小學數學建模教學的“模型”優化策略

周萍

【摘 要】小學數學建模教學的重點與難點之一，在于如何有效地幫助學生完成一個“數學化”的抽象過程。本文結合實例，提出“變式優化、題組對比、多元應用、理論建構”四種課堂實踐策略。這四種策略是逐層推進、循序漸進的。教師通過運用這些策略，讓學生思維中初步構建起來的“模型”得到確立與優化，從而讓學生在主動建構中形成模型意識，建立模型思維。

【關鍵詞】變式優化 題組對比 多元應用 理論建構 數學建模

數學建模其實是建立數學模型解決實際問題這一過程的簡稱。目前，學術界對數學模型（Mathematical Model）還沒有一個較為統一的定義。張奠宙認為，廣義地講，數學中各種基本概念和基本算法，都可以叫作數學模型。加減乘除都有各自的現實原型，它們都是以各自相應的現實原型作為背景抽象出來的。按照比較狹義的解釋，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統和數學關系結構的才叫作數學模型[1]。我們認為小學數學教學更多地屬于廣義層面的理解。如一年級學生認識的自然數“1”是“1個人”“1件物品”等抽象的結果，這里的“1”就是反映這些事物共性的一個數學模型。

數學建模的過程是一個實踐活動的過程（建模），也是一個不斷優化、深化的心理過程（優模）。數學模型的建立不是最終目的，而讓學生對模型不斷完善與優化，促進對模型的認識與深化，從而加深對數學的理解，形成初步的建模思想，才是數學建模的目標所在。小學數學建模的教學是一個循序漸進的過程，在教學實踐中，教師可以采用如下策略。

一、運用變式優化策略，讓“模型”更完善

變式教學是在教學中使學生確切掌握概念的重要方式之一，即在教學中用不同的直觀材料或事例說明事物的本質屬性，或變換同類事物的非本質特征以突出事物的本質特征。目的在于讓學生了解哪些是事物的本質特征，哪些是事物的非本質特征，從而對一事物形成科學概念[2]。數學模型的建構需要學生有足夠強的創造性思維，能將抽象的問題去除非本質的特征，建構出最基本的數學模型。而變式教學能讓學生透過現象看出本質，使建構出的數學模型更完善。

蘇教版數學二年級上冊“六、表內乘法和表內除法（二）”，在教學完練習十一的第7題，學生們建構了本節課的數學模型之后，教師設計了如下環節。

師：今天，我們認識了3個新朋友，并知道了它們之間的關系，下面我們就用這樣的數量關系式來解決一些實際問題。

（板書數量關系式：總數÷每份的個數=份數;

總數÷份數=每份的個數）

（出示題目：參加跳遠比賽，二年級一班有17人，二班有15人。每8人一組，可以分成幾組？）

（學生嘗試獨立完成，教師巡視并對有困難的學生進行指導，指名匯報）

生：17+15=32（人），32÷8=4（組）。

師：對比一下，這一題和之前解決的問題有什么相同點和不同點？

生：相同點是我們都依據“總數÷每份的個數=

份數”來解決;不同點是條件中只告訴我們每份的個數是8，卻沒有直接告訴我們總數，所以要先用17+15=32（人）算出總數，然后再依據“總數÷每份的個數=份數”算出可以分成4組。

師：說得真好！掌聲送給他。

師：在解決問題時，我們要學會根據問題尋找適合的數量關系，再根據數量關系去找一找哪些條件是已知的，哪些是未知的，未知的條件又可以通過哪些已知條件得到。

在解決實際問題的教學中，我們通常采取的變式訓練為擴縮性變式，即把一個只需一步或兩步計算的實際問題改變成需要兩步或三步計算才能解決的實際問題，抑或反之。在上一環節中，學生已經清晰建構了與本題相關的數學模型：總數÷每份的個數=份數，并能運用模型直接解決實際問題。此環節的設計使數學問題的結構由簡單到復雜地發生了變化，在運用模型解決問題時，原模型中的總數并沒有直接給出，需要用加法模型求出總數，然后再運用剛剛建構的模型解決問題。通過這樣一步計算到兩步計算的變式訓練，學生對模型的理解不再是狹隘的，并且問題解決的方向是明確的，即：總數÷每份的個數=份數。變式優化擴展了學生的思維，進一步完善了初建的數學模型。從問題出發確定數量關系（數學模型），再依據數量關系（數學模型）尋找條件，并能感悟到未知的條件可以通過已知的條件得到。這樣的變式優化能讓學生感受到問題發展和變化的本質，有利于學生完善數學模型。

二、運用題組對比策略，讓“模型”更清晰

題組教學就是將不同的但有內在聯系的問題組合在一起，以溝通相關知識，促進學生對數學知識的理解，提高學生分析和解決問題的能力。題組教學可以為學生創造一個理解數學知識的結構。正如布魯納所說，獲得的知識，如果沒有完滿的結構把它聯系起來，那是一種多半會被遺忘的知識[3]。因此，教師在組織教學時，需要精心設計相似的題組，使學生在數學學習中獲得某種具有“模型”意義的數學結構，并使這種“模型”更加清晰。

蘇教版數學六年級上冊“六、百分數”中，在教學完例題10和練一練第1題后，筆者設計了如下題組對比練習。

1.馬山糧庫要往外地調運一批糧食，已經運走了60%，還剩48噸。這批糧食一共有多少噸？

2.西林小學六年級有男生94人，女生人數占全年級總人數的53%，六年級一共有多少人？

1.解：設這批糧食一共有x噸。

x – 60%x=48

40%x=48

x=120

答：這批糧食一共有120噸。

2.解：設六年級一共有x人。

x – 53%x=94

47%x=94

x=200

答：六年級一共有200人。

師：觀察這兩道題，有什么不同和相同之處？

生：不同之處是它們的問題情境不一樣;相同之處是這兩道題都是單位“1”的量未知，已知部分量占總量的百分之幾和另一部分量，求總量，我們解決問題時方法是一樣的。

師：說得真好！你們又是如何解決這類實際問題的呢？

生：設單位“1”的量為x，依據“總量–一部分量=另一部分量”這一數量關系列方程解決。

教師通過例題10和練一練第1題的對比，讓學生總結出解決這類題的經驗，使學生進一步感知解決這類問題是有一個“模型”的，即：先理解題意，找出題中的數量關系，當單位“1”未知時，設單位“1”的量為x，然后列方程解答。此環節從求“這批糧食一共有多少噸”到求“六年級一共有多少人”，這個相似題組的設計只是換了問題的“外殼”，雖然問題的情境在變化，但問題的本質—數量之間的結構關系是不變的。教師追問：“觀察這兩道題，有什么不同和相同之處？”“你們又是如何解決這類實際問題的呢？”讓學生經歷對比、聯系、分析、總結，對問題的本質進行類推與抽象。學生在對比、總結的過程中認識到這兩道題都是：（1）單位“1”的量未知;（2）已知部分量占總量的百分之幾和另一部分量，求總量。逐漸形成在解決這類問題時設單位“1”的量為x，依據“總量–一部分量=另一部分量”這一數量關系列方程的解題策略，使得剛建構的數學模型更加清晰。

三、運用多元應用策略，讓“模型”更穩固

在人們的潛意識中，“模型”與“模具”是相對應的，有一成不變的含義，這與創新思維的培養是相違背的。鑒于此，我們進行“數學建模”教學時，要杜絕將學生引入“固封”“窄化”的境地。“數學建模”教學應緊緊抓住基本“模型”這條思維主線，結合學生的認知發展規律和生活實際，創造性地整合、充實和完善學習內容，不拘泥于教材，充分挖掘教學資源，有效選擇不同情境的練習內容，將“模型”向更深、更寬處拓展。從多元應用的層面讓學生領會“模型”的內涵，提高學生對“模型”的價值認同，在多元應用中不斷鞏固初建的數學模型，從而促進學生數學建模思想的形成。

如蘇教版數學四年級上冊“五、解決問題的策略”，在學生自主完成練一練第2題并全班交流后，教師設計了如下環節。

師：剛才我們總結了一些列表整理條件的方法。列表整理時，要一一對應，除了看清條件，還要看清問題。可以從問題出發選擇相關的條件整理到表格中，也可以從條件出發將所有的條件都整理出來。接下來我們一起挑戰這道題。

（出示題目：有3種小游船，分別限乘3人、4人、6人。我們班級如果全部租用4人船，恰好要12條;如果全部租用6人船，要多少條？根據問題，選擇信息整理并解答）

（學生嘗試自主整理并解答，教師巡視并對有困難的學生進行指導）

師：我們一起來看一看他是如何整理的。

一生上臺展示并說出自己的想法：題目中告訴我們如果全部租用4人船，要12條，所以在列表時我將這兩個條件整理出來。問題是如果全部租用6人船，要多少條？所以我將每船人數6人和需要幾條船也整理在表格中（見表1）。

生：前面的題目只是列表整理出了條件，這一題在整理的時候是根據問題選擇性地整理出了有用的條件，而且還將問題整理在了表格中。

師：看來我們在列表整理時除了要看清問題和條件，將條件整理在表格中之外，還要根據題意去想一想除了條件還有哪些有用的內容需要整理在表格中，要學會根據題意選擇性地進行整理。

在學生經歷了列表整理出題目中的所有條件、選擇性地列表整理有用的條件解決實際問題之后，教師讓學生再次嘗試獨立列表整理去解決實際問題。學生在嘗試的過程中，發現剛才的模型不僅能整理條件，還能結合題目將問題也整理在表格之中。教師通過一句追問“同樣是列表整理，這道題和之前有何不同”，讓學生小組交流，并進行全班交流。在交流中，所有學生都聚焦此題和前面列表整理的不同之處，即在整理時根據問題選擇性地整理出了有用的條件，還將問題整理在了表格中。此處的應用完全是從上一環節的模型之中提升而來，即從只整理條件走向了選擇性地整理條件和問題，在這樣的多元應用之中學生形成的數學模型才更穩固。教師穩固“模型”時要注意，多元應用的內容一定要對“模型”具有優化與豐盈的作用，不能為了穩固而穩固，那樣反而會有畫蛇添足之嫌。在數學教學中，多元應用的機會并不是無處不在、無時不有的，只有在需要鏈接拓展的環節展開多元應用，才能產生事半功倍的效果。

四、持續理論建構策略，讓“模型”更深刻

思維定式，也被稱為“慣性思維”，是一種特殊形式的活動心理準備或活動傾向，是由以前的活動造成的。在不變的環境條件下，該準備能使人們運用所掌握的方法快速解決問題;當情況發生變化時，就會妨礙人們采用新的方法。在培養學生數學建模素養時，最怕學生受到思維定式的消極影響。消極的思維定式會束縛學生創造性思維的形成。因此，在數學建模優化的過程中，要持續進行理論建構。在教學中教師要善于打破學生初步建構的數學模型，從“破”中“立”，讓初建的數學模型以不變應萬變，使數學模型在學生的理解與應用中變得更為深刻。

如蘇教版數學六年級上冊“五、分數四則混合運算”例題2，學生初步建構了本節課的數學模型之后，教師設計了如下環節。

師：回憶以前學過的分數乘法實際問題，今天學習的分數乘法實際問題跟以前有什么不同和相同之處？

生：不同之處是以前學習的是一步計算的分數乘法實際問題，今天學習的是兩步計算的分數乘法實際問題;相同之處是我們發現在解決這類問題時都要用到“單位‘1’的量×分數=對應數量”這個數量關系。

師：接下來，同學們能不能獨立解決一些實際問題？

（出示題目：紅光印刷廠兩天用紙噸，其中噸是第一天用的，第二天用了多少噸）

（學生獨立解答;教師巡視尋找錯誤資源，指名匯報）

生1：–×=（噸）。

師：和他一樣的請舉手。

（生2小聲嘀咕：他們不對）

師：你來說說你是怎么想的。

生2：這里的是具體的數量，應該直接列式

–=（噸）。用總量減去第一天用去的等于第二天用去的。

師：如何修改題目就可以列式–×=

（噸）？

生：改為“紅光印刷廠兩天用紙噸，其中是第一天用的，第二天用了多少噸”。

由于受年齡、能力等方面的影響，學生分數意義模型（可以表示量，也可以表示率）的建構其實并不牢固，而這樣的不牢固直接影響此次模型的構建。為此，教師在對比教材中例題2和練一練第3題，讓學生初步建構了本節課的數學模型“單位‘1’的量×分數=對應數量”之后，從學生的錯誤資源出發，設計了上述優化練習，讓學生深刻地體會到此題的模型和原來所建構的模型的本質區別，明確解決這類問題應該用減法模型，即“總量–一部分量=另一部分量”。再通過“改一改”這一持續優化設計，使得原來的數學模型在學生的知識系統中更加明晰、穩固、定型。這樣的持續理論建構，從學生的模型薄弱處入手，打破了以往數學模型的消極影響，突破學生先前活動經驗的不足，在持續的理論建構中讓數學模型更為深刻。

模型優化的過程，其實也是學生對數學本質理解再優化的過程。優化時，教師從不同的事物出發，通過變式優化策略加深學生對數學模型的感性認識，促進模型的進一步完善;通過題組對比策略，在對比分析中幫助學生進一步清晰模型;在多元化的問題情境中，運用模型解決問題，從而深化對模型的理解，進一步穩固模型;在持續的理論建構中，打破影響模型建立的消極思維定式，讓模型更深刻，從而幫助學生養成數學建模的思維習慣。這四種優化策略依據不同的學習內容，教師可單個使用，也可組合使用，從而達到對數學模型優化、對數學理解優化的目標。數學教育，從“關于數的科學”“關于數量關系和空間形式的科學”一直到今天的“關于模式的科學”，經歷著不斷的發展與創新。今天的小學數學順應發展的需要，開啟數學建模的探索之旅，還有很多需要教師再研究、再探索的空間。

參考文獻

[1] 趙升龍.關于在數學教學中落實《數學課程標準（2011年版）》10個核心概念的思考與實踐（二）[J].黑龍江教育·小學，2013（11）：42.

[2] 吳國磊.淺析變式教學在數學課堂中的應用[J].中學教學參考，2013（34）：68-69.

[3] 奚瑄鐸.題組練習在小學數學教學中的實踐與思考[J].中國校外教育·下旬刊，2020（2）：94.

本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃立項課題“差異教學理念下小學數學解決問題的教學研究”（課題編號：C-c/2016/02/92）的階段性研究成果之一。

（作者單位：南京師范大學附屬邗江實驗小學）

責任編輯：趙繼瑩