探究數學思想在初中數學解題中的應用

趙若彤

摘? 要：數學思想是溝通數學知識間內在聯系的橋梁，數學思想方法的教學有利于素質教育。因此，教師在數學教學中要轉變教學模式，有意識地滲透數學思想，將數學思想在數學解題中的應用教給學生，為解決復雜的數學問題提供了一條新的思路，進而為提高數學教學效果和質量奠定良好的基礎。

關鍵詞：數學思想;初中解題;教學

一、數形結合思想

初中常用的數學思想方法有很多，而數形結合思想具有數學學科的鮮明特點，是解決許多數學問題的有效思想.所謂數形結合思想，即將抽象的數學語言與其所反映的圖形結合起來考查，以形助數巧解代數問題，以數助形巧解幾何問題，從而促進抽象思維和形象思維有機結合。利用數形結合思想可使初中數學中的復雜問題簡單化，抽象問題具體化，數形結合思想解題可分兩類：

（1）利用幾何圖形來表示數的問題，常借用數軸、函數圖象等解決;（2）運用數量關系來研究幾何圖形問題，常常要建立方程（組）或建立函數關系式等。

例 已知實數a、b、c在數軸上的位置如圖所示，化簡|a+b|-|c-b|的結果是多少？

問題分析：首先從數軸上a、b、c的位置關系可知： c<a<0; b>0且|b|>|a|，接著可得a+b>0，c-b<0，然后化簡|a+b|-|c-b|，最后得出結果.

我認為數形結合思想是貫穿數學課程的主線，是一種重要的數學思想。它是在一定的數學知識，數學方法的基礎上形成的。它對理解、掌握、運用數學知識和數學方法，解決數學問題能起到促進和深化的作用。

二、分類思想

所謂分類思想，就是將數學對象分為幾類，分別進行討論來解決問題的一種方法。分類思想有助于學生進行歸納總結，讓學生所學的知識加固條理化，提高思維的概括性。

例 某超市推出如下優惠活動。方案：A.一次性購物超過100元，但不超過300元一律9折。B.一次性購物超過300元一律8折。C.一次性購物不超過100元不享受優惠。小蘭兩次購物分別付款80元和252元。若她一次性購買和前兩次相同的商品，則應付款多少錢

A.288元 B.332元C.288元或316元 D.332元或316元

問題分析：第一次購物顯然沒有超過100，因為如果超過一百元的話，那么按打九折，實際消費應為88.88元，因此第一次實質購物價值為80。設第一次實質購物價值為x，則：

①x不超過300，則x×0.9=252得x=280那么該付款（x+80）×0.8=288

②x超過300，則x×0.8=252 得x=315那么該付款（x+80）X0.8=316

分類思想不是通過幾節課的教學就能使學生掌握的。教師應當讓學生在數學學習的過程中形成對分類思想的主動應用。學生在日常的學習中也應當注意基礎知識的學習，穩扎穩打，才能增強自身的數學知識能力。初中的數學越來越注重抽象思維能力的培養，這就需要學生認真對待數學基礎知識的學習，從最開始就學好數學的基本內容。學生不僅要掌握數學思想在題目中的具體運用，也要善于學習與鞏固基礎知識，在學習過程中，學會歸納整理初中數學中重要的定義、定理和公式，利用課余時間消化好這些數學的基礎知識，以更好的狀態備戰中考數學。

三、換元思想

說到換元思想，我想大家都不陌生，這是我們數學生涯中的老伙計了。即對結構比較復雜的多項式，若把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替（即換元），變量求出結果后，返帶回去就能求得原變量在問題中的結果了。這樣能使復雜的問題簡單化，明朗化;換元法又稱變量替換法，是我們解題常用的方法之一。利用換元法，可以化繁為簡，化難為易，從而找到解題的捷徑。說白了就是把一堆乒乓球裝進一個透明的盒子里，然后拿盒子去進行后面的運算，這樣既可以簡化問題，又可以用這個盒子來表示那個整體的各個部分。但其實盒子是不存在的，只是起到最后把乒乓球解放出來的作用。近來一直在看華師大第四版的數學分析，那么姑且就用其中求不定積分的換元法來舉個例子罷，這樣也能加深讀者對換元法的理解與使用。

那么最后一步我們要做的就是將x=asint帶入到上式中，將它變為關于x的式子，即可求得原式的積分解：

我們不難發現，經過換元法變換后的式子由于甩掉了根號這個討厭的東西，使得其比原式要簡潔得多，那么自然也簡化了之后的計算過程，直讓人高呼其妙，或許這就是換元法的獨特魅力吧。我們在做題的過程中不僅要知道使用換元法這一強有力的工具，更要學會如何換元，也就是說怎樣把一個復雜的東西換做一個簡單的適當的能夠簡化我們解題步驟的東西。我想我們知道換元這個方法很容易，但如何應用還需要我們知識的積累與掌握。在學習過程中，我們可以多積累一些常見的換元公式，熟能生巧，見得多，做得多，理解的透徹了，我想我們心中自然會形成關于換元這個方法的獨到見解。

參考文獻

[1]夏忠仁.數學教學中的分類思想[J].數學大世界（教 師適用），2010（5）.

[2]張奠宙.對《數學課程標準》的理念部分意見[J].數學通報，2005（12）. W