Cahn-Hilliard-Oono方程Xα解的存在性

黃 梅, 蒲志林, 任運平

(四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

1 研究背景介紹

本文研究如下的方程的初邊值問題:

(1)

K(u)=-△u+f(u),

(2)

u(0,x)=u0,x∈Ω,

(3)

(4)

(5)

方程(1)主要描述物理和化學中二元體的相分離,最初是以自由能的形式提及的[1],隨后在熱動力學原理基礎上推出了偏微分方程的形式[2].在方程(1)中,若β=0,即為常見的Cahn-Hilliard方程(簡稱C-H方程).文獻[3]利用扇形算子理論得到了C-H方程局部Xα解和全局Xα解;文獻[4]研究C-H方程任意解軌道的變化情況,證明了在長時間后時入流形的一個很小的鄰域中.該方程解的漸進性態也有大量的研究,例如文獻[5-7]證明了在一定條件下方程在H2和H3空間上存在全局吸引子.

ut+β(u-m)=△(-k△u+F′(u)),

(6)

(7)

特別地,一般考慮它的正則形式

(8)

本文研究C-H-O方程解的存在性問題.首先，利用文獻[3]的討論方法,證明了C-H-O方程局部解的存在性.然后,在局部解存在的前提下,借鑒文獻[3,12]中的整體解的存在性定理,證明了整體解的存在性,即任意給定u0∈L2(Ω),C-H-O方程的初邊值問題的解u,滿足‖▽u‖2是有界的,從而可以推出整體解存在.最后,考慮更一般形式的C-H-O方程

ut+g(u)=△(-△u+f(u)),

u=u(t,x)∈R×Ω,u(0,x)=u0,

其中

討論它在Neumann邊界條件下H2范數是有界的.

2 預備知識

(9)

其中

A:D(A)?X→X

是扇形正算子,分數冪算子

A:X→X

定義為

Ae-Atvdt,

(10)

定義2.1[3](局部Xα解) 設X是一個Banach空間,α∈[0,1)且u0∈Xα.若存在τ>0和函數u∈(C(0,τ),Xα)滿足:

1) u(0)=u0;

2) u∈C1((0,τ),X);

3) ?t∈(0,τ),u(t)∈D(A);

4) ?t∈(0,τ),u滿足方程(9),

則u稱為方程(9)的局部Xα解.

定理2.1[3](局部Xα解的存在性) 對每個u0∈Xα,存在方程(9)的唯一Xα解u=u(t,u0),它是定義在最大存在區間[0,τu0)上的,或者τu0=+∞,或者如果τu0<+∞,則

‖u(t,u0)‖Xα=+∞.

定義2.2[3](全局Xα解) 函數u=u(t)稱為全局Xα解,如果它滿足定義2.1且τ=+∞.

關于方程解的漸進性態的研究中,全局Xα解的存在性是非常重要的.文獻[7]引入了如下假設條件.

假設條件H1) 存在一個Banach空間Y,使得D(A)?Y;

2) 存在一個局部有界函數

C:[0,+∞)→[0,+∞);

3) 存在一個非減函數

g:[0,+∞)→[0,+∞);

4) 存在某個數θ∈[0,1),

使得?u0∈Xα,滿足:

‖u(t,u0)‖Y≤C(‖u0‖Xα),
t∈(0,τu0),

(11)

‖F(u(t,u0)‖X≤
g(‖u(t,u0‖Y)(1+‖u(t,u0)‖θXα),
t∈(0,τu0).

(12)

利用該假設得到下面的重要定理.

定理2.2[3](全局Xα解的存在性) 如果假設條件H成立,則方程(9)存在全局Xα解.

為了利用范數不等式關系,本文將用到如下關于等價范數的結果.

引理2.1[13]對?η>0,

3 主要結果

從而有

f′(s)≥-λ,

(13)

|f′(s)|≤k1(1+|s|2p-2),

(14)

|f″(s)|≤k2(1+|s|2p-3).

(15)

根據文獻[14]有

‖△f(u)‖≤‖f′(u)‖L∞(Ω)‖△u‖+

‖f″(u)‖

(16)

‖△f(u)‖≤k3((1+‖u‖2p-2L∞(Ω))‖△u‖+

(1+‖u‖2p-3

(17)

假設

‖u0‖L∞(Ω)≤m,

(18)

其中m是一個給定的大于0的常數.

先對(1)式在Ω上作積分,利用格林公式可得

因此,

〈u(t)〉=e-βt〈u0〉,t≥0,

從而

|〈u(t)〉|≤|〈u0〉|≤m, t≥0.

(19)

由此可知C-H-O方程不滿足質量守恒,但是在初值有界的條件下解也是有界的,這對后面的空間范數不等式的估計起著重要的作用.

令算子

A=△2+ρI,ρ>0,

其定義域為

(20)

〈Aφ,φ〉L2(Ω)=‖△u‖2+ρ‖φ‖2.

(21)

(22)

△f-βI:Xα(Ω)→L2(Ω)

‖(△f-βI)(φ)-(△f-βI)(ψ)‖≤
‖[f′(φ)△φ-f′(ψ)△ψ]+
[f″(φ)|▽φ|2-f″(ψ)|▽ψ|2]‖≤
CU‖φ-ψ‖Xα,
φ,ψ∈U?Xα.

更進一步,在局部解存在的基礎上研究方程(1)～(4)對時間上的全局先驗估計,討論全局解的存在性.這個過程需要對H1(Ω)空間上的范數進行估計,從而導出滿足文獻[7]中全局解存在性定理的不等式,則有下面的理論.

定理3.1在假設條件(13)～(16)下,任意給定u0∈L2(Ω),初邊值問題(1)～(4)的解u,滿足‖▽u‖2是有界的.

證明將u與(1)式作內積,且由(13)式可得

可適當選取c1,c2,c3>0使得

(23)

又由于

c2‖u‖2+c3,

(24)

由Gronwall引理可知,‖u‖2是有界的,即?M1>0,

‖u‖2≤M1.

(25)

根據(18)～(22)式可知

(26)

-(△f(u),△u)≤c5(‖△u‖2+

(27)

則

(28)

H3(Ω)?H2(Ω)?L2(Ω),

有

(29)

將(29)式代入(28)式且由(25)式得

-(△f(u),△u)≤M1+‖▽△u‖2.

(30)

將(1)式與△u作內積,結合格林公式和(30)式得

(31)

?M2>0, ‖▽u‖2≤M2.

(32)

證明第一步 討論‖△u‖2的范數估計.

將方程(9)與[K(u)]t作內積,一方面

(33)

另一方面,

‖▽udx+

(34)

聯立方程(33)和(34),由(18)式可得

(35)

‖u

(36)

把(36)式帶入(35)式得

(37)

‖▽[K(u(t))]‖2-‖▽[K(u(0))]‖2≤
β‖▽u(0)‖2+λ‖△u(0)‖2+
λ2‖▽u(t)‖2,

‖▽[K(u(t))]‖2≤β‖▽u(0)‖2+

λ‖△u(0)‖2+λ2M2+

‖▽[K(u(0))]‖2.

(38)

(39)

最后把(38)式帶入(39)式有

(40)

令

第二步 討論滿足假設條件H中(12)式.

將方程(9)改寫為

ut=-(△2u+ρu)+△(f(u))+(ρ-β)u,

x∈Ω?Rn,

其中ρ>0且有

0<ρ≤Reσ(A)=Reσ(A2+ρI).

由空間嵌入(22)式,在H2空間上有下列先驗估計

‖△f(u(t))+(ρ-β)u‖≤

‖f′(u(t))‖L∞(Ω)‖△u‖+

‖f″(u(t))‖

‖(ρ-β)u(t)‖≤

‖f′(u(t))‖L∞(Ω)‖u‖H2(Ω)+

c6‖f″(u(t))‖

‖(ρ-β)u(t)‖≤

h1(‖u(t)‖H2(Ω)),

(41)

4 推廣

考慮C-H-O方程更一般的形式,將原方程中的βu用一般的多項式函數代替,即考慮下面的初邊值問題[13]:

(42)

K(u)=-△u+f(u),

(43)

(44)

u(0,x)=u0,x∈Ω,

(45)

‖u(t)‖L∞(Ω)≤‖u(0)‖L∞(Ω),

(46)

(47)

g′(s)≥-λ0,

(48)

下面討論它的解u的范數估計情況.

證明第一步 將(42)式與ut作內積

‖u
dx,

(49)

再讓(42)式與[K(u)]t作內積.一方面,

(50)

另一方面,

‖▽udx-

(51)

聯立(50)和(51)式,由(48)和(13)式得

(52)

將(49)式代入(52)式得

(53)

‖▽[K(u(t))]‖2≤(λ2+λ0)‖▽u(t)‖2+

λ‖△u(0)‖2+‖▽[K(u(0))]‖2.

(54)

第二步 證明‖△u(t)‖2有界.

將(42)式與u作內積,注意到

g(u)·u≥b2q-1u2q-c,

其中c是不依賴于空間時間的常數.故可得

2λ‖▽u‖2+c,

進一步可得

其中c7,c′和c″是大于0的數.再由插值不等式

‖u‖

可得

c′‖u‖2+c″,

‖u‖2≤M0.

(55)

(56)

由(30)和(48)式以及H?lder不等式得

(57)

‖▽u‖2≤M3.

(58)

(59)

最后將(54)式和(4)式帶入(59)式,再由空間嵌入關系L2(Ω)?L1(Ω)有

(60)

由引理2.1可知,‖u‖H2(Ω)是有界的.定理證畢.