拉格朗日中值定理的推廣及其在高等數學解題中的應用

楊金梅

摘? 要：拉格朗日中值定理是高等數學微分學部分非常突出、重要的研究成果，在微積分發(fā)展過程中占據著極其重要的地位，是高等數學微分學部分的基礎，也是中值定理的核心內容，能夠將函數和導數聯(lián)系起來，為其他微分學中值定理的推廣奠定基礎，在理論研究與實踐中具有重要的應用價值。拉格朗日中值定理的證明是考研高等數學科目中常出現的問題，具有一定的難度。證明該定理的關鍵在于采用逆向思維的方式，構建輔助函數，主要方法包括羅爾定理證明、旋轉法證明、常數k值證明等。對拉格朗日中值定理進行推廣，拓寬其使用范圍，充分發(fā)揮數學研究的價值，可用于求解極限、不等式、函數、證明類問題，能夠將問題化繁為簡，為解決數學問題提供便利。

關鍵詞：高等數學;拉格朗日中值定理;推廣

中圖分類號：O172.1? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ?文章編號：1672-4437（2022）02-0058-07

高等數學領域主要研究定義于實數集的函數的性質，微分中值定理是探究函數性質最重要、最有效的研究工具之一。深入理解和掌握微分中值定理相關知識，明確其證明方法和應用條件是學習微分學的首要法則[1]。微分中值定理主要討論利用什么方法能夠根據導數已知性質判斷和推導相應函數的全部性質，將函數性質研究和導數知識運用密切聯(lián)系在一起，在數學領域具有重要作用。高等數學中常見的微分中值定理包括羅爾（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理和泰勒（Taylor）中值定理。這些定理存在遞進關系，后者可以由前者推導得出，其中拉格朗日中值定理屬于核心內容，是學習函數極值、單調性、最值，以及曲線凹凸性等內容的基礎[2]。高等數學教材通常對于拉格朗日中值定理的介紹較為簡單，教師可以對其證明方法進行簡單講述，但應詳細講解相關推廣定理及其具體應用，以加深學生對知識點的理解，為學生以后的學習奠定基礎。

1 拉格朗日中值定理概述

拉格朗日中值定理，又稱“拉氏定理”或“有限增量定理”（以下將其稱為“拉氏定理”）。在古希臘時期就存在與中值定理相關的結論，1797年，法國數學家拉格朗日提出拉式定理并對其進行證明。隨著數學領域研究的不斷深入，拉式定理逐漸成為中值定理的核心內容，成為連接函數和導數的橋梁，作為研究函數的工具在微積分相關問題中得到廣泛應用。

1.1拉氏定理內容

倘若函數f（x）滿足以下兩個條件：其一，函數在開區(qū)間（a，b）內可導;其二，函數在閉區(qū)間[a，b]上為連續(xù)函數，則開區(qū)間（a，b）內至少存在一點 ，使得下列等式成立[3]：

上述等式還可變型為：

對羅爾定理進行推廣可以得到拉式定理，對拉式定理進行合理的推理可以得到柯西中值定理，而拉氏公式與特殊階0階的泰勒公式相同。拉氏定理不僅可以證明等式或不等式，而且可以探究函數單調性、連續(xù)性和凹凸性等性質，應用范圍廣泛。

1.2定理的證明方法

作為微分學部分的基礎內容，學習拉氏定理的證明方法，可以幫助學生更加深入地理解定理的精髓，掌握定理的使用方法。定理的證明思路主要是輔助函數的構造，根據選擇的輔助函數的差異，可以選擇多種證明方法。

1.2.1 利用羅爾中值定理證明拉氏定理。

羅爾定理具體描述如下。

倘若函數f（x）在R上滿足以下三個條件：其一，閉區(qū)間[a，b]上函數f（x）連續(xù);其二，開區(qū)間（a，b）內函數f（x）可導;其三，f（a）=f（b），則區(qū)間（a，b）內至少存在一個點ξ，使得 。與拉氏定理相比，羅爾定理多了第三個條件，換言之，當函數滿足第三個條件時，拉氏定理就是羅爾定理，而羅爾定理只是拉氏定理的特殊形式，因此，可以用羅爾定理對拉氏定理進行證明[4]。

證明：根據拉氏定理公式構造輔助函數：

如果輔助函數F（x）滿足羅爾定理三個條件，那么區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，下列等式成立：

所以，? ? ? ? ? ?，拉氏定理成立。

上述證明過程較為簡單，但具有較強的抽象性，學生需要具備良好的逆向思維能力，才能構建出相應的輔助函數。

1.2.2 旋轉法證明拉氏定理

使用這一證明方法，必須掌握拉氏定理的幾何意義，即x=a和x=b處為光滑曲線的兩個短端點，曲線內必然存在一點，該點處的切線與曲線上的端點連線平行。在原坐標系中，曲線的兩個端點高度不同，倘若將坐標系進行恰當旋轉，則可以使曲線的兩個端點在新的坐標系中具有相同高度，且旋轉后的坐標系中的曲線滿足羅爾中值定理。

證明：假設曲線上的P、Q兩個端點連成的直線l與x軸正半軸的夾角記為β，且0<β<π。坐標軸的原點O，將原坐標系進行逆時針旋轉，旋轉角度為α，則α=π-β。假設平面內任取一點N，其在原坐標系中坐標（x，y），變換后坐標（x’，y’），那么下列等式成立：

原坐標系中曲線表示為（x，f（x）），則曲線在新坐標系中表示為：

旋轉坐標后曲線端點P、Q連成的直線l與X’平行，因此P、Q在新坐標系中高度是相同的，可表示為 。根據上述內容，在原坐標系基礎上，構造相應的輔助函數 ，在閉區(qū)間[a，b]上函數F（x）連續(xù)，且在開區(qū)間（a，b）內F（a）=F（b），根據羅爾定理可知，區(qū)間（a，b）內至少存在一個點ξ，使得 ，則 ，那么下列等式成立。

1.2.3 作差法證明拉氏定理

作差法也需要利用羅爾定理，才能夠證明拉氏定理。

證明：構造作差輔助函數：

由輔助函數可知，在閉區(qū)間[a，b]上F（x）連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內F（x）可導，且F（a）=F（b）=0，滿足羅爾中值定理條件，因此，開區(qū)間（a，b）內必然存在一點ξ，能夠使得下列等式成立：

則：

1.2.4 常數k值法證明拉氏定理

常數k值法證明拉氏定理的具體過程為將預證明的等式不含ξ的常數項設為k，根據等式構造與常數k相關的輔助函數，且構造的函數符合羅爾定理使用條件，進而可以推導證明拉氏定理。

證明：根據拉氏定理公式，將其進行變形，變形后的公式如下：

必然存在一個常數k，使得下列等式成立：

根據上述等式，可以構造輔助函數F（x）：

由輔助函數F（x）可知，其在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內F（x）可導，且F（a）=F（b），滿足羅爾中值定理條件，因此，開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，能夠使得下列等式成立：

可知，

那么公式得證：

1.2.5 積分法證明拉氏定理

積分法證明拉氏定理主要方法是將公式中ξ變?yōu)閤，就可以得到函數f（x）的導數，利用不定積分求解方法，可以解得原函數f（x），利用移項變號將函數中任意常數移至等式同側，另一側即是證明拉氏定理需要構造的輔助函數。

證明：根據上述方法，構造證明拉氏定理的輔助函數：

輔助函數中x屬于定區(qū)間[a，b]，根據積分的性質能夠得到下列等式：

根據上述等式，顯然函數F（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內F（x）可導，且F（a）=F（b）=0，滿足羅爾中值定理條件，因此開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，能夠使得 ，則下列等式成立：

可以得到：

1.2.6 行列式法證明拉氏定理

行列式法證明拉氏定理的主要思路為構造輔助函數F（x），使其包含法f（x），且滿足羅爾中值定理，特別是F（a）=F（b），根據行列式性質，可以想到下列行列式在x=a和x=b時，計算結果為0，

根據上述聯(lián)想到的行列式，可以構造相應的輔助函數F（x），具體證明過程如下。

證明：構造輔助函數：

將輔助函數中行列式展開，得到下列等式：

根據展開后的函數可知，由于f（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，因此輔助函數F（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且代入函數可知F（a）=F（b）=0。根據羅爾定理可知，開區(qū)間（a，b）內存在點ξ，使得 ，則：

等式成立，拉氏定理得證。

上述給出的6種拉氏定理證明方法都需要構造輔助函數，且都需要根據羅爾定理，才能推導得到拉氏定理公式。可見，拉氏定理證明的關鍵在于輔助函數的正確構造，其構造方法變化多端，將復雜的問題簡單化處理，不僅是解決拉氏定理證明問題的有效方法，而且是高等數學其他問題常用的數學思想之一。

2 拉氏定理的推廣

拉氏定理是高等數學微分學部分的重要內容，在數學領域具有非常重要的地位，以其為數學工具可以研究函數的各類性質。在各類考試中，拉氏定理也是重要的考點，常應用于證明題或理論分析類題目。在實函數中，拉氏定理能夠進行推廣，可以有效拓寬拉氏定理的使用范圍[5]。拉氏定理的相關推廣如下。

定理1 假設函數f（x）和g（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使得下列行列式等于0，即：

證明：構造輔助函數F（x）：

函數f（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且將a，b代入輔助函數可知，F（a）=F（b）=0，因此，輔助函數F（x）滿足羅爾中值定理，則開區(qū)間（a，b）內必然存在一點ξ，可得 ，上述定理得證。

定理2 假設函數f（x）在（a，b）內可導，且? ? ? ? 、? ? ? ?均存在，那么開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使得下列等式成立：

證明：假設? ? ? ? ? ?、? ? ? ? ? ?，構造輔助函數F（x）：

函數φ（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則 。根據拉氏定理可知，開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使得下列等式成立：

將 代入上式，可得：

定理3 假設函數f1（x），f2（x），……，fn（x）在開區(qū)間（a，b）內均為可導函數，且在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么開區(qū)間（a，b）內必然存在一點ξ，能夠使得行列式和式等于0。

證明：構造輔助函數F（x）：

函數F（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，根據羅爾中值定理可知，開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使得 ，則上述定理得證。

定理4 函數f（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且? ? ? ? ? ，那么開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使得下列等式成立：

證明：構造輔助函數F（x）：

函數F（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，根據拉氏定理可知，開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使得下列等式成立：

則? ? ? ? ? ? ? ? ，上述定理得證。

根據定理4證明過程，同理可得以下推論。

定理5 假設函數f（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，? ? ? ? ? ，? ? ? ?，那么開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使得下列等式成立：

定理6 假設函數f（x）在（-∞，+∞）內可導，且

均存在，那么開區(qū)間（-∞，+∞）內至少存在一點ξ，使得下列等式成立：

證明：假設? ? ? ? ?，構造輔助函數F（t）=f（tant），其在開區(qū)間? ? 可導，其導數如下：

由于? ? ? ? ? ? ?均存在，? ? ? ? ? ? 存在，根據定理2可知，開區(qū)間? ? 內必然存在一點n，使得下列等式成立：

，當? ? ? ? 時，ξ為區(qū)間（-∞，+∞）中一點，根據：

可知，區(qū)間（-∞，+∞）至少存在一點ξ，使得下列等式成立：

進而定理得證。

除上述推論外，拉氏定理還有許多推廣，一般會在解決實際問題時，根據需求進行合理推廣，每個推廣定理都與拉氏定理或羅爾定理密切相關，且各自具有不同特點，有效拓寬了拉氏定理的使用范圍。對于拉氏定理極其推廣定理而言，學生必須掌握以下兩點內容，才能真正理解、掌握和靈活運用拉氏定理。其一，根據拉氏定理可知函數在區(qū)間內中值ξ存在，但其并不具備唯一性，一些特殊情況下，ξ并不能求出具體數值，但可將其作為數學工具證明其他定理。例如，根據拉氏定理，將公式

看作方程，可用于判斷某個方程的根是否存在問題，用中值ξ的存在即可證明方程根的存在性。同時，拉氏定理中明確提出了中值是某個區(qū)間內的一點，因此，在解決實際題目時，可以利用? ? 來確定? ? 的取值范圍，用于證明不等式相關問題[6]。其二，利用拉氏定理解決其他高等數學相關問題時，最重要的內容就是構造合理的輔助函數，一般可以將拉氏定理公式中

部分作為構造輔助函數的突破口，需要對其進行合理變形，得到輔助函數，便于進一步解決問題。

3 拉氏定理的應用

拉氏定理在高等數學中占據著十分重要的地位，學生在學習拉氏定理時不僅要了解定理的證明方法，掌握相關的推廣定理，而且要學會利用定理解決實際問題。例如，利用拉氏定理求解極限、證明不等式或等式、研究函數的各種性質等，能夠提高學生的解題效率，培養(yǎng)學生的數學思想，引導學生掌握正確的數學知識學習和應用方法。

3.1求解極限問題

高等數學微分學部分有許多求解函數極限問題的方法，常用的極限求解方法包括重要極限求解方法、有理化極限求解方法、直接帶入求解極限、夾逼定理應用等，其中等價無窮小替換、泰勒公式和洛必達法則是求解極限問題的典型方法，在多數極限類問題中都會用到[7]。利用拉氏定理解決函數極限相關問題也是微分學中一種較為重要的解題方法，雖然使用頻率較小，但針對部分特殊極限求解問題，其發(fā)揮著非常重要的作用。

例1 計算

解題步驟：構造輔助函數f（x） ，在閉區(qū)間[sinx，x]或[x，sinx]上，根據拉氏定理可知，下列等式成立：

且ξ為開區(qū)間（sinx，x）或（x，sinx）內的任意一點，當? ?時，根據介值定理可得 ，則可得出上述極限問題的答案，即：

3.2 證明不等式相關問題

根據給出條件構造相應的輔助函數，以拉氏定理為基礎，可以對不等式一側縮放，或者根據函數的單調性，對不等式進行合理證明[8]。

例2 假設e < a < b < e2，證明下列不等式

證明：根據不等式左側式子，可以構造函數f（x）， ，函數f（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，根據拉氏定理可知，開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使得下列等式成立：

構造輔助函數g（x），? ? ? ? ，e < a < b < e2，? ? ? ? ? ? ，根據x的定義域可知，? ? ? ? ，因此，定義域內函數g（x）單調遞減，可知? ? ? ? ? ? ，? ? ? ?，因此? ? ? ? ? ? ? ，上述不等式得證。

3.3 證明等式相關問題

利用拉氏定理內容可以直接證明等式相關問題，如果目標等式中含有f（a）、f（b）、ξ或f’（ξ），可以考慮使用拉氏定理對其證明。

例3 假設函數f（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，試證明? ? ? ? ?，使得下列等式成立：

證明：根據等式，可以看到與拉氏定理公式的相似性。因此，可以使用拉氏定理對其進行證明。根據等式特征，構造輔助函數F（x），使F（x）=xf（x），函數F（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，根據拉氏定理，可知開區(qū)間（a，b）內至少存在一點ξ，使得下列等式成立：

將函數F（x）帶入拉氏定理公式，可得：

3.4 函數性質證明問題

微分學中的中值定理是判斷或證明函數性質的重要數學工具，作為核心微分中值定理，拉氏定理在函數性質判斷中占據這十分重要的地位，如函數單調性問題證明、函數奇偶性問題證明等[9]。

例4 判斷并證明定義域（0，+∞）內，函數

的單調性

證明：先對函數f（x）求導，可得：

在閉區(qū)間[x，x+1]上lnx滿足拉氏定理條件，則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，從而可以得到：

根據函數單調性判斷方法可知，當函數f（x）大于0時，函數f（x）單調增加。

3.5證明方程根的存在性問題

根據拉氏定理條件可知，如果f（a）=f（b），則能夠得到拉氏定理特殊形式，即羅爾中值定理，能夠用其證明方程是否存在根。具體證明時，題目中給出的方程根定義域必須是閉區(qū)間[a，b]，將方程構造為輔助函數，即可進行進一步證明。

例5 設f（x）在閉區(qū)間[0，l]內可導，且 0<f（x）<1，開區(qū)間（0，1）內所有點滿足如下不等式f’（x）≠0，證明開區(qū)間（0，1）內方程f（x）+x-1=0存在唯一的實數根。

方程實數根存在性證明：構造輔助函數F（x），令F（x）=f（x）+x-1，函數F（x）在開區(qū)間（a，b）內可導，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則F（0）=f（0）-1<0，F（1）=f（1）>0，根據方程根相關判斷定理，可知開區(qū)間（a，b）內至少存在一個零點，而原方程至少存在一個實數根。

方程實數根唯一性證明：設開區(qū)間（0，1）內方程f（x）+x-1=0存在a，b兩個實數根，假設0<a<b<1，那么f（a）=1-a，f（b）=1-b，根據拉氏定理條件可知，開區(qū)間（a，b）內必然存在一點ξ，使得下列等式成立：

從給出題目中已知，開區(qū)間（0，1）內所有點滿足f’（x）≠0，而結論與題目給出條件相矛盾，因此，在開區(qū)間（0，1）內方程f（x）+x-1=0僅存在唯一的實數根。

拉氏定理在解決高等數學問題中使用的關鍵在于從題目給出的結論出發(fā)，分析題目可構造函數在哪一區(qū)間滿足拉氏定理條件，以此為基礎構造相應的輔助函數，并明確想要區(qū)間，根據拉氏定理的公式或推論對其進行進一步證明。解題過程中，構造輔助函數過程存在較強的技巧性，學生必須認真分析題目給出的條件，對其進行變形和推導，才能構造出符合題意的輔助函數。此外，解題過程中，還需要重視題目直觀性和數學分析方法的結合，必要時可以結合函數幾何意義幫助分析問題，以最簡潔的方法解決問題。

4 拉氏定理的教學方法

拉氏定理與羅爾定理、柯西中值定理等內容相互聯(lián)系，明確構建了導數與函數值間存在的定量關系，可以作為探究函數性質的數學工具，簡化了函數性質探究的難度。引導學生學習和理解拉氏定理相關內容，掌握拉氏定理解決高等數學問題的方法，能夠培養(yǎng)和提升學生的抽象思維能力、分析能力、概括能力和知識遷移能力，幫助學生在學習過程中形成嚴密的數學思維方式，提高解決問題的綜合能力[10]。根據拉氏定理學習特征，可以利用以下教學方法激發(fā)學生的學習動力，幫助學生高效掌握拉氏定理相關內容。

第一，拉氏定理具有較強的抽象性，教師教學過程中需要創(chuàng)設合理的教學情境。證明拉氏定理，需要使用羅爾定理，因此，教師可以引導學生簡單回顧羅爾定理條件、公式和幾何意義，根據其幾何意義對定理進行推廣和拓展，發(fā)現坐標系中曲線端點高度不同時定理發(fā)生的變化，引入拉氏定理。

第二，拉氏定理的講解必然會聯(lián)系其幾何意義，教師可以繪制坐標系和曲線圖，引導學生猜測相關結論，發(fā)現曲線端點聯(lián)系和曲線某點切線的平行關系，并使用標準的數學語言表述拉氏定理。

第三，根據得出的拉氏定理，結合羅爾定理內容引導學生分析證明拉氏定理的思路，分析證明拉氏定理可用的方法，培養(yǎng)學生的抽象思維和創(chuàng)新能力[11]。根據定理證明方法對拉氏定理進行合理推廣，使學生明確常用的推廣定理，并通過經典題目的解答，加深學生對拉氏定理的理解，提高學生對拉氏定理的運用能力。

拉氏定理是高等數學微分學部分的基礎內容，在理論學習和解題應用中具有十分重要的作用，且具有明確的幾何意義。實際學習中，深刻掌握拉氏定理內容，特別是特殊點ξ的含義理解難度較大。如果學生能夠熟練掌握拉氏定理證明方法和推廣定理，可以構造相應的輔助函數，將部分高等數學題目化繁為簡，迅速得出正確結論。

參考文獻：

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[10]張敏，廖畢文，劉俊.發(fā)現式教學模式在士官《高等數學》教學中的應用：《拉格朗日中值定理》設計案例[J].教育教學論壇，2018（37）：158-159.

[11]黃海松.拉格朗日中值定理的證明及應用[J].柳州職業(yè)技術學院學報，2018，18（3）：104-109.

Generalization of Lagrange's Mean Value Theorem and Its Application in Higher Mathematics Problem Solving

YANG Jinmei

（College of Preparatory Education， Qinghai University for Nationalities， Xining， Qinghai 810007，China）

Abstract： Lagrange's mean value theorem is a very prominent and important research achievement in the differential calculus of advanced mathematics. It occupies an extremely important position in the development of calculus. The core content can link functions and derivatives， lay the foundation for the promotion of the median value theorem in other differential calculus， and has important application value in theoretical research and practical production. The proof of Lagrange's mean value theorem is a common problem in advanced mathematics subjects for postgraduate entrance examinations， and it has certain difficulties. The key to proving the theorem is to use reverse thinking to construct auxiliary functions. The main methods include Rolle's theorem proof， rotation method Proof， constant k value proof and other methods， and generalize Lagrange's mean value theorem， broaden its practical scope， give full play to the value of mathematical research， can be used to solve limit， inequality， function， proof problems， can be problem-oriented Simplify the complex and facilitate the solution of mathematical problems.

Key words： advanced mathematics; Lagrange's mean value theorem; extension