對雙縫干涉實驗亮條紋位置的幾點思考

謝禮平

（南京市東山高級中學，江蘇南京 211103）

高中物理新教材選擇性必修第1冊第4章第4節，［1］課題為“實驗：用雙縫干涉測量光的波長”.在該節對實驗原理的闡述中，推導了亮條紋所在位置的表達式.如圖1所示，與雙縫中心間距d相比，每個狹縫都很窄，寬度可以忽略不計，雙縫中心S1、S2的連線的中垂線與屏的交點為P0，縫到屏之間的距離OP0＝L.下面針對教材在推導亮條紋位置x與光波長λ之間關系式（1）的過程提出幾個問題，隨后提出作者對此的思考.

圖1

1 問題1及其討論

由教材表述的推導，會得到

教材在推導過程中有兩個地方使用了近似相等.

近似1：在r1＝MP1的條件下，將三角形S1S2M近似認為是直角三角形，即∠S1MS2≈90°.

近似2：sin∠P1OP0≈tan∠P1OP0，教材表述為sinθ≈tanθ.

還有一個近似相等教材沒有提，而是直接表述為相等，即近似3：∠P1OP0≈θ，這個近似伴隨著∠S1MS2≈90°的近似而產生.

那么，為什么要用這3個近似？這3 個近似相等有根據嗎？在這里多數教師都感覺講授起來非常棘手：完全按照教材方式去講解，依靠學生的現有的數學基礎，他們會產生各種各樣的疑問：為什么要這樣近似？我用另外的近似方法可以不可以？如果可以的話，會推導出與教材結論完全不相同的結論.要知道，這些近似相等要面對的是可見光波長的數量級，即10－7m，它們真的可靠嗎？作者的印象是，在實際教學中，對這些問題的對待方式，要么是回避；要么是只強調教材提出的近似的權威性；只要求學生記住最后導出的關系式，推導過程略過不提.對此的疑問大都不了了之.

為確認這些近似的可靠性，作者首先考慮的是根據實驗室現有實驗裝置提供的數據做計算，具體是以本節教材內容后第97頁提供的“練習與應用3”為例，實驗最可能的涉及的數據如下：單色光波長λ＝6.33×10－7m，雙縫間的距離d＝0.3 mm，屏距離雙縫（或擋板）L＝1.2 m.

（1）首先研究近似1 的可靠性，即△S1S2M近似認為是直角三角形.

先計算（r2－r1），再比較它與直角三角形S1S2M的邊長S2M的差距，為了獲得可以與可見光波長數量級相比較的數據，計算的精度至少要到10－10m.

如圖2所示，由幾何關系可知

圖2

以上3式聯立可得

代入數據計算，上式的每步計算均保留到11位有效數字，可得

x1≈2.5320056534×10－3m.

由此就可以計算∠P1OP0的正弦值

設S1M⊥S2P1，那么

sin∠P1OP0＝sinθ.

S2M＝dsin∠P1OP2.

S2M＝6.3300000423 m.

由此可以看出S2M的相對誤差為

這幾乎沒有誤差，在S1M⊥S2P1的情況下，完全可以認為Δr＝S2M.

（2）從另一個視角來證明關系式（1）.

由（2）－（4）式聯立可以得（5）式，考察（5）式.

從剛才的計算過程知道：項“4λ2L2”的數量級為10－6m；項“λ4”的數量級為10－18m，所以分子中的項“λ4”忽略不計；而項“4d2”的數量級為10－7m；項“4λ2”的數量級為10－12m，故而分母中的項“4λ2”也可以忽略不計，

上式結合式（2）就可以得到關系式（1）.這也許是高中學生較為容易接受的推導.

還可以觀察一下P1P0和OP0之間的空間比例關系：

這大約相當于在12 m 遠處觀察一枚一元的硬幣，圖2的空間比例關系與實際情況不符，但圖2 方便了表述和分析.

綜上所述：在教材第97頁“練習與應用3”提供的實驗條件下，關系式（1）非常可靠.

由于采用可靠的近似，抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，得出的這個關系式直觀而簡潔.

2 問題2及其討論

雙縫干涉實驗中觀察到的亮條紋只是有限的幾條，不是滿足亮條紋關系式的所有地方都有的，亮條紋的亮度也不盡相同，這是為什么呢？

這個問題的解答取決于對衍射現象的認識程度.如圖3 所示，雙縫干涉現象，是在兩個狹縫分別產生的衍射在重疊區域疊加而形成的，具體說就是狹縫S1因衍射現象而產生的中央亮條紋寬度（主極大）S11S10，狹縫S2對應的是S21S20，兩條衍射現象的中央亮條紋在它們重疊的區域S10S20產生了明暗相間的條紋，是為干涉現象.

圖3

（1）可以計算重疊的區域的寬度.

設狹縫的寬度為a，中央亮條紋的寬度為S11S10＝S21S20＝l，光的波長為λ，擋板與屏的距離為L，則有

設重疊的區域S10S20的寬度為l′，由圖3的幾何關系可得l′＝l－d.

由于每相鄰兩個亮條紋的間距幾乎是相等的，可用上文所說的x1表示，所以能看到的亮條紋的數量n最多為

（2）繼續使用波長λ＝6.33×10－7m 的單色光進行實驗.

由資料所提供的數據，［2］實驗單縫的寬度為a＝0.1 mm，再由教材第97頁“練習與應用3”提供的實驗參數進行計算.

約60條是基于以上實驗參數，依據理論知識計算的亮條紋的數目.實際上這些亮條紋的亮度有比較大的差異，有的甚至肉眼不見，中央部分一些亮條紋最為明亮，實驗時以它們為對象進行測量.

衍射現象的次級亮條紋之間也會產生干涉現象，由于亮度的原因，它們不是實驗的測量對象，此處不再贅述

3 問題3及其討論

亮條紋之間的距離是等間距的嗎？

用眼睛觀察實驗發現亮條紋間距是相等的，但亮條紋位置的關系式是采取近似后推導所得，因此，嚴格的說，間距并不相等.課本中說的等間距，也是以可靠的近似為根據的.

實驗中，有時以5－9條亮條紋為對象進行測量.本文對第4 級亮條紋的位置分兩種方式進行計算：一是實際計算，二是根據亮條紋的關系是進行計算，然后進行比較.

（1）實際計算.

如圖4所示，對第4節亮條紋的位置P4，有

圖4

以上3式聯立得到

代入問題1 討論所給數據計算，在計算時均保留到11位有效數字，會得到

x4＝1.0128360667×10－2m.

（2）用關系式計算.

代入數據計算，得到

其誤差為

它們幾乎沒有差別，可以認為：用關系式（1）計算第4級亮條紋位置依然十分精確，亮條紋間距可認為是均勻的，眼睛無法看出它們的差別.