具有間接信號生成和一般Logistic源的趨化模型解的整體有界性

吳順軍，許 璐

(伊犁師范大學數學與統計學院，新疆 伊犁 835000)

0 引言

本文討論一類具有間接信號生成和一般Logistic源的擬線性趨化模型：

(1)

D(u),S(u)∈C2[0,∞),D(u)≥M1(u+1)-m,S(u)≥M2u(u+1)l-1,

(2)

其中，M1,M2>0且m,l∈R.初始值(u0,v0,w0)滿足：

u0∈C0(Ω),v0∈w1,∞(Ω),w0∈C1(Ω)且u0,v0,w0≥0.

(3)

(4)

定理1 設Ω∈RN,N≥2，若α>1,μ>0， 并且初始值滿足(3)，則存在非負函數(u,v,w)，

注釋1 當τ=0,δ=1時，本文與文獻[7]定理1的結論一致.

1 預備知識

首先給出解的局部存在性引理.由于解的局部存在性可由Amann’s定理得到，為了簡便起見，省略證明過程.

引理1 令Ω?RN,N≥2是有光滑邊界?Ω的有界區域，D(u),S(u)滿足(2).參數μ,τ,δ>0，初始值滿足(3).那么存在Tmax∈[0,∞)，使得模型(1)有唯一經典解(u,v,w).進一步，如果Tmax<∞，則當t→Tmax時，有

引理2 存在t0=t0(λ,μ,u0,Ω)>0，對任意的t∈(t0,Tmax)，使模型(1)的經典解(u,v,w)滿足：

(5)

具體證明過程可參考文獻[8]引理2.2的證明.

接下來介紹后續證明所用到的基本引理，具體證明過程可參考文獻[9-11].

(6)

引理4 設0

(7)

2 解的整體有界性

定理2 設λ,μ>0,α>1且D(u),S(u)滿足(2)式，當p>max{1-m,1}時，任意t∈(0,Tmax)，存在C1=C1(p,m,l)>0，C2=C2(p,m,l,α,M1,M2,λ,μ,Ω)>0，使得

(8)

證明 將模型(1)的第一個方程乘以(u+1)p+m-1，并在Ω上積分，對任意t∈(0,Tmax)，可得到

(9)

(10)

整理公式(9)(10)可知，對任意t∈(0,Tmax)，可得到

(11)

通過進一步計算，可以得到

(12)

(13)

其中，C3=C3(p,m,l,α,λ,μ,Ω)>0 ，C3是常數.進一步整理(11)(12)(13)，對任意t∈(0,Tmax)，可得

(14)

其中，C4=C4(p,m,l,α,λ,μ,Ω)>0 .進一步，由Young不等式可得

(15)

其中，C5=(p,m,l,α)>0.整理式(14)(15)得到(8).

定理3 設δ,τ>0，對任意s∈(0,Tmax)，ε∈(0,δ)，存在C6=C6(p,m,l,δ,ε)>0，使得

(16)

證明 將模型(1)的第三個方程乘以wp+m+l并在Ω上積分，再通過Young不等式即可得到上式.

(17)

證明 由引理1可知，當t>0時，模型(1)的經典解(u,v,w)有

(18)

由引理3可知，模型(1)的第二個方程對任意的t>t0，存在C，使得

(19)

接下來為了方便計算，令

(20)

(21)

當C9<0時，進一步整理可得

(22)

再由Young不等式得到

(23)

(24)

其中，C12=C12(p,m,l,λ,μ,Ω)>0，C13=C13(p,m,l,λ,μ,τ,δ,ε,Ω)>0.

整理公式(8)(23)(24)可得

(25)

其中，C14=C14(p,m,l,λ,μ,M1,M2,τ,δ,ε,Ω)>0.

對(25)運用常數變易法,并將(19)(22)代入可得

(26)

對任意t>t1>t0，有

(27)

再由標準的Alikakos-Moser迭代就完成了定理1的證明.