基于輪胎狀態剛度預測的極限工況路徑跟蹤控制研究

王國棟 劉 洋 李紹松 盧曉暉 張邦成

隨著交通擁堵問題的日益嚴重和道路安全問題的日益突出,自動駕駛車輛已經成為汽車行業發展的趨勢[1].自動駕駛車輛通過傳感器實時感知并獲取外界環境信息,運用規劃算法規劃最優路徑,控制車輛安全到達期望目標[2],主要包括環境感知、智能決策、路徑規劃和車輛運動控制等關鍵技術[3].自動駕駛車輛的路徑跟蹤控制在完成對目標路徑跟蹤的同時,還要保證車輛的行駛安全性和穩定性,屬于車輛的底盤運動控制系統[4].但是,由于實際的道路環境十分復雜,車輛本身也存在著強非線性,使得自動駕駛車輛的跟蹤控制面臨巨大的挑戰[2].

國內外學者在自動駕駛車輛跟蹤控制算法方面已經有了大量研究成果,傳統的控制方法主要有魯棒控制、預瞄控制和滑模控制[5-7]等.但上述方法通常只能利用當前的環境信息和車輛狀態,并且難以考慮環境和車輛的約束條件.因此,研究人員開始將模型預測控制(Model predictive control,MPC)應用到車輛控制領域.由于MPC 在處理多目標以及系統約束方面具有明顯的優勢,而且其滾動優化策略能夠彌補模型失配、畸變、擾動等引起的不確定性,因此在車輛控制領域得到了廣泛的應用[8-10].然而,如果模型的誤差過大,仍會對系統的穩定性造成嚴重影響[11].輪胎力是影響車輛穩定性的重要因素[12],高速極限工況下自動駕駛車輛路徑跟蹤控制器設計時需要建立高精度的非線性輪胎模型.但是,非線性模型的MPC 優化求解會增加控制器的計算負擔,影響系統的實時性.因此,將非線性模型進行線性化,采用線性時變MPC 進行處理,是一種廣泛應用的能夠兼顧系統非線性和實時性的方法[13-14].

國內在進行路徑跟蹤控制研究時,通常假設車輛的輪胎側偏角較小,將輪胎模型簡化成線性輪胎模型[9,15-16],因此并不適用于高速極限工況下的路徑跟蹤控制.而在車輛穩定性控制領域,國內外已有很多學者根據當前車輛狀態對輪胎模型進行連續線性化處理,設計基于線性時變MPC 的車輛穩定性控制器并取得了很好的控制效果[17-18].但是,這種線性化方法在預測時域內并沒有考慮輪胎力的非線性變化,當車輛處于動力學極限附近時,這種線性化方式將變得不那么精確.因此,一些學者在對輪胎模型進行線性化時,開始考慮預測時域內輪胎力變化對線性化效果的影響.Brown 等[19]在研究基于MPC 的路徑規劃與路徑跟蹤的集成控制時,利用上一時刻求解的輪胎側偏角序列對當前預測時域內的輪胎力進行連續線性化處理,并在實車上實現了多種駕駛場景的實時跟蹤控制.但僅使用上一時刻優化的側偏角序列會產生抖動的現象.Funke 等[20]在此基礎上,對輪胎側偏角進行了正則化處理,較好地解決了這一問題.但是上述方法要求控制時域與預測時域長度一致,較長的控制時域極大地加重了求解器的計算負擔.而且,這些研究主要針對中低速工況,尚未討論高速低附著極限工況下的控制問題.

因此,本文針對高速極限工況,提出一種在預測時域內對非線性輪胎模型進行預測和線性化表達的新方法,能夠避免傳統方法在緊急避撞時由于輪胎力表達不精確導致的路徑跟蹤失敗問題,并且不依賴控制時域長度,有助于降低求解器的計算負擔.該方法利用期望路徑信息對輪胎的狀態剛度進行預測,然后將預測的輪胎狀態剛度用于預測時域內的非線性輪胎模型的線性化表達.為了驗證該方法的有效性,本文還設計了在預測時域內輪胎力保持不變的傳統線性時變MPC 進行路徑跟蹤控制,并利用MATLAB 和CarSim 聯合仿真平臺進行了對比實驗.為了加以區別,在本文中將傳統的線性時變MPC 記為LTI-MPC (Linear time-invariant MPC in horizon),將所提出方法記為LTV-MPC (Linear time-variation MPC in horizon).

1 系統建模

1.1 車輛模型

本文采用的的車輛模型如圖1 所示.XOY坐標系為大地坐標系,為車輛縱向速度,為車輛側向速度,γ為車輛橫擺角速度,δf為車輛前輪轉角,Fy,f和Fy,r分別為前、后輪胎的側向力,αf與αr分別為前、后輪胎側偏角,lf與lr分別為質心到前軸和后軸的距離.

圖1 車輛模型Fig.1 Vehicle model

車輛在大地坐標系中的橫擺和側向運動可以表示為

其中,φ為車輛在大地坐標系中的橫擺角,為車輛在大地坐標系中的橫向速度,m為整車質量,Iz為橫擺轉動慣量.

1.2 輪胎模型

輪胎力是產生車輛運動的主要外力來源,直接影響車輛在極限工況下的穩定性.因此,在研究極限工況下的路徑跟蹤控制時有必要采用高精度的非線性的輪胎模型.目前應用比較廣泛的輪胎模型要有魔術公式、Fiala 輪胎模型和UniTire 模型.其中UniTire 模型是郭孔輝院士提出的適用于車輛動力學仿真和控制的非線性輪胎模型,能夠準確描述輪胎在復雜工況下的力學特性[21].因此本文的輪胎模型將采用UniTire 模型,具體表達式和參數見文獻[22-23].

2 控制器設計

控制器的整體結構如圖2 所示,主要包括期望路徑設計、輪胎模型線性化和MPC 控制器設計等關鍵步驟.

圖2 控制器整體結構Fig.2 Overall structure of the proposed controller

2.1 期望路徑設計

在主動避撞控制研究方面,基于制動的縱向控制策略在中低車速具有很好的避撞表現,但是隨著車速升高車輛的安全制動距離迅速增加,導致制動避撞效果不理想.袁偉等[24]研究發現:在附著系數為0.3 的道路上當相對車速大于15.5 m/s 時,應優先進行轉向避撞.因此,在高速極限工況下緊急避撞時規劃一條合理的換道路徑至關重要.常見的換道路徑規劃方法有梯形加速度法、多項式法和Sigmoid 函數法.其中,Sigmoid 函數法不僅構成簡單,而且包含了道路條件約束和車輛安全約束,因此本文將采用Sigmoid 函數法進行高速緊急換道路徑的規劃,其表達式為

式中,X為縱向位置,B為側向避撞距離,c為縱向避撞距離的一半,a為避撞路徑的傾斜程度,L為預瞄距離,Yref為期望側向位移,φref為期望橫擺角.參數的具體計算和推導過程參見文獻[25],基于Sigmoid 函數的高速緊急避撞路徑規劃曲線示意如圖3 所示.

圖3 基于Sigmoid 函數的路徑規劃Fig.3 Path planning based on sigmoid function

2.2 LTI-MPC 設計

為了評估和驗證本文所提出方法的控制效果,同時考慮到該方法是在LTI-MPC 的基礎上進行設計的,因此本文先進行LTI-MPC 的設計.

2.2.1 輪胎模型線性化

以往的研究中多采用泰勒一階展開的方法對輪胎力進行線性化,即根據當前時刻的輪胎側偏角對輪胎力進行線性化[18-20],但是這種方法會引入殘余側向力,增加了模型的復雜度.因此,本文采用狀態剛度法對輪胎力進行線性化.狀態剛度的概念由郭孔輝院士提出,用于解決各向異性剛度條件下輪胎力學特性的表達,其中側偏狀態剛度定義為每一側向滑移率Sy下,側向力與該滑移率的比值,即,Kys=Fy/Sy.本文根據控制系統設計的實際需求定義側偏狀態剛度為每一側偏角α下,側向力與該側偏角的比值,如圖4 所示,表達式為

圖4 輪胎側偏狀態剛度Fig.4 Lateral tire state stiffness

由式(3)即可得到每個輪胎的側偏狀態剛度.因此,LTI-MPC 前、后輪胎的側向力可以線性化表示為

其中,i=f,r分別指前輪和后輪,前輪和后輪的輪胎側偏角定義為

2.2.2 預測模型

將式(4)代入式(1),并假設橫擺角較小,存在近似關系sinφ ≈φ和cosφ≈1,可以得到LTI-MPC的預測模型為

式中,控制輸入u為轉角δf,預測輸出ζ為[φ,Y]T,狀態變量

以步長Ts對式(5)進行離散化,得到增量式的離散模型為

2.2.3 預測方程

基于式(6),根據模型預測控制理論,取預測時域為P,控制時域為M,可以得到k時刻的預測輸出為

預測輸出序列ζ(k+1|k)=[ζ(k+1|k),···,ζ(k+P |k)]T,控制輸入增量序列ΔU(k)=[Δu(k),···,Δu(k+M -1)]T.

同時根據式(2)得到參考輸出序列R(k+1)=[rref(k+1),···,rref(k+P)]T,其中,rref=[Yref,φref]T.

2.3 LTV-MPC 設計

LTI-MPC 在當前時刻對輪胎力進行線性化后,在接下來的預測時域內輪胎的側偏狀態剛度將保持不變,如圖5 中Ck所示.當車輛處于極限工況時,LTI-MPC 所采用的輪胎力線性化方法在預測時域內會產生較大的誤差.如圖5 所示,隨著預測時域向前滾動,LTI-MPC 所表示的輪胎力誤差越來越大,如在側偏角αk+n處,已經嚴重偏離了實際值.在跟蹤路徑過程中,LTI-MPC 會認為只要不斷增加前輪轉角(前輪轉角和輪胎側偏角存在數學關系)就可以得到更大的側向力(絕對值),因此當需要增大側向力以跟蹤期望路徑時,LTI-MPC 就會不斷增大前輪轉角,即使此時的實際輪胎力可能已經達到飽和甚至進入滑移區.當輪胎力飽和后,實際輪胎力會迅速減小,這將導致車輛出現危險的側滑行為,失去路徑跟蹤能力.

因此,本文設計了在預測時域內輪胎狀態剛度時變的LTV-MPC,如圖5 所示,該方法通過預測出預測時域內未來P步的狀態剛度值Ck～Ck+P,實現預測時域內非線性輪胎力的線性近似.當需要較大的側向力來跟蹤期望路徑時,LTV-MPC 能夠始終在側向力峰值點附近得到最優控制輸入,避免輸出過大的前輪轉角致使側向力超出物理極限.

圖5 預測時域內的輪胎力Fig.5 Tire force over prediction horizon

2.3.1 輪胎狀態剛度預測

本文根據已知的期望側向位移和橫擺角對狀態剛度進行預測,具體方法如下.

將線性輪胎模型Fy,i=Ciαi代入到式(1),得到車輛運動模型為

聯立式(8a)和式(8b),整理后,可得

將式(2)得到的Yref及其對時間的一階和二階導與φref及其對時間的二階導ref代入式(10),得到

進而,由式(9)可以得到預測的前、后輪胎的狀態剛度為

其中,Cf,pre與Cr,pre分別表示預測的前、后輪胎的狀態剛度,κμ,γ˙,κμ,y¨和κμ,F為補償附著系數影響的調節因子,ε是避免分母為零的極小數.

由于狀態剛度的預測值是由期望路徑信息根據式(1)所示車輛運動模型逆向求解得到,因此無法直接體現路面附著系數對側向力的影響,進而在式(9)中無法體現附著系數對狀態剛度的影響,因此式(11)和式(12)引入了路面附著系數調節因子,以補償附著系數對狀態剛度預測值大小的影響,這里的值取為當前道路的附著系數,κμ,F的值通過實驗調節得到,取值范圍為0.5～0.8.

由于輪胎力附著極限的影響,式(12)得到的狀態剛度應滿足約束

其中,Fz為輪胎垂直載荷,μ為路面附著系數,i=f,r分別指前輪和后輪.

因此,向前取P個期望路徑數據即可得到未來預測時域內的輪胎狀態剛度為

其中,函數f(·) 表示式(11)和式(12)的函數關系,n=0,1,···,P.

預測的狀態剛度變化量可以表示為

最終可以得到預測時域內的狀態剛度為

2.3.2 預測模型

將式(16)代入式(4)可得到預測時域內各時刻輪胎側向力的線性化表達式為

將式(17)代入式(1),并進行離散化處理后可以得到增量式的LTV-MPC 的預測模型,k時刻預測模型可以表示為

2.4 目標函數設計及求解

2.4.1 目標函數

本文的控制目標主要包括:1)車輛盡可能跟蹤上期望的側向位移Yref和橫擺角φref;2)轉向輸入盡可能平滑.因此,控制目標J可以表示為[13]

其中,Γζ和Γu為控制輸出和輸入的加權因子,具體為Γζ=diag{[τφ,τy]T}2P×2P,Γu=diag{τu}M×M,τy,τφ和τu分別是對側向位移、橫擺角跟蹤性能以及控制輸入變化量的加權因子.

2.4.2 優化問題求解

將上述帶約束的優化問題轉化為二次規劃(Quadratic programming,QP)的形式

其中,x=ΔU(k),H是黑塞矩陣,g是梯度向量,是約束矩陣,具體形式見文獻[26].

對于上述QP 問題可以采用內點法[26]進行求解.

3 仿真實驗

仿真實驗基于MATLAB 和CarSim 聯合仿真平臺進行,選擇CarSim 中的B 級掀背車作為實驗車型.表1 給出了實驗車輛的主要參數.

表1 車輛參數Table 1 Vehicle parameters

3.1 狀態剛度預測方法驗證

為證明所設計狀態剛度預測方法的可行性和有效性,以前輪為例,分別給出了實驗車輛以80 km/h和100 km/h 的車速在附著系數為0.3 的道路上換道避撞時狀態剛度實際值及其預測值的對比結果,如圖6(a)和圖6(b)所示.

圖6 輪胎狀態剛度對比曲線Fig.6 Comparison of tire state stiffness

從圖6(a)中可以看出,輪胎狀態剛度的實際值在4.89 s 附近達到最大值(絕對值)-90 036 N/rad,預測值在5.03 s 附近達到最大值-99 930 N/rad.實際值和預測值存在約0.14 s 的相位差和9 894 N/rad的峰值偏差,在5.5 s 后相位差基本消失,峰值偏差也明顯減小.其中相位偏差主要是因為路徑跟蹤偏差引起的,如圖7 和 圖8 所示,實際車輛軌跡相對于期望路徑在5.5 s 之前存在相位超前現象,之后相位超前逐漸消失;峰值偏差主要受式(12)中的路面附著系數補償因子影響.從圖6(b)可以看出,在100 km/h 的車速下,狀態剛度的實際值和預測值在第1 個峰值處出現約15 460 N/rad的峰值偏差和0.18 s 的相位差.在第2 個峰值處偏差明顯減小,此后相位差也逐漸消失.雖然狀態剛度的預測值與實際值存在一定誤差,但由狀態剛度最終計算式(16)可以看出,預測的狀態剛度僅占式(16)中的一項,且只用到預測值的變化量,因此預測時域內的最終狀態剛度能夠滿足輪胎力的線性化需求.圖中狀態剛度的預測值為式(14)計算出的預測序列的第1 個值.

圖8 橫擺角Fig.8 Yaw angle

3.2 路徑跟蹤控制仿真實驗

為評估所提出的LTV-MPC 跟蹤控制系統的有效性和可行性,結合我國公路車道寬標準,本文設置側向換道位移為3.5 m.為了突出本文所提方法在高速極限工況下的路徑跟蹤性能,分別設置了車速為80 km/h和100 km/h 的兩組實驗工況,其中路面附著系數為0.3,目的是模擬雨雪天氣的高速公路駕駛環境.表2 給出了LTV-MPC 和LTI-MPC控制器主要參數.

表2 控制器參數Table 2 MPC controller parameters

3.2.1 80 km/h 下的實驗

實驗中,車輛以80 km/h 的速度在附著系數0.3 的路面上進行避撞路徑跟蹤,仿真結果如圖7～12 所示.

圖7 和圖8 為側向位移和橫擺角的跟蹤結果對比曲線.車輛從第4 s 開始換道,到第7 s 換道完成.結果顯示LTV-MPC 能夠較好地跟蹤期望路徑,整個換道過程側向位移和橫擺角變化平滑,但是由于工況比較緊急,在5～6 s 之間橫擺角的跟蹤依然存在一定偏差.LTI-MPC 的側向位移跟蹤效果與LTV-MPC 基本一致,但橫擺角在第6.5 s 時出現輕微波動.這是由于LTI-MPC 求解出的前輪轉角波動較大引起的,如圖9 所示,LTI-MPC 控制車輛的前輪轉角在第6 s 時達到峰值-3.5°,隨即發生明顯的振蕩.前輪轉角過大和振蕩是因為在預測時域內LTI-MPC 的輪胎力與側偏角為線性關系,為了跟蹤目標路徑,LTI-MPC 會不斷地向側向力大的方向尋找可行解,這就致使求解的前輪轉角過大,進而導致實際的輪胎力超出附著極限而進入滑移區域.從第7 s 開始,隨著換道完成,轉角逐漸趨于0,并保持穩定.相對LTI-MPC,整個換道過程中LTV-MPC 的轉角輸入變化較為平滑,且幅值較小.

圖9 前輪轉角Fig.9 Front steering angle

圖10 為車輛側偏角響應的仿真結果,從圖中可以看出LTI-MPC 控制車輛的質心側偏角在整個換道過程中都大于LTV-MPC.且在第6.5 s 時達到了0.5°,約為LTV-MPC 的2.5 倍,并有側滑的趨勢,如圖中實線強調區域.由圖10 可以看出,LTV-MPC 控制的車輛在換道過程中更穩定.

圖10 車輛側偏角Fig.10 Vehicle sideslip angle

圖11 和圖12 分別給出了前后輪胎的側向力變化曲線.從圖11 可以看出,LTV-MPC 和LTI-MPC控制車輛的前輪輪胎側向力在4.8 s 和6 s 附近均達到了附著極限,說明輪胎力此時已經進入非線性區域,甚至達到飽和.從圖中放大區域可以清楚地看到,LTI-MPC 控制車輛的前輪輪胎側向力在峰值附近出現了明顯的下降,這說明前輪輪胎力已經進入滑移區并發生了側滑,這與圖9 和圖10 的結論一致.從圖12 也可以看出,后輪輪胎的側向力在峰值處也達到了極限值,說明此時車輛已處于極限操縱工況.

圖11 前輪輪胎側向力Fig.11 Lateral force at front tire

圖12 后輪輪胎側向力Fig.12 Lateral force at rear tire

3.2.2 100 km/h 下的實驗

為了進一步驗證所提出的LTV-MPC 路徑跟蹤控制系統相對LTI-MPC 路徑跟蹤控制系統的提升效果,仿真實驗車輛以100 km/h 的速度進行避撞路徑跟蹤,路面附著系數為0.3,仿真結果如圖13～18 所示.

從圖13 和圖14 可以看出,當車速提升至100 km/h 時,LTI-MPC 控制的車輛行駛到第7 s附近時已經無法完成路徑的跟蹤,而LTV-MPC 控制的車輛依然能夠順利地跟蹤目標路徑.此外,圖13 和圖14 出現的相位超前現象是因為預瞄距離較長.但是,如果預瞄距離太短,車輛則無法完成跟蹤控制.

圖13 側向位移Fig.13 Lateral displacement

圖14 橫擺角Fig.14 Yaw angle

圖15 為實驗車輛的前輪轉角,從圖中可以看出在高速極限工況下LTI-MPC 所采用的輪胎力線性化方法已經無法保證控制器輸出準確的前輪轉角.LTV-MPC 由于在預測時域內考慮了輪胎力的非線性變化趨勢,因此在高速極限工況下依然能夠保證車輛的跟蹤性能.從圖中放大區域可以看出LTV-MPC 的前輪轉角在6～6.5 s 之間出現了輕微的波動,這表明LTV-MPC 的控制性能也接近了極限.從圖16 車輛的質心側偏角響應中可以看出LTI-MPC 控制的車輛行駛到第7 s 附近時開始失穩.圖17 和圖18 顯示LTI-MPC 控制車輛的前輪和后輪輪胎側向力在峰值處均出現了嚴重的下降,說明車輛已經發生了嚴重的側滑.LTV-MPC 控制車輛的前輪和后輪輪胎側向力在峰值處也達到了極限值,但能夠保持在安全區域,不發生側滑.

圖15 前輪轉角Fig.15 Front steering angle

圖16 車輛側偏角Fig.16 Vehicle sideslip angle

圖17 前輪輪胎側向力Fig.17 Lateral force at front tire

圖18 后輪輪胎側向力Fig.18 Lateral force at rear tire

綜上,說明所提出的LTV-MPC 路徑跟蹤控制系統對提高高速極限工況的車輛路徑跟蹤性和穩定性有明顯效果.

4 結束語

本文基于期望路徑信息設計了狀態剛度預測方法,在預測時域內實現對輪胎模型的預測和線性化表達,提出一種新型線性時變模型預測路徑跟蹤控制系統.MATLAB 和CarSim 聯合仿真實驗表明本文所提出的路徑跟蹤控制系統有效提高了車輛在高速極限工況下的路徑跟蹤能力和穩定性.

本研究中發現僅通過轉向來提高極限工況下車輛的路徑跟蹤能力依然是有限的,因此在接下來的研究中將結合差動制動進一步提升高速極限工況下車輛的路徑跟蹤性能和行駛穩定性.