具有顯著影響。這可能是由于吸力和先期固結壓力分別對非飽和土的平均有效應力和屈服應力具有增強作用，從而有效增強土體的強度。

圖5 擴張-壓力曲線

圖6探究了a/a0=2時非飽和土中不同超固結比下基質吸力對擴孔壓力的影響(初始地應力取值與R=1時相同)。可以看出，當吸力較小(s/se0<1)時，擴孔壓力隨著吸力的增長較快；吸力值進一步增大到s/se0>1時，擴孔壓力的增長放緩，擴孔壓力斜率發生突變，即吸力對擴孔壓力的增強作用降低。由Bishop的非飽和土有效應力原理可知，這是吸力對土體有效應力的貢獻(有效應力參數)隨著吸力的增大而降低導致的。

圖6 不同超固結比下擴孔壓力隨基質吸力的變化

同時，柱孔周圍土體的應力-應變響應(見圖5、6)常被用于解釋原位試驗，如靜力觸探試驗(CPT)和旁壓試驗(PMT)。在大應變的假設下，孔壁處的應力σa接近一個極限值，該現象可用來解釋CPT的錐尖阻力和PMT的擴孔壓力。值得注意的是，σa隨著基質吸力的增大而增大，且重超固結土的擴孔壓力明顯大于正常固結土，即吸力和超固結比能夠顯著增加原位試驗圓孔擴張所需的壓力。因此，非飽和土的原位試驗過程中，如果不能正確地考慮吸力對孔壁極限壓力的影響，易將吸力對極限壓力的貢獻誤當作土體自身強度的貢獻，從而導致土體強度參數的過高估計。為了加強理論分析，建立了擴孔壓力與吸力、超固結比間的擬合公式。由于擴孔壓力曲線與吸力基本呈線性關系，但在進氣值處分段，將擴孔壓力曲線在進氣值處分段進行線性擬合，如式(42)所示，擬合曲線的相關系數r2∈[0.994 2,0.999 7]。

(42)

圖7給出了a/a0=2時，常吸力(s/se0=2)和無吸力狀態下，不同超固結比柱孔周圍徑向應力σ′r、切向應力σ′θ、豎向應力σ′z和比體積υ沿歸一化半徑方向的分布曲線。結果顯示，無論原位應力狀態如何，擴張后σ′r和σ′θ分別成為大主應力和小主應力，且σ′r和σ′z在孔壁附近隨著徑向距離增加顯著降低，這意味著孔壁處土體仍未達到臨界狀態。此外，可以看出，超固結比增大，孔壁處應力和比體積增大，柱孔周圍塑性區減小，彈性區增大。這可能是超固結比增強了土的屈服應力，使土體的屈服面增大的結果。

圖7 孔周土體應力及比體積的徑向變化

為了更直觀地展現孔壁處土體應力路徑，將其在p′-q平面上投影，如圖8所示，圖中O點、Y點、C點分別對應初始應力點、屈服應力點和當前臨界應力點。可以看出，非飽和土與飽和土的應力路徑相似。正常固結土(R=1)和輕超固結土(R=1.2)的應力路徑偏離初始屈服曲線，向右直接逼近CSL，在整個擴張過程中經歷應變硬化。而中超固結土(R=3)和重超固結土(R=10)的應力路徑跨越CSL垂直移動到初始屈服面，而后向右逼近CSL，表明其在彈性階段平均有效應力保持不變，先發生應變軟化然后發生應變硬化。

上述現象也能通過應力路徑在p′-υ平面上投影看出，如圖9繪制了a/a0=2時不同超固結比下吸力的大小對應力路徑的影響曲線，柱孔的擴張和收縮可以通過比體積υ的增大和減小來反映。彈性區的p′和υ均為常數，其應力路徑為初始值對應的一個點。而塑性區，由圖8(a)和9(a)可知，正常固結土在擴張初始階段，p′有所減小，這是加載初始階段豎向有效應力σ′z減小為中主應力導致的。同時，當土體超固結比較小時，隨著p′增大，υ快速減小；而適度固結土(R=3)，υ先緩慢減小，而后快速減小到CSL；對于重超固結土(R=10)，υ隨著p′的增大先增大后減小。因此，柱孔擴張過程中，超固結比較小的土體屈服面始終擴張，而重超固結土的屈服面先收縮，然后在排水過程中擴張。同時可以注意到，重超固結土比體積在塑性區隨著p′的增大呈先增大后減小的變化趨勢，說明擴張擠土過程中出現了剪脹現象。

圖8 p′-q平面內應力路徑

圖9 不同吸力下p′-υ平面內應力路徑

另外，對比不同基質吸力下的應力路徑可知，隨著吸力的增大，柱孔擴張到相同程度所需的平均有效應力p′越大，土體達到臨界狀態時所對應的p′和υ也越大，即土體的CSL應該是向右移動了，這一現象也能通過圖7看出。本解答預測的主應力高于無吸力時的主應力，比體積的變化量小于無吸力時的比體積變化量，這可能是土體出現了吸力硬化現象導致的。另外，值得注意的是，當s較小時，對υ的影響很大，當超過某一范圍(s/se0≥1)，對υ的影響降低，比體積υ基本穩定在1.95，即吸力硬化的效果隨著吸力的增大而趨于穩定。

為了展現常吸力柱孔擴張過程中飽和度的非線性響應，圖10繪制了不同基質吸力和超固結比下孔壁處飽和度Sr隨孔徑的變化曲線。值得注意的是，非飽和土柱孔擴張過程中，保持吸力不變時，飽和度會發生變化。由圖10(a)可知，當s/se0<1.5時，孔壁處飽和度隨著孔徑的增大而減小，且基質吸力越大，飽和度的變化范圍越小；吸力繼續增大，孔壁處飽和度曲線呈現先增大后減小的趨勢；當吸力增大到s/se0>2.5時，飽和度隨著孔徑的增大而增大。由圖10(b)可知，吸力較低的土體(s/se0=1)，超固結比越大，飽和度的變化范圍越小；吸力較高時(s/se0=2)，超固結比對飽和度大小的影響較小，但會影響飽和度峰值所對應的孔徑大小。所有的飽和度變化曲線都表明a/a0<2時，擴孔程度對孔壁處飽和度的影響顯著，之后飽和度趨于恒定值。

圖10 孔壁處飽和度隨孔徑的變化

為了進一步探究擴孔過程中飽和度的變化，繪制了a/a0=2時正常固結土孔周飽和度徑向分布曲線，如圖11所示。所有吸力值的飽和度變化曲線在徑向位置r/a=6 時，近似收斂到飽和度初值，因此，可認為孔周土體飽和度的影響范圍為6倍孔徑。從無限遠處到孔壁處，當s/se0≤1時，土體飽和度不斷減小；s增大到s/se0>1時，土體飽和度增長顯著，且吸力越大飽和度增長越快，之后飽和度曲線會發生明顯偏轉，表明孔周一定范圍內土體孔隙水排出且飽和度降低，此外，吸力越大曲線偏轉位置越靠近孔壁。當s/se0=1.6時，孔壁處飽和度等于初始飽和度；當s/se0>2.5時，幾乎呈現飽和度不斷增大的趨勢。這可能是由于吸力較低時，土體保水性較差，孔隙水順利排出，此時土體飽和度主要受含水率控制，表現為擴孔過程中飽和度降低；吸力較高的土體保水性較強，遠離孔壁處土體排水過程受到阻礙，土體飽和度變化主要受孔隙比變化的影響，飽和度隨著孔隙比的減小而增大。而飽和度曲線發生偏轉的現象可用式(8)～(10)和圖3來解釋，由于在柱孔擴張過程中孔隙比減小，SWCC向右移動，相應的進氣值se增大，進而影響有效應力參數的取值。當有效應力參數取值為1，即吸力對有效應力的貢獻達到最大時，非飽和土氣-水界面與固體顆粒的接觸角最小，排水通道連通，利于孔隙水排出，含水率降低，因此，飽和度減小，表現為飽和度曲線的偏轉。而隨著吸力取值增大，吸力對有效應力的貢獻減小，不易排水通道連通，進而影響孔隙水的排出。因此，孔周一定范圍內土體表現為吸力越大，飽和度曲線偏轉點越靠近孔壁，直至無偏轉點，飽和度不斷增大。進一步由式(9)可知，如果取有效應力參數等于飽和度，此時ψ恒小于Sr，飽和度變化與孔隙比變化恒負相關，則圓孔在常吸力作用下擴張時，飽和度總是增大。因此，本文的解答也能很好地解釋此前解答[16-17,19]中飽和度隨著擴孔半徑增大不斷增大的現象。這充分表明了本文解答模擬非飽和土圓孔擴張過程中水力耦合特性的先進性。