初中數學中的最短路徑問題研究

劉靜

摘要：初中數學是學生抽象性思維、發散性思維和邏輯性的重要培養階段，而在初中數學知識中，“最短路徑問題”就是一個既能鍛煉學生數學思維，又能在現實中實踐的數學問題。初中數學中的最短路徑問題可分為兩點之間最短路徑問題、點與線之間最短路徑問題以及立體幾何圖形上兩點之間最短路徑問題。本文就以上初中數學中的最短路徑問題展開研究。

1回顧舊識，引入新知

回顧已經學過的理論知識，“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂直線段最短”等理論知識。引入最短路徑問題，結合現實例子對兩點之間最短路徑、點線之間最短路徑、立體幾何中兩點之間最短路徑進行詳細講解。

2最短路徑問題實例

2.1兩點之間最短路徑

例：如圖，已知有AB兩點，兩點間有三條線連接，求兩點間的最短距離。

分析：顯而易見，通過所學的知識“兩點之間，線段最短”的知識便能很快知曉兩點間的最短路徑。同時也可引出三角形的三邊關系“三角形的兩邊之和大于第三邊”。這種問題在現實生活中最常見的應用是：選取兩地之間的最短路線。

2.2點線之間最短路徑

點線之間的最短路徑問題中有一個點與一條線之間的最短路徑、兩點一線的最短路徑、兩點兩線最短路徑等問題。

（1）一個點與一條線之間最短路徑問題

例：如圖，小明開船想要從A點到河對面，問怎樣走，路程最短。

分析：如圖所示可知，小明想要從A點駕駛船只以最短距離到達對岸，只有按AB路線行駛，依據理論可知，點到直線上的所有線段中，垂直線段最短。

（2）兩點一線的最短路徑

這個問題便是最經典的將軍飲馬問題，例：相傳有位將軍騎馬從A地出發，要到河邊去飲馬，再然后去B城視察，問將軍到河邊的什么地方飲馬可以使得其所走的全程路線最短。如圖：

這個問題就非常考察學生對知識運用的靈活性，鍛煉孩子的發散性思維。分析：以河邊為對稱軸，做出B城的對應點B1，根據軸對稱的性質可知對稱軸上任意一點C到B點和B1點的距離相等，所以AC+BC最短距離=AC+B1C最短距離，已知兩點之間線段最短，連接AB1，相交于對稱軸，可得點C，由此可得當C點為AB1與對稱軸的交點時，將軍所走全部路程路線最短[2]。如圖所示：

2.3立體幾何中兩點之間最短路徑

在立體幾何求圓柱體上兩點之間最短路徑比較常見，是重難點所在。例：圓柱體底部直徑為6cm，高為10cm，有只瓢蟲在圓柱體表面如下圖表示方法爬行，求其最短的爬行距離。

如圖：

分析：可知圓柱體表面展開是一個長方形，由此將AB所在截面分成兩個部分，那這條曲線就被分成首尾相連的四段，將曲線展開后將得到四個相等的長方形，于是將四段曲線變為線段，那由圖可知，當所有線段為同一條線時，路徑最短，即AB1的長度[3]。如圖所示：

此題最為關鍵的地方在于，講立體幾何的數學問題轉化為平面幾何，將復雜問題簡單化;此外還囊括了勾股定理，化曲為直等思想方法，所以這就要求學生一是要有扎實的理論基礎，二是要將學習到的東西靈活運用于題目中。

參考文獻：

[1]尹加根.解析數學教學中的最短路徑問題[J].數學學習與研究，2018，17（09）：139.

[2]徐根寶.淺析初中數學最短路徑問題[J]. 試題與研究：教學論壇， 2018（3）：50-50.

[3]吳高敏.柱體表面上的爬行（纏繞）最短路徑問題探究[J]. 中學數學研究：華南師范大學， 2017（18）：46-48.