一類非局部問題非平凡解的存在性

趙 福，宋玥薔

(長春師范大學數學學院，吉林 長春 130032)

0 引言

本文主要研究一類非局部問題：

(I)

其中，Bε(x)表示RN中以x為圓點、ε為半徑的開球，ε>0.

YIN和LIU[1]通過山路引理方法研究了非局部問題(1)的非平凡解的存在性和多解性：

(1)

隨后，在問題(1)基礎上，LEI等[2]利用變分方法研究非局部問題(2)的具有變號勢兩個非平凡的正解：

(2)

其中，Ω是R3中的光滑有界區域，N≥1，a,b>0，10，

f±=±max{±f,0}≠0.

QIAN等[3]考慮了下面非局部問題(3)的基態解存在性和集中性：

(3)

研究此類非局部問題的難點在于非局部項的存在使緊性條件的證明變得困難，分數階Laplace算子更是加深了變分的難度，我們需要選擇更靈活的變分技巧,證明泛函在水平值的控制下滿足緊性條件，通過山路定理證得主要結論.

1 預備知識

定義一個Sobelev空間X=Hs(Ω)，s∈(0,1)，其范數為

因此，存在γr>0，使得

(4)

如果有

成立，其中，

則u∈X稱為問題(I)的弱解.

定義泛函

當且僅當u在X上是泛函I(u)的臨界點時，稱u為問題(I)的弱解.

欲證明定理1，首先要證明(PS)c條件.

證明 由不等式(1)，有

證明 令序列{un}?X,滿足I(un)→c，I′(un)→0，

因為

I(un)→c，I′(un)→0，所以序列{un}在X上有界.

假定存在u∈X，使得

un→u, 在X中,

un→u, 在Lr(Ω)中,

un(x)→u(x), a.e.x∈Ω.

注意到

因為

由之前的條件可知〈I′(un),u-un〉→0.

所以有

(5)

定義泛函

有

由Holder不等式，有

因此，

則有φ′(un)→φ′(u).

而且

所以，φ′(un)→0,n→∞，即

從而，u=0.所以，

2 主要結論及證明

利用山路定理，給出定理1的證明.

定理1 問題(I)至少有一個非平凡的弱解.

證明 由引理1，存在序列{un}?X，滿足I(un)→c0>0，I′(un)→0,n→∞.由引理1和引理2得到的序列{un}具有一個收斂子列(仍然定義為{un})，并且收斂于u.所以，由I和I′可知，I(u)=c0>0，I′(u)=0.但是I(u)=0，因而u≠0，u是問題(I)的一個非平凡解.