擬線性Schr?dinger方程解的多重性

朱文杰，陳春芳

(南昌大學數學系，江西 南昌 330031)

1 引言與主要結果

在本文中，我們考慮以下擬線性Schr?dinger方程

(1)

解的多重性。其中V，K∈C(RN，R)，f(u)在u=0的鄰域內有定義，N≥3且τ>0。要求方程(1)的解，就轉化為求Schr?dinger方程

i?tψ=-Δψ+W(x)ψ-l(|ψ|2)ψ+

(2)

的孤立波解,其中ψ:RN×R→C，W:RN→R為位勢函數，l和ρ:R→R為實函數。當選取不同的函數ρ時，此方程可以應用在物理學、光學、動力學等領域中，見文獻[1-4]。如果方程(2)具有ψ(x，t)=exp(-iEt)u(x)的形式且滿足ρ(s)=s時，則方程(2)可轉化成下述橢圓型方程

(3)

其中E∈R，V(x)=W(x)-E且h是一個新的非線性項。

當方程(3)中的τ>0時，由于非凸項“Δ(u2)u”的出現，與方程(3)所對應的能量泛函可能沒有合適的工作空間使其是定義良好的并且是屬于C1的。為了解決這個困難，Alves等人在文獻[5]中采用變量替換方法求解方程(3),同時結合山路引理和Moser迭代方法，證明了當τ∈(0,τ0)時，方程(3)正解的存在性，其中τ0是一個很小的正數。后來，Wang和Li[6]證明了帶有臨界增長的擬線性Schr?dinger方程正解的存在性。關于此種情形的其他結果可參考文獻[7-10]。

最近，許多學者關注于考慮含有局部項的擬線性Schr?dinger方程的解的存在性，也就是考慮非線性項h(t)只在t=0的附近有定義的情形。Huang和Jia[11]考慮了帶有超臨界擬線性Schr?dinger橢圓方程，并分別討論了在三種位勢(緊位勢、井位勢、周期位勢)條件下的正解的存在性。Bao和Cheng[12]使用Clark定理得到具有如下形式方程

-Δu+V(x)u-Δ(u2)u=g(x，u)，x∈RN

多解的存在性，其中非線性項g(x，u)在原點附近是次線性增長的。與文獻[13-14]不同的是，此方程多解的存在性只有在N=3或N=4的時候才成立，這是因為在做L∞估計時要滿足迭代運算所導致的。更進一步,他們所得的弱解收斂到0。

受以上文獻啟發，本文主要解決以下兩個問題：

(Q1)：與文獻[12]對比，我們是否可以考慮非凸項“Δ(u2)u”的系數為正的情況，也即是方程(1)中τ>0情形,并且非線性項f只在原點附近有定義時解的存在性?

(Q2)：如果我們把文獻[11]中的非線性項是局部超線性增長的改成局部次線性增長，那這個問題的解還會存在嗎? 特別地，也會類似文獻[12]需要對空間維數N限制嗎?

本文采用文獻[12]的思路研究方程(1)，我們對方程(1)中的位勢函數V,K和非線性項f做出以下假設：

(V)0≤α≤V(x)≤β<∞，x∈RN，其中α，β是常數；

(f1)存在δ，M>0，p∈(1，2)使得f∈C((-δ,δ),R)是奇函數且|f(t)|≤M|t|p-1；

(K)0

本文的主要結果如下：

定理1.1假設(V)，(f1)-(f2)和(K)成立。則方程(1)存在無窮多個負能量解。

2 預備知識

這一節介紹本文所需要的空間和截斷函數。首先介紹本文的工作空間為

H1(RN):={u∈L2(RN):?u∈L2(RN)}

其范數為

通常，|·|s表示空間Ls(RN)的范數。C，Ci表示常數(i=1,2,3…)，不同位置可能不相同。

(4)

接下來，我們考慮以下修正方程

(5)

解的存在性。方程(5)所對應的能量泛函為

(6)

的解的存在性，其中g(s):R→R且

現在我們定義

易知反函數G-1存在且是一個奇函數。下面，我們給出函數g，G-1的一些性質。

引理2.1[5]函數g，G-1滿足：

接下來，我們采用以下變量代換

則

由引理2.1，我們得到泛函J在H1(RN)是定義良好的且J∈C1(H1(RN)，R)。另外，對任意的ω∈H1(RN)有

因此，想要求方程(5)的弱解，我們只需要討論半線性橢圓方程

的弱解。

3 主要結果的證明

在本節中，我們采用Clark定理來證明我們的結果。

定理3.1[15]設X是一個Banach空間，Ψ∈C1(X,R)。如果Ψ滿足(PS)條件且

(a)Ψ(-u)=Ψ(u)，Ψ(0)=0且Ψ有下界；

則以下結論至少有一條成立：

(1)存在臨界點序列{uk}，使得對任意的k都有Ψ(uk)<0，并且當k→+∞時有‖uk‖→0；

(2)存在r>0，使得對?s∈(0,r)，都有一個臨界點u滿足‖u‖=s且Ψ(u)=0。

下面，我們說明泛函J滿足Clark定理的所有假設條件。

引理3.2假設(V)，(f1)-(f2)和(K)成立。則泛函J有下界且滿足(PS)條件。

證明由(4)，(K)，引理2.1、H?lder不等式有

則根據Sobolev嵌入不等式得到

又因為1

下證泛函J滿足(PS)條件。令{vn}是一個(PS)序列，即當n→+∞時，有

|J(vn)|≤c，J′(vn)→0

顯然當n→+∞時，有on(1)=〈J′(vn)-J′(v0),vn-v0〉，即

(7)

對任意取定的R>0，令ξR∈C∞(RN，[0，1])滿足

on(1)=

(8)

接下來，由引理2.1，H?lder不等式以及{vn}是有界的可知

(9)

和

(10)

成立。聯立(8)-(10)有

然后再根據條件(V)和引理2.1，當R→+∞時，則有

(11)

又因為v0∈L2(RN)，則我們可以取R0>0足夠大使得

(12)

由(11)、(12)以及局部是緊嵌入的可知

也就意味著當n→+∞時，在L2(RN)中有vn→v0。

接下來，再次利用條件(K)、(4)以及引理2.1和H?lder不等式，我們得到

(13)

同理有

(14)

再由中值定理可得

(15)

最后，由(7)和(13)—(15)知

引理3.4令v是泛函J的一個臨界點，則存在與v，τ無關的常數C*使得|v|∞≤C*。

證明因為v∈H1(RN)是泛函J的一個臨界點，則對任意對φ∈H1(RN)有

(16)

令T>0，定義vT:=max{-T，min{v，T}}。取φ=|vT|2(η-1)v，其中η>1。容易驗證φ∈H1(RN)，因此我們把φ代入(16)有

根據vT的定義，我們知道上式等號左邊第二項是非負的。

通過(4)和引理2.1，我們得到

(17)

(18)

令T→+∞，由(17)、(18)、H?lder不等式和Sobolev不等式可知

和

下面，我們按照以上方法依次迭代下去，則有

然后令k→+∞可得

最后，由H1(RN)→L2*(RN)以及v的有界性可知|v|∞≤C‖v‖≤C*，其中C*與v，τ無關。

注記1從以上證明過程可以看出，與文獻[5-6]相比，我們不需要把參數τ限制在一個很小的范圍內，也即是說，參數τ可以為一個取定的數。