空間細長桿-梁結構熱致振動分析

馮雨晴，馬小飛，王 輝，范 超，王 晶

(1.中國空間技術研究院 西安分院，陜西 西安 710000；2.北京衛星環境工程研究所，北京 100094)

柔性空間結構在軌運行時，會受到太空溫變環境的影響，尤其在進出地球陰影區時，外熱流會發生劇烈變化，結構受照面與非受照面的溫差可達200℃以上[1]。溫度的劇烈變化會引發結構產生熱致結構響應，按響應的不同情況，可以分為5種[2]：熱碾軋、熱彈性沖擊、熱致變形、熱致振動以及熱顫振。大型柔性空間結構如可展開天線、太陽翼、空間桅桿等具有尺寸大、剛度小的特點[3]，在軌運行時易受到外熱流影響，可能產生振動，因此對空間柔性細長桿-梁結構進行熱致振動分析是很有必要的。

現有文獻中，國內外學者大都使用仿真以及數值模擬方法來計算結構的熱振動情況。薛明德等[4]以懸臂梁為研究對象，提出了傅里葉溫度有限元法，將溫度拆分為平均溫度與攝動溫度，并計算了在攝動溫度引起的熱彎矩作用下結構的熱致振動響應。SHEN等[5]針對空間可展開結構在展開過程中熱載荷對大位移、大旋轉結構的影響，提出了一種基于絕對節點坐標的耦合熱效應梁模型。孔祥宏等[6]提出了等效位移法，可將溫度載荷等效為機械載荷來計算熱振動。左亞帥等[7]以低軌運行的衛星-太陽能帆板為研究對象，提出了一種可以分析其在宇宙空間各種熱流作用下剛-柔-熱耦合動力學特性的建模方法。LIU等[8]考慮了航天器的姿態運動、結構變形與熱載荷之間耦合的作用，基于哈密頓原理，建立了剛-柔-熱耦合動力學模型。ZHANG等[9]以方形桅桿式太陽帆為研究對象，分析了其在低軌道上的動力學穩定性。張弛等[10]指出針對有阻尼的結構，Boley系數數值不再準確，但總體趨勢不變。隨著理論的不斷成熟，相關的熱振動試驗也在不斷開展。SU等[11]設計實現了我國第一個空間吊桿的熱振動試驗，試驗結果與理論預測十分吻合。FAN等[12]通過對一端固支的細長薄壁管加載與卸載熱流，來模擬空間結構進入與離開地影區時的熱致振動現象。目前，國內外學者在對熱致振動進行基礎理論研究時，均以懸臂梁作為研究對象，因此會認為橫截面內存在溫差是熱致振動產生的根源[4]，但SHEN等[13]指出對于復雜的環形天線，熱致振動很可能是由軸向溫度梯度引起而非橫截面內溫差引起。對比論點，文獻[13]卻并未進一步分析論證。

近年來，隨著我國航天事業的發展，研究人員在對桁架及繩索等空間結構建模時，由于其橫截面較小，經常簡化為桿-梁結構[14]，忽略了截面內的溫差。以往文獻均認為結構橫截面內存在溫差時才會引起熱振動，對空間細長桿-梁結構而言，忽略截面內溫差的情況是否也會引起熱致振動尚無學者進行研究。在參照大量文獻后，筆者認為對于空間細長桿-梁結構，不論桿-梁結構的截面內是否存在溫差，只要溫度變化可使結構發生變形且溫度場快速動態變化，就會產生熱振動現象。為此建立了典型“L”形直角梁進行驗證：首先建立了其在溫度載荷下的熱振動方程，考慮到以往在使用等效位移法計算大型復雜空間結構的熱致振動時需要花費較長的時間，效率不夠高，故基于上述方程提出了空間細長桿-梁結構的等效軸力計算方法；隨后將該方法與等效位移法計算得到的結果進行對比，驗證了筆者提出方法的合理性與高效性；最后有限元模擬了周邊桁架結構在軌的熱致振動情況，為環形天線的結構設計提供參考。

1 “L”形細長直角梁熱振動方程的建立

為了降低重量，航天結構中經常使用細長桿-梁結構，即結構長度遠大于橫截面直徑，如可展開天線的桁架結構。這些構件可以簡化為桿-梁單元結構進行分析，桿單元可以承受軸向力，一般梁單元結構可以承受橫向力、軸向力以及彎矩，對桿-梁結構，橫截面內可以忽略溫度梯度。

圖1為兩端固支的“L”形等截面直角梁，其中點A、C固支，AB梁與BC梁固接在一起，交點為B。AB梁與BC梁長度為l，橫截面積為A，彈性模量為E，密度為ρ，熱膨脹系數為αT，截面抗彎剛度為EI。整體笛卡爾坐標系(o，x，y)建立在A點處，且x軸沿著點A指向點B。在后續分析中，采用以下假設：

圖1 兩端固支“L”形等截面直角梁示意圖

(1) 約束直角梁只能在x-y平面內運動；

(2) 不考慮梁的剪切變形，采用Euler-Bernoulli梁假設；

(3) 不考慮阻尼；

(4) 縱向剛度較大，不計梁的縱向振動；

(5) 材料性質不隨溫度變化。

基于有限元思想，對該直角梁進行單元的劃分，共劃分為n-1個單元以及n個節點，不同節點可表示為i(1≤i≤n)，節點溫度可表示為Ti(t)，如圖1所示。直角梁的節點位移可表示為

(1)

其中，ui為各節點沿單元軸向位移；vi為各節點撓度；θi為各節點轉角。

單元內的位移插值函數為

(2)

其中，ξ為結構中的幾何位置坐標；N(ξ)為形函數矩陣。平衡方程以及力邊界條件的等效積分形式Galerkin提法經整合后可得到虛位移方程為

(3)

應力、應變與節點位移的關系可表示為

(4)

其中，B(ξ)為應變矩陣；D為彈性矩陣。將式(4)代入式(3)中，可得：

(5)

(6)

(7)

Ke|BC=(Te)TKe|ABTe，

(8)

Me|BC=(Te)TMe|ABTe，

(9)

(10)

(11)

2 有限元模擬驗證理論

針對細長桿-梁結構的熱致振動情況，分別采用等效位移法與

上文提出的等效軸力法進行有限元模擬求解比對。

對圖1所示的“L”形等截面直角梁，采用圓環截面，基于有限元理論，將該梁共劃分100個單元。直角梁初始溫度0 ℃，對D點(節點數為28)與E點(節點數為69)分別施加半正弦波溫度沖擊，其他節點溫度保持0 ℃不變。為了顯示出較為明顯的振動，溫度沖擊如下所示：

(12)

其中，ω1為直角梁一階固有圓頻率；T為溫度，單位為℃；t為時間，單位為s。溫度沖擊的載荷曲線如圖2所示。結構幾何尺寸與材料參數如表1所示。

圖2 溫度沖擊載荷曲線

表1 “L”形等截面直角梁幾何與材料參數

計算得到結構的前10階固有頻率如表2所示，可以看出一階固有頻率f1=82.891 Hz，故ω1=520.820 rad/s。

表2 直角梁前10階固有頻率

等效位移法本質為假設溫度載荷引起的變形與外力引起的變形相同，即可將溫度載荷等效為外力進行加載求解[6]。使用上述已知條件并采用等效位移法進行求解，可以得到點B沿x、y方向準靜態位移、動態位移以及幅頻響應曲線，如圖5所示。

2.1 等效軸力法求解

當D點與E點溫度發生變化時，根據式(11)計算得到D點左右相鄰兩節點F、G以及E點左右相鄰兩節點H、J對應的等效熱軸力變化曲線，如圖 3所示，CFx指加載的集中力沿x方向，CFy指加載的集中力沿y方向，正值表示沿圖 1中x/y正方向。隨后，將計算得到的4個等效熱軸力加載至結構上并進行動力學求解。

(a) D點溫度變化等效為x方向熱軸力

圖4為t=π/ω1即溫度最高點時直角梁結構的準靜態位移云圖。可以看出：在溫度沖擊載荷作用下，直角梁發生了伸長彎曲變形。由于AB、BC梁溫度的升高，軸向長度均有一定的伸長，AB、BC梁也發生了一定程度的彎曲，AB梁沿y方向發生彎曲，而BC梁則沿x方向發生彎曲；在變形過程中，當t=π/ω1=0.006 03 s時，B點同時達到x、y方向的最大準靜態變形，此時U1，max=6.699×10-5m，U2，max=-9.957×10-5m。

圖4 t=π/ω1時直角梁準靜態位移云圖

由于B點處于AB梁與BC梁的交接點，較為特殊，故取B點討論其熱致振動情況。從圖5可以看出：熱致振動是在準靜態變形的基礎上疊加周期性振蕩運動而成；直角梁在溫度沖擊載荷作用下，x、y方向均發生了熱致振動的現象，且該振動的主要頻率為1 015.6 Hz和1 230.4 Hz，與之對應的為第8和第10階固有頻率，x、y方向的振幅量級均為10-6m。

(a) B點x方向兩種方法位移對比

2.2 兩種方法結果比對

綜合圖5與表3的計算結果可以看出：等效位移法與文中的等效軸力法得到的x、y方向準靜態位移曲線、動態位移曲線、振動頻率以及振幅都具有高度的重合性，位移誤差控制在0.002 2%以內，即使用等效軸力法計算得到的結構熱致振動情況是正確的。對于截面內無溫差的柔性細長桿-梁結構，在溫度沖擊載荷作用下，由于熱脹冷縮效應，結構在等效熱軸力作用下發生一定的伸長縮短熱變形，在不同構件的交接處，由于相互作用，構件會產生一定的彎曲變形，此時容易發生熱致振動現象，且振動的頻率不一定為一階固有頻率。除此之外，使用同一臺電腦，在同等精度條件下計算該“L”形結構熱致振動情況，使用等效位移法需要42 min 20 s，而使用筆者提出的等效軸力法則僅需要9 min，節省了約79%的時間。研究中經常使用算法運行的時間來評價計算成本以及算法的復雜性[15]，因此等效軸力法具有更高的效率。值得注意的是，等效軸力法具有一個前提：結構至少由兩個相連且不在同一直線上的桿件組成。正是由于桿件間的相互作用力才引起結構的彎曲變形以及熱振動，因此，該方法不適用求解單根懸臂梁在熱流沖擊下的熱致振動情況。

表3 兩種方法位移計算結果比對

3 計算實例分析

周邊桁架為環形可展開天線的剛性支撐結構，在軌展開后，可以抵抗彎矩、扭矩以及剪力的作用，因此可以采用梁單元對其進行分析。研究表明，周邊桁架結構在環形天線的前兩階振型中起主要作用，桁架結構模態振型與整個天線的模態振型相似[13]，故研究周邊桁架結構在軌熱致振動具有一定意義。桁架結構梁單元模型如圖6所示，幾何參數、材料參數見表4。為計算桁架結構真實在軌的熱致振動情況，首先對其進行在軌溫度場計算，隨后將溫度數據作為已知條件代入熱振動分析，即采用溫度場與變形場順序耦合的方法分析結構熱致振動情況，這種耦合方法雖不如溫度場與變形場直接耦合方法精確，但在熱變形對溫度場影響較小時，可以較為真實地反映結構熱致振動的大小與趨勢，具有一定的工程意義。該桁架結構運行于太陽同步軌道，最小高度600 km，軌道周期5 792 s，此時太陽位于春分點，+Y軸指向地心方向，+X軸為速度方向。

表4 周邊桁架結構幾何與材料參數

圖6 周邊桁架模型及其在軌示意圖

從圖7(a)、(b)中可以看出：周邊桁架在太陽同步軌道運行一個周期時，溫度在-77.1 ℃～23.1 ℃之間變化，變化區間為100.2 ℃；其中特定點A點(圖6所示)一個周期內溫度在-76.1 ℃～3.1 ℃之間變化，由于升交點當地時間為0點，故A點溫度整體呈現先降后升再降的過程，中間局部溫度的降低是由附近桿件的遮擋引起的。

從圖7(c)、(d)、(e)、(f)可以看出：由于A點溫度的變化，在熱脹冷縮效應下，A點沿y方向位移發生了變化，但對比圖7(b)、(d)，發現y方向位移與溫度變化趨勢并不一致，這說明不可忽略A點附近節點對A點的作用力；A點在x、z方向均發生彎曲，這是由于周圍桿件對其有x、z方向的作用力；A點在x、y、z方向上均發生了熱致振動現象，x方向主要發生一階振動，振動頻率為0.294 99 Hz，振幅為10-7m量級；y方向主要發生二階振動，振動頻率為0.511 72 Hz，振幅為10-7m量級；z方向主要發生三階振動，振動頻率為0.828 79 Hz，振幅為10-8m量級，但整體來看，結構主要是沿x方向的一階振動，是由與A點所在桿相連的其它桿對A點所在桿的作用力引起的彎曲振動。因此，由細長桿-梁結構組成的周邊桁架結構在軌運行時，也會發生熱振動現象，進一步證實了研究結論。

(a) 一個周期內溫度變化圖

4 結束語

筆者對空間細長桿-梁結構進行了熱致振動分析，得到了以下結論：

(1) 驗證了即使桿-梁結構的截面內不存在溫差，只要溫度變化可使結構發生變形且溫度場快速動態變化，就會產生熱振動現象；

(2) 以“L”形直角梁為對象，基于結構溫度變化，推導了等效熱軸力引起的熱振動方程，提出了等效軸力計算方法，并在“L”形直角梁算例中將文中方法計算結果與等效位移法結果進行比對，誤差在0.002 2%以內，但筆者提出的方法計算時間縮短了約79%，證明該方法是正確與高效的；

(3) 對于空間細長桿-梁結構，由于桿件之間的相互作用力，會導致結構彎曲變形，因此在太空環境下，會發生熱致振動；

(4) 環形可展開天線的周邊桁架結構在軌運行時，會發生熱致振動現象，對于口徑10 m的桁架，熱變形量級為10-4m，振幅量級為10-7m。對于未來高精度需求的環形天線，為保證天線的精度，需要控制結構表面溫度以及采取一定的減振措施。

筆者提出的計算方法可以為截面較小、近似可忽略截面內溫差的柔性空間細長桿-梁結構提供一定的借鑒與參考。