基于最小二乘法的橋梁結構剛度損傷識別研究

耿 棟，崔后吉，王 樂

（1.安徽省公路工程檢測中心，安徽 合肥 230051；2.橋梁與隧道工程檢測安徽省重點實驗室，安徽 合肥 230051）

橋梁作為公路工程中的重要節(jié)點工程，對社會的經(jīng)濟發(fā)展及人民的日常生活起到了非常重要的紐帶、銜接作用。建國70 多年來，隨著我國經(jīng)濟的大發(fā)展，基建工程中尤其是橋梁工程發(fā)展相當迅速，如今已成為世界的橋梁大國。然而，近幾十年來國內(nèi)外橋梁事故多有發(fā)生，如2012年8月江西廣昌河東大橋垮塌，2012年5月湖南平江大橋垮塌等。國外的橋梁事故也不乏鮮見，美國明尼蘇達州的35 號洲際公路上一座建成40年的鋼筋混凝土大橋在2007年8月突然發(fā)生坍塌。在橋梁事故中，獨柱墩橋、曲線橋等類型橋梁倒塌受到了特別關注。2019年10月10日18 時10 分許，江蘇省無錫市312 國道K135 處錫港路上跨橋發(fā)生側(cè)翻事故，側(cè)翻橋梁為獨柱墩橋梁結構。資料顯示，國內(nèi)最早的獨柱墩橋、曲線橋倒塌事故發(fā)生在2007年10月23日，包頭市民族東路高架橋突然發(fā)生傾覆，事故由三輛半掛牽引重型貨車由南向北行駛至橋面造成。此后，類似事故時有發(fā)生。

近年來，重大工程結構的安全服役問題越來越突出，對于這些結構的狀態(tài)監(jiān)測，損傷狀態(tài)評估，以及損傷后的安全性評價的理論研究已成為工程結構安全性研究的重要理論需求，并有著廣泛應用前景[1]。自90年代開始，一些重大的工程結構安裝了結構健康監(jiān)測系統(tǒng)并獲得了大量的數(shù)據(jù)，然而，基于目前結構健康監(jiān)測的理論還很難有效地從采集的海量數(shù)據(jù)中提取出結構的特征參數(shù)并對結構的損傷進行識別，更難針對結構的實時狀態(tài)來進行結構安全評估，從而給結構安全研究帶來巨大的挑戰(zhàn)[2]。

在橋梁健康監(jiān)測中結構位移是橋梁監(jiān)測的關鍵參數(shù)之一。隨著國內(nèi)橋梁尤其是獨柱墩橋、曲線橋等類型橋梁需求的增加，橋梁服役過程中結構位移特征引起廣泛關注，例如主梁撓度、橋墩沉降位移、支座位移等。橋梁結構位移作為變形的一種描述形式，是橋梁構件受力最明顯的反應，反映橋梁構件的工作狀態(tài)，可以用于評價橋梁剛度及安全性能[3]。

綜合國內(nèi)外研究現(xiàn)狀分析發(fā)現(xiàn)，大型復雜結構工作剛度損傷識別，盡管有許多的處理方法和研究成果，但還遠不能夠說是一個已經(jīng)完全解決了的課題[4]。特別是長期運營中的土木工程結構，由于環(huán)境的變化，荷載的變化，以及損傷的積累導致剛度的退化，均會導致結構特性參數(shù)隨時間變化。同時大部分土木工程結構在一定程度上表現(xiàn)出非線性行為，如材料本身的非線性導致結構的非線性，結構邊界條件及狀態(tài)的非線性，結構在長期荷載或突發(fā)荷載作用下發(fā)生損傷，也會表現(xiàn)出非線性行為[5]。因此，長期荷載作用下的這些結構，本質(zhì)上屬于時變和非線性結構系統(tǒng)。這就需要能識別結構的時變和非線性參數(shù)的理論和方法[6]。本文正是考慮到橋梁結構在極端荷載作用下，由于損傷的積累導致結構表現(xiàn)出雙線性的行為，研究基于最小二乘法的橋梁結構剛度損傷識別方法，對結構在極端荷載下的安全評估具有較大的理論與工程應用價值。

1 研究方法

對具有雙線性剛度的橋梁結構，在較小荷載作用下橋梁結構保持結構原有的剛度，然而隨著荷載的增加，結構的損傷發(fā)生，導致橋梁結構的剛度降低。本文正是針對橋梁結構的雙線性行為，利用最小二乘法對雙線性剛度進行識別。在外荷載作用下的線性橋梁結構，通過一系列的荷載試驗，可以利用經(jīng)典的最小二乘法來估計橋梁結構的線性剛度的解析閉合解[7]。然而對于雙線性橋梁結構，國內(nèi)外的文獻中還很難找到基于最小二乘法的雙線性剛度識別的閉合解，因此，本文將通過系列理論研究推導橋梁結構雙線性剛度的最小二乘法識別方法。

雙線性剛度的橋梁結構的位移-荷載曲線如圖1所示，其中Δ 為位移，P為外荷載。

圖1 雙線性剛度橋梁結構的位移-荷載關系

雙線性剛度橋梁結構的位移可表示為：

上式中Ps表示過渡荷載，其值即為圖1 中兩條直線交點的橫坐標值。Δs 表示過渡荷載作用下的結構位移，其值即為圖中兩條直線交點的縱坐標值。B1和B2分別表示兩條直線的斜率。Δ0表示斜率為B2的直線在y軸上的截距。

假設有一系列的荷載作用在橋梁結構上，并產(chǎn)生一系列的位移響應，這時荷載、位移可表示為Pi、Δi（i=1~n）。對于過渡荷載Ps是假定為已知的，這是因為橋梁結構在外荷載作用下其剛度發(fā)生明顯變化的時候往往伴隨著明顯的破壞特征，比如混凝土結構在其所受荷載達到過渡荷載時會出現(xiàn)較大的裂紋和較大的塑性變形等，而這時過渡荷載就可以被合理地監(jiān)測得到。雖然過渡荷載是已知的，但過渡位移卻不是已知的，這是因為結構的剛度是未知的。對于荷載小于或等于過渡荷載時，荷載、位移分別表示為P1i、Δ1i（i=1~n1），對于荷載大于過渡荷載時，荷載、位移分別表示為P2i、Δ2i（i=1~n2），其中n1+n2=n。為了識別出雙線性橋梁結構在承受大于過渡荷載Ps后的剛度損傷，本文將推導基于最小二乘法的雙線性最小二乘法。該方法的基本思路是對求雙線性結構的位移殘余誤差平方和最小值，即：

上式是一個標準的線性最小二乘法方程。由于過渡荷載Ps是已知的，所以公式（2）中有兩個未知量B1和B2。為使公式（2）達到最優(yōu)解即結構的位移殘余誤差平方和取最小值，公式（2）對B1、B2兩個未知量的偏導數(shù)函數(shù)等于0，因此可以解析出B1和B2。綜上所述，雙線性最小二乘法在理論上能夠很好地識別出雙線性結構的剛度。因此本文的主要內(nèi)容就是要推導出基于雙線性最小二乘法的雙線性剛度識別的理論解。

2 研究內(nèi)容

推導具有雙線性剛度的橋梁結構剛度的雙線性最小二乘法的理論解。

公式（2）是一個標準的線性最小二乘法方程。由于過渡荷載Ps是已知的，所以公式（2）中有兩個未知量B1和B2。為使公式（2）達到最優(yōu)解即結構的位移殘余誤差平方和取最小值，故公式（2）必須滿足其對B1、B2兩個未知量的偏導數(shù)函數(shù)等于0 這一條件。

公式（2）對B1的偏導數(shù)方程為

其中：

方程（2）對B2的偏導數(shù)方程為

其中：

然后，將方程（7）代入到公式（8）中，解得B2為

再將B2的結果代回到公式（7）中，得B1為

3 數(shù)值模擬

為了驗證基于最小二乘法識別橋梁結構的雙線性剛度的有效性。本文對混凝土簡支梁在豎向集中荷載作用下的位移響應進行數(shù)值模擬。數(shù)值模擬中的混凝土簡支梁全長為6 m，其梁橫截面為矩形，梁高為0.2 m，梁寬為1.2 m，梁橫截面面積為0.24 m2，梁的截面慣性矩為8×10-4m4，彈性模量為32.5 kN/mm2，容重為25 kN/m3。數(shù)值模擬的簡支梁縱向布置圖如圖2 所示。

圖2 數(shù)值模擬混凝土簡支梁縱向布置圖

數(shù)值模擬中簡支梁的豎向集中力作用在梁跨中頂部位置，集中荷載逐級加大，記錄每級荷載P1i，利用有限元計算軟件計算出每級荷載作用下的梁跨中位移Δ1i。橋梁結構在外荷載作用下其剛度發(fā)生明顯變化的時候往往伴隨著明顯的破壞特征，比如混凝土結構在其所受荷載達到過渡荷載時會出現(xiàn)較大的裂紋和較大的塑性變形等，而這時過渡荷載就可以被合理地監(jiān)測得到。本次數(shù)值模擬對過渡荷載進行合理假設，并利用降低截面慣性矩的方法來模擬簡支梁損傷，隨著損傷程度增加，截面慣性矩也相應進行調(diào)整。簡支梁發(fā)生損傷后，繼續(xù)分級增大荷載，并記錄為P2i，利用有限元計算軟件計算出簡支梁損傷后每級荷載作用下的梁跨中位移Δ2i。

對計算得到的數(shù)據(jù)進行整理，利用圖表工具繪出P、Δ 數(shù)據(jù)分布圖，如圖3 所示。根據(jù)P、Δ 數(shù)據(jù)分布特點，本次數(shù)值模擬假設過渡荷載Ps為45 kN。利用雙線性最小二乘法分別識別出簡支梁在過渡荷載前后的構件剛度B1、B2。利用本文研究內(nèi)容推導的公式，計算得到B1為0.174 mm/kN，計算得到B2為0.497 mm/kN。根據(jù)計算得到的簡支梁過渡荷載前后的構件剛度，繪出P-Δ 線形關系，結果如圖4 所示。

圖3 簡支梁加載過程中P、Δ 數(shù)據(jù)分布圖

圖4 計算得到簡支梁P-Δ 線形關系圖

根據(jù)圖4 所示結果，可以看出利用雙線性最小二乘法能夠分別識別出簡支梁損傷前后的構件剛度，計算得到的荷載、位移線形關系與實際荷載、位移數(shù)據(jù)分布有較高的吻合度。

根據(jù)圖4 所示結果，還可以看出荷載、位移線形關系在梁結構損傷前后發(fā)生明顯變化。損傷后的簡支梁在荷載作用下發(fā)生的位移更為明顯。對于梁結構損傷程度的定量分析，本文給出如下公式進行計算。

上式中D表示梁結構剛度損傷程度，B1和B2分別為梁結構損傷前后的剛度。根據(jù)公式（14）計算得到，本文數(shù)值模擬中簡支梁的剛度損傷程度為65%，損傷較為明顯。

4 結論

綜上所述，基于最小二乘法能夠很好地識別出橋梁結構的雙線性剛度，利用識別出來的雙線性剛度可用于對橋梁結構的損傷進行有效識別。