從“一以貫之”到“擴(kuò)充拓展”

董文彬

【摘? ?要】運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容之一，運(yùn)算意義是運(yùn)算教學(xué)的核心內(nèi)容?；谝淮斡^課后的思考，追溯除法意義和乘法意義，提出運(yùn)算意義的教學(xué)不應(yīng)是“一以貫之”，而要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的進(jìn)階“擴(kuò)充拓展”，不斷完善學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義理解的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的理解應(yīng)從固有的“原始性認(rèn)識(shí)”向整體的“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)”轉(zhuǎn)變。運(yùn)算教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生根據(jù)數(shù)系的不斷擴(kuò)展，進(jìn)行思維與認(rèn)識(shí)水平的必要重構(gòu)，從而發(fā)展其對(duì)運(yùn)算意義的理解。

【關(guān)鍵詞】運(yùn)算意義;除法意義;乘法意義;原始性認(rèn)識(shí);結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)

一、問(wèn)題的提出：一次觀課引發(fā)的思考

“長(zhǎng)頸鹿與小鳥(niǎo)”是北師大版教材二年級(jí)上冊(cè)第九單元“除法”第一課時(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容（如圖1）。學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)信息提出了數(shù)學(xué)問(wèn)題。教學(xué)第一個(gè)問(wèn)題“長(zhǎng)頸鹿要準(zhǔn)備幾間房子”時(shí)，學(xué)生篩選信息后嘗試解答，其中一個(gè)學(xué)生表達(dá)了自己的想法：用除法解決，6個(gè)6個(gè)地分，每份一樣多，是平均分，列式計(jì)算是42÷6=7（間）。另一個(gè)學(xué)生質(zhì)疑：為什么用除法解決？該學(xué)生回應(yīng)：因?yàn)檫@個(gè)問(wèn)題是平均分，所以是42÷6=7。接著教師讓學(xué)生根據(jù)題目要求“寫(xiě)一寫(xiě)，畫(huà)一畫(huà)，用喜歡的方式解釋42÷6=7”。隨后學(xué)生匯報(bào)呈現(xiàn)了五種方式：①畫(huà)圓圈圖：畫(huà)42個(gè)圓圈，6個(gè)分1組，能分7組，所以42÷6=7（間）;②用減法：42-6-6-6-6-6-6-6=0，減了幾個(gè)6就是幾間房;③畫(huà)數(shù)線圖：從42開(kāi)始每次減6，減7次，減到0;④列表;⑤運(yùn)用乘法口訣：六七四十二，42÷6=7。教師自始至終對(duì)于學(xué)生的想法“6個(gè)6個(gè)地分，每份一樣多，是平均分，所以用除法解決”沒(méi)做回應(yīng)或默認(rèn)合理。

問(wèn)題引發(fā)思考：“已知6只小鳥(niǎo)住一間房子，一共有42只小鳥(niǎo)，長(zhǎng)頸鹿要準(zhǔn)備幾間房子？”解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)學(xué)生選擇用除法，理由是“這是‘平均分’問(wèn)題”。在小學(xué)第一學(xué)段，學(xué)生對(duì)除法概念本質(zhì)的理解就是“平均分物”。由于前面學(xué)習(xí)“分一分與除法”單元時(shí)，教材呈現(xiàn)的多半是等分情境，這就先入為主地給學(xué)生造成了“除法就是將總數(shù)平均分給已知人數(shù)的等分（分配）過(guò)程”的認(rèn)識(shí)。因此，大多數(shù)學(xué)生簡(jiǎn)單地將“平均分”等同于“等分”。但此情境中要解決的問(wèn)題是“等分”嗎？此問(wèn)題用“等分”來(lái)解釋“為什么用除法解決”合理嗎？除法源于“平均分物”，是不是說(shuō)除法的意義就是“等分”？在這里除法的意義用“等分”還解釋得通嗎？除法意義的教學(xué)情境是否需要擴(kuò)充和拓展？

二、核心問(wèn)題再討論：運(yùn)算意義是“一以貫之”還是根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容“擴(kuò)充拓展”

聚焦“案例”體現(xiàn)的問(wèn)題是：教師試圖將“平均分物”模糊地貫穿于不同的問(wèn)題情境中，來(lái)解釋除法運(yùn)算的意義。換言之，上述案例所暴露出的核心問(wèn)題是：運(yùn)算意義是“一以貫之”還是根據(jù)不同問(wèn)題情境或?qū)W習(xí)內(nèi)容進(jìn)階“擴(kuò)充拓展”？這確實(shí)是運(yùn)算教學(xué)中一個(gè)值得探討的核心問(wèn)題。

（一）追溯除法意義的認(rèn)識(shí)

1.從“平均分”說(shuō)起

追溯除法，最早是在“平均分”的問(wèn)題背景下產(chǎn)生的。關(guān)于平均分的含義，一般認(rèn)為：在人們分物的時(shí)候，常常要求做到“公平”，因而在“分”的時(shí)候，要“分”得“同樣多”，“平均分”由此而產(chǎn)生。即在分物時(shí)，使得每份所分得的數(shù)量都相等。我們知道，日常平均分物有兩種情況：一是知道要分的總數(shù)和平均分的份數(shù)，求每份數(shù)是多少，即“等分除”;二是知道要分的總數(shù)和每份數(shù)，求平均分的份數(shù)，即“包含除”。這兩種不同情況的除法都是在“平均分”的數(shù)學(xué)模型中產(chǎn)生的，地位平等。以北師大版教材編排為例，學(xué)生第一次認(rèn)識(shí)除法是在二年級(jí)上冊(cè)第七單元“分一分與除法”中，教材用三個(gè)課時(shí)讓學(xué)生充分經(jīng)歷了“平均分物”的各種活動(dòng)，之后又通過(guò)第四課時(shí)“分香蕉”的實(shí)例把直觀操作符號(hào)化、數(shù)學(xué)化，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)除法。無(wú)論是前面的“平均分物”還是后面的“認(rèn)識(shí)除法意義和除法算式”，北師大版教材都淡化了對(duì)除法“等分除”和“包含除”的兩層意義的教學(xué)，即在認(rèn)識(shí)除法的開(kāi)始階段對(duì)二者不作區(qū)分。教材認(rèn)為，兩者的本質(zhì)是一致的，都是把一個(gè)整體分成若干相同的部分，這里的部分就是“一份數(shù)”，這里的若干就是“份數(shù)”，這其中的數(shù)量關(guān)系就是“總數(shù)”與“一份數(shù)”和“份數(shù)”的關(guān)系。所謂“等分除”與“包含除”的不同就是“知道總數(shù)和份數(shù)求每份數(shù)”和“知道總數(shù)和每份數(shù)求份數(shù)”而已。教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同情境下具有的數(shù)學(xué)本質(zhì)，即把一個(gè)整體分成若干相同的部分，為后續(xù)引入除法和理解除法的意義積累豐富的現(xiàn)實(shí)素材和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生由此體驗(yàn)到：只要是把一個(gè)整體平均分成若干部分，這個(gè)活動(dòng)過(guò)程就可以用除法來(lái)表示。換言之，在學(xué)習(xí)除法的起始階段，教材是有意把“包含除”蘊(yùn)含在“平均分”的問(wèn)題情境中，與“等分除”不作區(qū)分，認(rèn)為這只是“平均分”的兩種情況（如圖2）。

教材的這種模糊處理，筆者并不認(rèn)同。筆者更認(rèn)同張奠宙教授的說(shuō)法：除法教學(xué)，最常見(jiàn)的情境是“平均分物”，如將一些餅干平均分給小朋友。這一數(shù)學(xué)模型，涉及兩種除法，即“等分除”和“包含除”?！暗确殖焙汀鞍笔峭粋€(gè)數(shù)學(xué)模型的兩個(gè)側(cè)面。我們不但要區(qū)分“等分除”和“包含除”，還要把二者明確地說(shuō)出來(lái)，寫(xiě)進(jìn)教學(xué)用書(shū)，甚至寫(xiě)入教材，目的是讓學(xué)生完整地了解除法的數(shù)學(xué)模型。

2.擴(kuò)充至“倍”的認(rèn)識(shí)，拓展至“包含除”的意義

按照北師大教材的呈現(xiàn)順序，教材意在結(jié)合“倍的認(rèn)識(shí)”，引導(dǎo)學(xué)生加深對(duì)除法“包含除”含義的理解。本單元的第六課時(shí)“倍的認(rèn)識(shí)”結(jié)合除法進(jìn)行學(xué)習(xí)，只是“倍”不作為科學(xué)概念而只作為生活概念來(lái)處理，即結(jié)合具體情境和問(wèn)題解決的過(guò)程讓學(xué)生體會(huì)“倍”的意義，感受倍與除法的聯(lián)系，進(jìn)而拓展除法的意義（如圖3）。

從教材的編排來(lái)看，對(duì)“倍”的理解實(shí)際上就是對(duì)除法意義的拓展，即除法不僅可以表示一個(gè)數(shù)量的“等分除”問(wèn)題，也可以表示兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系（倍數(shù)關(guān)系）。而這里的“兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系”其實(shí)就是除法的“包含除”的意義，即a的數(shù)量是b的數(shù)量的多少倍，就是指a的數(shù)量里包含有多少個(gè)b的數(shù)量，也就是把b的數(shù)量看作“一份數(shù)”，那么“倍數(shù)”就是“份數(shù)”。也可以從度量的角度加以審視，即把b的數(shù)量看作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)度量單位（一份數(shù)），去度量a的數(shù)量（總數(shù)），度量的次數(shù)（份數(shù)）就是“倍數(shù)”。由此可見(jiàn)，除法學(xué)習(xí)至此，除法的意義已經(jīng)由表示一個(gè)數(shù)量“等分除”的問(wèn)題擴(kuò)充至兩個(gè)數(shù)量“包含除”的倍數(shù)關(guān)系問(wèn)題，隨著對(duì)除法學(xué)習(xí)的再認(rèn)識(shí)，除法的意義在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)層次上實(shí)現(xiàn)了新的拓展與提升。

3.再談明晰“等分除”與“包含除”對(duì)除法學(xué)習(xí)的重要性

誠(chéng)然，“等分除”是把一個(gè)總數(shù)平均分成若干份，求每一份的數(shù)量是多少;“包含除”是把每一份的數(shù)量看作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量，看總數(shù)里有幾個(gè)這樣的“一份數(shù)”，相當(dāng)于把總數(shù)平均分成了幾份。這樣看，無(wú)論是“等分除”還是“包含除”，單從學(xué)習(xí)活動(dòng)上看是基本一樣的，都可以看作是把一個(gè)整體數(shù)量分成若干相同的部分的過(guò)程。但是，從問(wèn)題情境數(shù)學(xué)化的角度來(lái)看，“等分除”和“包含除”還不完全是一回事。他們不僅僅是簡(jiǎn)單的“平均分”的兩種方式，也不僅僅是“平均分”的不同分法，它們客觀再現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)意義和學(xué)生的思維認(rèn)知存在著明顯差別。在除法學(xué)習(xí)的起始階段，基于學(xué)生對(duì)除法理解的初步程度，如教材所述可以將“包含除”的問(wèn)題蘊(yùn)含于“平均分”中暫時(shí)與“等分除”不作區(qū)分。但隨著除法學(xué)習(xí)的深入，隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容的不斷進(jìn)階，學(xué)生對(duì)除法意義的認(rèn)識(shí)也需要進(jìn)一步擴(kuò)充和拓展，這就是“倍的認(rèn)識(shí)”出現(xiàn)的重要意義。“倍的認(rèn)識(shí)”使得學(xué)生對(duì)除法意義的理解由統(tǒng)一一個(gè)數(shù)量的“等分除”上升為兩個(gè)數(shù)量的“包含除”的倍數(shù)關(guān)系，將“包含除”的意義從“等分除”中剝離出來(lái)，既是對(duì)不同問(wèn)題情境數(shù)學(xué)化抽象理解的體現(xiàn)，也是學(xué)生對(duì)除法意義認(rèn)知結(jié)構(gòu)逐步完善的體現(xiàn)。

讓我們?cè)賮?lái)看兩個(gè)例子。

問(wèn)題1：國(guó)內(nèi)長(zhǎng)途每分鐘0.3元，笑笑打電話通話費(fèi)用了5.1元，笑笑打電話的時(shí)間是多少分鐘？

問(wèn)題2：1袋20kg的大米，每天吃掉2/5kg，可以吃多少天？

顯然，這兩個(gè)例子是“小數(shù)除法”和“分?jǐn)?shù)除法”的問(wèn)題。在“用除法解決這樣的問(wèn)題”以及解釋“為什么用除法解決”時(shí)，一般用“等分除”不好解釋?zhuān)谩鞍钡囊饬x或“倍”的關(guān)系來(lái)解釋則學(xué)生很容易理解，即“要求打電話的時(shí)間是多少分鐘，就是看5.1元里有多少個(gè)0.3元”“要求可以吃多少天，就是看20kg里有多少個(gè)2/5kg”，從兩個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系來(lái)理解除法正是除法“包含除”的意義。這也正說(shuō)明，從整數(shù)到小數(shù)再到分?jǐn)?shù)，隨著數(shù)系的不斷擴(kuò)展，學(xué)生對(duì)除法的學(xué)習(xí)也會(huì)隨之從整數(shù)除法到小數(shù)除法再到分?jǐn)?shù)除法不斷深化，對(duì)運(yùn)算意義的理解與再認(rèn)識(shí)也會(huì)隨之更加清晰、明朗和走向深入。

（二）延伸再認(rèn)識(shí)乘法意義的擴(kuò)充拓展問(wèn)題

追溯乘法，最初是表示“求幾個(gè)相同加數(shù)的和”，即用相同加數(shù)乘相同加數(shù)的個(gè)數(shù)。但隨著數(shù)系領(lǐng)域的不斷擴(kuò)展，這里的加數(shù)也逐漸開(kāi)始突破自然數(shù)的限制。比如“小數(shù)乘整數(shù)”“分?jǐn)?shù)乘整數(shù)”，這里乘法的最初定義已經(jīng)無(wú)法“雙向”解釋?zhuān)朔ㄒ饬x需要進(jìn)一步擴(kuò)充拓展。隨著乘法的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)，乘法也出現(xiàn)了倍的意義，即求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少。從整數(shù)乘法到小數(shù)乘法中的“小數(shù)乘小數(shù)”，再到分?jǐn)?shù)乘法中的“整數(shù)乘分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”。這一過(guò)程中乘法意義又突破了“倍”的意義，與“分?jǐn)?shù)意義”相關(guān)聯(lián)，進(jìn)一步完成了由表示“幾個(gè)幾”到表示“一個(gè)數(shù)的幾分之幾”的擴(kuò)充與拓展。由此可見(jiàn)，小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義已經(jīng)并不完全相同，有時(shí)用整數(shù)乘法的意義“幾個(gè)幾”可以解釋?zhuān)袝r(shí)卻需要聯(lián)系分?jǐn)?shù)的意義解釋才更科學(xué)合理。乘法運(yùn)算的意義必須根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行擴(kuò)充和拓展。

三、運(yùn)算教學(xué)：運(yùn)算意義應(yīng)從固有的“原始性認(rèn)識(shí)”向整體的“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)”轉(zhuǎn)變進(jìn)階

回應(yīng)前面觀課中的問(wèn)題?！鞍咐钡膬?nèi)容是根據(jù)問(wèn)題情境提出用除法解決的實(shí)際問(wèn)題，是在學(xué)生經(jīng)歷了第一階段“分一分與除法”的學(xué)習(xí)，已經(jīng)認(rèn)識(shí)了除法“等分除”的意義，并進(jìn)一步通過(guò)“倍的認(rèn)識(shí)”補(bǔ)充拓展了“包含除”的意義的基礎(chǔ)上展開(kāi)的第二階段除法學(xué)習(xí)。因此根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的進(jìn)階，在將問(wèn)題情境數(shù)學(xué)化的過(guò)程中還是需要將“包含除”與“等分除”區(qū)分開(kāi)來(lái)，幫助學(xué)生全面補(bǔ)充拓展理解除法的意義。正如張奠宙教授所言“在日常生活中，‘等分除’情境與‘包含除’情境是不一樣的，雖然都?xì)w于除法，但只有把兩者意義區(qū)分開(kāi)，除法模型才會(huì)建立得更加豐滿”。

綜上所述，運(yùn)算意義的教學(xué)不應(yīng)也不能是“一以貫之”，而是要根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容的進(jìn)階“擴(kuò)充拓展”，不斷豐富完善學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義理解的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。就整體而言，我們不僅應(yīng)當(dāng)高度重視對(duì)運(yùn)算意義固有的“原始性認(rèn)識(shí)”，努力促使學(xué)生向整體的“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)”轉(zhuǎn)變進(jìn)階，而且應(yīng)幫助學(xué)生根據(jù)數(shù)系的不斷擴(kuò)展以及運(yùn)算內(nèi)容、學(xué)習(xí)階段的進(jìn)階遵從知識(shí)學(xué)習(xí)的本質(zhì)規(guī)律，從更高層次上進(jìn)行思維與認(rèn)識(shí)水平的必要重構(gòu)，從而完成對(duì)運(yùn)算意義理解的發(fā)展與深化。

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙.教材編寫(xiě)要注意防止片面的思維定式——評(píng)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中忽視“包含除”的傾向[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2015（9）：4-6.

[2]鞏子坤，張奠宙，任敏龍，等.小學(xué)數(shù)學(xué)中切莫忽視“包含除”的教學(xué)價(jià)值[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（4）：4-6.

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