u-Matlis余撓模和G-整環(huán)的模刻畫

王宇鑫, 王芳貴, 肖雪蓮

(四川師范大學 數學科學學院, 四川 成都 610066)

眾所周知,若R是整環(huán)但不是域,則R的商域K作為R-模不是有限生成的[1],但是K作為R-代數卻可以是有限生成的.1951年,Goldman[2]在研究Hilbert環(huán)和Hilbert零點定理時,首先討論了這種情況.幾乎與之同時,Krull在文獻[3]中也提到了具有這一性質的整環(huán),并引起了專家學者們的重視,成為當年的研究熱點之一.同年Artin和Tate在文獻[4]中首次明確給出了該類整環(huán)的等價刻畫:“(1)K是R的環(huán)有限擴張.(2)存在非零元a∈R,且每個素理想都包含a.(3)R僅有有限個極小素理想.(4)R僅有有限個素理想,且每一個素理想都是極大的.”直到1974年Kanplansky在其文獻[5]中,才把Goldman和Krull討論的這類整環(huán)正式命名為G-整環(huán),同時給出了明確定義和重要性質.若商域K作為R-代數是有限生成的,則可由R中一個元素u生成,并在文中歸納總結了許多G-整環(huán)的相關性質.例如:“若R是G-整環(huán),則介于其商域K與R之間的任意環(huán)T也是G-整環(huán).”

希爾伯特零點定理是古典代數幾何的基石,它給出了仿射空間中的點與多項式環(huán)的極大理想之間的一一對應關系,由此建立了代數和幾何之間的關系,使得人們可以用交換代數的手段研究幾何問題,而G-整環(huán)在刻畫希爾伯特環(huán)時起到了重要作用.例如文獻[5]中定義：如果交換環(huán)R中的每個G-理想都是極大的,那么R就是希爾伯特環(huán).由此可見,G-整環(huán)及其相關問題有很重要的研究價值.

不難發(fā)現,盡管Kanplansky整理歸納了G-整環(huán)的許多性質,但這些都是環(huán)論性質的刻畫.迄今為止,關于G-整環(huán)的結構缺乏模的刻畫.回顧整環(huán)R稱為Matlis整環(huán),是指pdRK≤1.用Matlis余撓模可以較多地刻畫Matlis整環(huán)[6-8].可以證明,若R是G整環(huán),商域K=R[u-1],則有K=Ru,其中Ru表示R在乘法封閉集S={un|n≥0}上的分式環(huán)(引理3.5).此外,也證明了pdRRu≤1(命題3.2),這使得完全可以像刻畫Matlis整環(huán)那樣來刻畫G-整環(huán).為此,利用相關可除模概念[9-15]引入了u-Matlis余撓模的概念并對G-整環(huán)進行相應的模刻畫,證明了G-整環(huán)就是Matlis整環(huán).

1 u-可除模和u-內射模

以下恒設R是交換環(huán),u∈R是非零因子.

定義 1.1設M是R-模.

1) 若對任何x∈M,存在非負整數n,使得unx=0,等價地,Mu=0,則M稱為u-撓模.

2) 若由ux=0,x∈M,能推出x=0,等價地,自然同態(tài)?:M→Mu是單同態(tài),則M稱為u-無撓模.

3) 若M=uM,等價地,對任何x∈M,恒存在y∈M,使得x=uy,則M稱為u-可除模.

記錄以下的基本事實,以備引用時之需要.

例 1.21)u-撓模的子模與商模都是u-撓模.

2)u-無撓模的子模仍為u-無撓模.

3)u-撓模的直和是u-撓模,于是由1)還有偏序集上的u-撓模的正向極限還是u-撓模.

4) 設M是u-撓模,N是任何模,則M?RN是u-撓模.更一般地,對任何n≥1,是u-撓模.

5)u-無撓模的直積是u-無撓模.

6)u-可除模的商模,直和與直積都是u-可除模.

7) 設A、B是模M的u-可除子模,則A+B也是M的u-可除子模.

8) 對任何模M,M中有一個最大的u-可除子模.

9) 任何Ru-模作為R-模既是u-無撓的,又是u-可除的.

10) 模M是u-可除模,當且僅當

當且僅當對任何n≥1,有

11) 設X是任何模,M是u-無撓模,則HomR(X,M)是u-無撓模.

12) 若T是u-撓模,M是u-無撓模,則

HomR(T,M)=0.

設M是R-模,令

Tu(M)={x∈M|存在非負整數n,

使得unx=0},

則Tu(M)稱為M的完全u-撓子模.

例 1.3下面的事實也是顯然的:

1)M是u-撓模當且僅當Tu(M)=M.

2)M是u-無撓模當且僅當Tu(M)=0.

3)M/Tu(M)總是u-無撓模.

4) 設M是u-無撓模,則Mu/M是u-撓模.

5) 若M既是u-無撓模,又是u-撓模,則M=0.

設I是R的理想.若I包含了一個un,則稱I是u-理想.如文獻[16],稱R-模E為u-內射模,是指對R的任何u-理想I,有

例 1.4下面的事實也是顯然的:

1) 自然地,內射模是u-內射模.

2)u-內射模是u-可除模.

4) 設0→A→B→C→0是正合列,且A、C都是u-內射模,則B也是u-內射模.

設M是R-模,令

u(M)={x∈E(M)|存在自然數n,

使得unx∈M},

則u(M)是E(M)中包含M的子模,且

Tu(E(M))?u(M),

u(M)稱為M的u-可除包絡.當I是R的u-理想時,有R?u(I).

命題 1.5對R-模E,以下各條等價:

1)E是u-內射模.

2) 對R的任何u-理想I,任何同態(tài)f:I→E能擴張到R上.

3) 設A是R-模B的子模,f:A→E是同態(tài).若B/A是u-撓模,則f可以擴張到B.

4) 對任何u-撓模C,

5) 設A是R-模,f:A→E是同態(tài),則f可以擴張到u(A).

證明由文獻[16]的定理3.3,令S={un|n≥0}即得.

命題 1.6對u-無撓模L,以下各條等價:

1)L是u-內射模.

2)L是u-可除模.

3)u(L)=L,即由unx?L(其中x∈E(L),n是自然數),能推出x∈L.

證明由文獻[16]的定理3.4,令S={un|n≥0}即得.

推論 1.7每個Ru-模作為R-模是u-內射模.

證明由例1.2與命題1.6即得.

下面證明本節(jié)的主要定理.

定理 1.8每個u-可除模是一個u-內射模的商模.

為證明定理1.8,姑且把u-內射模的商模稱為hu-可除模.

例 1.9容易得到的hu-可除模的基本性質如下:

1)u-內射模自然是hu-可除模,于是hu-可除模的商模仍然是hu-可除模.

2) 由于u-內射模的直積都是u-內射模,因而hu-可除模的直積是hu-可除模.

3) 若A、B是模M的hu-可除子模,則A+B也是M的hu-可除子模,從而由Zorn引理可以得到任何模M有一個極大的hu-可除子模.再由2)得到任何模M有一個最大的hu-可除子模.

命題 1.10設D是R-模,則以下各條等價:

1)D是hu-可除模.

3)D是一個u-無撓的u-可除模的商模.

4) 對任何x∈D,存在同態(tài)g:Ru→D,使得g(1)=x.

證明1)?2) 由于D是hu-可除模,故存在滿同態(tài)E→D,其中E是u-內射模.考慮下面的交換圖

HomR(Ru,E)→HomR(Ru,D)↓↓HomR(R,E)→HomR(R,D)

由于Ru/R是u-撓模,E是u-內射模,故左邊的垂直箭頭是滿同態(tài).由于R是自由模,所以下行的水平箭頭也是滿同態(tài).因此,右邊的垂直箭頭是滿同態(tài).于是有0→HomR(Ru/R,D)→HomR(Ru,D)→HomR(R,D)→0是正合列.

2)?3) 顯然,D?HomR(R,D)是HomR(Ru,D)的同態(tài)像,且HomR(Ru,D)是Ru-模,從而作為R-模是u-無撓和u-可除的.

3)?1) 由命題1.6,u-無撓的u-可除模是u-內射模,故D是hu-可除模.

2)?4) 設λ:R→Ru是包含映射.對任意的x∈D,令

f:R→D,f(r)=rx,

則

f∈HomR(R,D).

由假設

λ*:HomR(Ru,D)→HomR(R,D)

是滿同態(tài),故存在

g∈HomR(Ru,D)

使得λ*(g)=f,即f=gλ,此時

g(1)=f(1)=x.

4)?2) 對任意的f∈HomR(R,D),令f(1)=x.由條件,存在g∈HomR(Ru,D),使得g(1)=x.對任意的r∈R,g(r)=rg(1)=rx=rf(1)=f(r),所以g|R=f,故0→HomR(Ru/R,D)→HomR(Ru,D)→HomR(R,D)→0是正合列.

hn(u-n)=xn(x0=x),

則有hn是同態(tài),且hn是hn-1的擴張.a∈Ru,則存在n,使得a∈Rn.令h:Ru→D,使得h(a)=hn(a),則h是同態(tài)且是h0的擴張.由此有

h(1)=h0(1)=x.

由命題1.10,D是hu-可除模.

由于u-可除模與hu-可除模的一致性,以下不再說hu-可除模.

命題 1.11對模D,以下各條等價:

1)D是u-可除模.

2) 對任何n>0,

證明1)?2)n=1是顯然的.設n>1,考慮正合列0→Run-1/Run→R/Run→R/Run-1→0,有

Run-1/Run?R/Ru

和歸納法即得所證.

2)?1) 取n=1即滿足要求.

0=M0?M1?M2?…?Mn?…

是Ru/R的子模的連續(xù)升鏈.對n≥1,顯然有

Mn/Mn-1?Ru-n/Ru-(n-1)?R/Ru.

因此,有

由文獻[1]的引理11.7.2有

命題 1.12設M是R-模.

1) 若對任何u-可除模D,有則pdRM≤1.

2) 若M是u-撓模,且有pdRM≤1,則

證明1) 設X是任何模,取正合列0→X→E→D→0,其中E是內射模,故D是可除模,從而D是u-可除模.由正合列0=有因此,有

pdR(M)≤1.

2 u-Matlis余撓模和u-平坦模

定義 2.1設L是R-模,若

則L稱為u-Matlis余撓模.

命題 2.2設D是u-可除模,則D是u-Matlis余撓模.特別地,u-內射模是u-Matlis余撓模.

證明由正合列與命題1.11即得.

定義 2.3設M是R-模.若M無非零的u-可除子模,則M稱為u-約化模.

命題 2.4對模M,以下各條等價:

1)M是u-約化模.

2) 對任何u-可除模D,HomR(D,M)=0.

證明1)?2) 設f∈HomR(D,M),于是f(D)是M的u-可除子模.由于M是約化模,故f(D)=0.因此,f=0,從而得到

HomR(D,M)=0.

2)?3) 這是平凡的.

3)?1) 若M不是u-約化模,則M有非零的u-可除子模D,由命題1.10,存在同態(tài)f:Ru→D,f≠0.設i:D→M是包含同態(tài),則λf:Ru→M是非零同態(tài),這與假設矛盾,故M是u-約化模.

命題 2.51)u-約化模的子模是u-約化模.

2)u-約化模簇的直積還是u-約化模,從而u-約化模簇的直和也是u-約化模.

證明1) 顯然.

2) 設{Mi}是一簇R-模,由自然同構

HomR(RHomR(Ru,Mi)

并引用命題2.4即得.

引理 2.6設M是R-模,則

Tu(M)?

且有正合列0→Tu(M)→M→Ru?RM→(Ru/R)?RM→0,從而M是u-無撓模當且僅當

M?R?RM,Mu?Ru?RM,

于是得到

Tu(M)?

和所需正合列.

命題 2.71) 設0→A→B→C→0是正合列.若B是u-Matlis余撓模,C是u-約化模,則A是u-Matlis余撓模.

2) 設A是u-撓模,則對任何模X,HomR(A,X)是u-約化的u-Matlis余撓模.特別地,HomR(Ru/R,X)是u-約化的u-Matlis余撓模.

3) 設D是u-可除模,則有正合列0→M→E→D→0,其中E是u-無撓的u-可除模,M是u-約化的u-Matlis余撓模.

4) 設M是u-無撓模,則既是u-約化模,又是u-Matlis余撓模.

證明1) 由于C是u-約化的,由命題2.4,HomR(Ru,C)=0.又由于B是u-Matlis余撓模,故由正合列0=HomR(Ru,C)→得到

即A是u-Matlis余撓模.

2) 由于A是u-撓模,故Ru?RA=0,且有

(Ru/R)?RA=0.

由相伴同構定理,有

HomR(Ru,HomR(A,X))=0.

HomR(A,X))?

現在考慮一般情形.設0→X→E→Y→0是正合列,其中E是內射模,于是有正合列0→HomR(A,X)→HomR(A,E)→HomR(A,Y),由前面所述HomR(A,Y)是u-約化模.同理

HomR(A,E))?

3) 令

M=HomR(Ru/R,D),E=HomR(Ru,D).

由命題1.10的2)即得.

4) 由引理2.6,有正合列0→M→Ru?RM→(Ru/R)?RM→0.由于M與Ru?RM都是u-無撓模,Ru/R是u-撓模,故有

HomR(Ru/R,M)=0,

且

HomR(Ru/R,Ru?RM)=0.

由于Ru?RM還是u-內射R-模,因此有

于是有同構

HomR(Ru/R,(Ru/R)?RM).

在2)中取

A=Ru/R,X=(Ru/R)?RM,

命題 2.8設M是u-約化模.

1)M是u-Matlis余撓模當且僅當

M?

2) 若M是u-無撓模,則有正合列0→M→C→E→0,其中E是u-無撓的u-可除模,C是u-約化的u-Matlis余撓模.

證明1) 由于M是u-約化模,故

HomR(Ru,M)=0,

于是有正合列0→M→因此,M是u-Matlis余撓模當且僅當

M?

2) 在1)的證明中,記

C=

并引用命題2.7即得.

定義 2.9設M是R-模.若對任何u-Matlis余撓模C,有則M稱為u-平坦模.

投射模顯然是u-平坦模,Ru顯然也是u-平坦模.更一般地,投射Ru-模也是u-平坦R-模.由于余撓模是u-Matlis余撓模,故u-平坦模一定是平坦模.

定理 2.10若M是平坦模,且對任何平坦的u-Matlis余撓模C,有則M是u-平坦模.

證明對任何u-Matlis余撓模C,由于平坦模類與余撓模類構成是遺傳和完全的余撓理論,故有正合列0→X→G→C→0,其中G是平坦模,X是余撓模,且有

于是有G還是u-Matlis余撓模.由假設

推論 2.11設M是u-平坦模,則

Mu=Ru?RM

是投射Ru-模,從而對任何u-Matlis余撓模C,以及任何k>0,有

定理 2.12設R是整環(huán),P是投射模,F是P的u-平坦子模,則F是投射模.

證明設D是u-可除模,證明

3 G-整環(huán)的模刻畫

引理 3.1設R是任何環(huán),a1,a2,…,an是R中的非零元素序列,F是以x0,x1,…,xn為基底的自由模.令

yn=xn-an+1xn+1,n=0,1,2,….

若n≥1,y=r0x0+r1x1+…+rnxn∈F,則

…+r1a2…an+r0a1…an)xn,

其中j=k時,視aj+1aj+2…ak=1.

證明當n=1時,y=r0x0+r1x1=r0y0+(r1+r0a1)x1,故斷語為真.設n>1,并令

z=r0x0+r1x1+…+rn-1xn-1,

由歸納假設有

從而有

y=z+rnxn=

a

命題 3.2設u∈R是非零非單位元素,則Ru是由

生成的R-模,且pdRRu≤1.

令P=ker(φ),并令

yn=xn-uxn+1,n≥0.

因此,yn∈P.另一方面,設y∈P,可記

y=r0x0+r1x1+…+rnxn.

由

有

r0un+r1un-1+…+rn-1u+rn=0.

若n=0,則y=r0x0.由于φ(y)=r0=0,有y=0.設n≥1,由引理3.1有

y=r0y0+(r1+r0u)y1+(r2+r1u+r0u2)y2+

…+(rn-1+rn-2u+…+r0un-1)yn-1,

故P是由y0,y1,y2,…,yn,…生成的子模.由文獻[1]中定理3.10.20(1),P是自由模,從而有

pdRRu≤1.

引理 3.3設R是整環(huán),u∈R,u≠0,則

R[u-1]=Ru.

α=f(u-1)∈R[u-1],

故

Ru?R[u-1].

反之,設α∈R[u-1],則可記

α=r0+r1u-1+…+rnu-n,ri∈R.

a=r0un+r1un-1+…+rn,

故

R[u-1]?Ru,

于是得到

R[u-1]=Ru.

回顧整環(huán)R稱為G-整環(huán),是指其商域K作為R-代數是有限生成的.在文獻[5]中還指出,K可以由一個元素α∈K生成,即K=R[α].記

由于

推論 3.4設R是G-整環(huán),則存在u∈R,u≠0,使得K=Ru.

引理3.5設R是G-整環(huán),且K=R[u-1],則任何非零理想都是u-理想.

證明設I是R的非零理想,則存在a∈I,a≠0.由于

則可記

其中r∈R.于是

un=ra∈I,

即I是u-理想.

引理 3.6設R是整環(huán).則每個R-模是Matlis余撓模當且僅當R是域,即R=K.

證明設N是R-模.由假設,N是Matlis余撓模,故

于是K是投射模,且

rankR(K)=1,

故K是有限生成R-模,從而有K=R.

定理 3.7設R是G-整環(huán),則R是Matlis整環(huán).

證明記K=R[u-1],則K=Ru.由命題3.2,pdR(K)≤1,故R是Matlis整環(huán).

設N是R-模,則每個Ru-同態(tài)f∈HomRu(K,N)也可以看成一個R-同態(tài),故有自然嵌入:

θ:HomRu(K,N)→HomR(K,N).

引理 3.8設R是整環(huán),u∈R是非零非單位元素.設N是Ru-模,則有:

2)N是Matlis余撓R-模當且僅當N是Matlis余撓Ru-模.

證明1) 先來證明

HomRu(K,N)=HomR(K,N),

即證明每個R-同態(tài)f:K→N可以作成一個Ru-同態(tài).由于Ku=K,故K也是Ru-模.對任何x∈K,k≥0,有

由于N是Ru-模,故有

從而對任何r∈R,有

故f還是Ru-模同態(tài),從而得到

HomR(K,N)=HomRu(K,N).

設0→N→E→X→0是Ru-模的正合列,其中E是內射Ru-模.由文獻[1]的習題3.16,E也是內射R-模,于是有下面的兩行是正合列的交換圖:

HomR(K,E)→HomR(K,X)→Ext1R(K,N)→0θ1↓HomRu(K,E)→HomRu(K,X)→Ext1Ru(K,N)→0

其中θ1是左邊交換方圖的誘導同態(tài).由五項引理,θ1是同構.

2) 由1)即得.

下面用u-內射模、u-Matlis余撓模來刻畫G-整環(huán).

定理 3.9設R是整環(huán),且R≠K,則以下各條等價:

1)R是G-整環(huán).

2) 存在非零非單位元素u∈R,使得每個u-內射模都是內射模.

3) 存在非零非單位元素u∈R,使得每個u-無撓的u-內射模都是內射模.

4) 存在非零非單位元素u∈R,使得每個u-Matlis余撓模都是Matlis余撓模.

5) 存在非零非單位元素u∈R,使得每個u-無撓的u-Matlis余撓模都是Matlis余撓模.

證明1)?2) 設E是u-內射模,I是R的任意非零理想.根據引理3.5,I也是R的u-理想.再由命題1.5有任何同態(tài)f:I→E能擴張到R上,故任何理想I到E的同態(tài)都能擴張為R到E的同態(tài),則E是內射模(Baer準則).

2)?3) 這是平凡的.

3)?1) 記S1=R-0,K=RS1,即K是R商域.S2={un|n≥0},Ru=RS2.設I是u-無撓的u-可除模.由命題1.6知,I是u-內射模.再由假設可得I是內射模亦是可除模,由此得到每一個u-可除模是可除模,則有S1?S2,K?Ru,所以K=Ru,R是G-整環(huán).

1)?4) 顯然,R是G-整環(huán),則由推論3.4,存在u∈R,u≠0,使得K=Ru,故每個u-Matlis余撓模都是Matlis余撓模.

4)?5) 這是平凡的.

5)?1) 設N是任意Ru-模,則N作為R-模是u-無撓且u-可除的.根據命題2.2知,任意u-可除模是u-Matlis余撓模,故N為u-無撓的u-Matlis余撓模,由假設可知N是Matlis余撓模.再由引理3.6,有Ru是整環(huán),每個Ru-模N是Matlis余撓模當且僅當Ru是域,即Ru=K,所以R是G-整環(huán).