投資組合的VaR風險價值分析

甘小艇，吳雨珊，顧喬美，徐 敏

（楚雄師范學院 數學與計算機科學學院，云南 楚雄 675000）

隨著時代的更替，90后逐漸成為新時代的主力軍，而伴隨著這批主力軍到來的還有“基金熱”。基金的一大特點是分散風險，而做到這一點所依靠的方法便是投資組合［1］。投資人或金融機構將他們所持有的股票、債券、金融衍生產品等進行重組，按照不同的權重組成的集合就是一個投資組合。然而，投資組合是否能夠為我們帶來利益，以及它所具有的風險，仍需要進一步判斷，VaR模型便是計算投資組合風險價值的常用方法［2］。

1 數據處理

一般來說，投資組合不得少于二十個品種，為了將過程簡化，隨機選取二十只股票。以2018年10月8日到2019年3月1日期間，代碼為“H11021”的股票基金指數成分股價格序列，作為分析的目標［3］。此外，采用三種方法，參數法、歷史模擬法、蒙特卡洛模擬法計算投資組合的VaR值。投資組合中股票數量為自由流通股本。數據儲存在Excel文件中，方便MATLAB導入。此處選取的有“平安銀行（000001）”“泛海控股（000046）”“鹽 田 港（000088）”“中 航 飛 機（000768）”“粵高速A（000429）”等共計二十只股票。

1.1 數據標準化將初始價格標準化為1元，并將選定股票價格序列作圖，為了使圖片更清晰，此處只選取了“平安銀行”，“特力A”，“鹽田港”和“中航飛機”的標準化后數據作圖，結果如圖1所示。

圖1 標準化后的股票價格序列圖Fig.1 Standardized stock price sequence diagram

1.2 相關性分析對股票價格進行相關性分析，相類似的做法可參見文獻［4］。以“平安銀行”“特力A”“鹽田港”和“中航飛機”這四只股票為例，經計算得到的均值、標準差和最大回撤結果如表1所示，其他股票的計算相類似。

表1 部分股票的均值、標準差與最大回撤Table 1 Mean，standard deviation and maximum retractions of some stocks

上述4只股票的相關矩陣為：

將投資組合的二十只股票的相關性矩陣使用MATLAB中的熱圖（Heatmap）展示出來，如圖2所示。相對于通常列表行情模式而言，熱圖的展示方法更加直觀，信息量更大，也能更加形象地展示出投資組合的表現與市場的整體概況。

圖2中Heatmap以顏色的深淺變化與梯度反映數據之間的相似與差異，顏色越相近則相似性就越高，反之亦然。由圖2可看出，鹽田港與粵高速A、泛海控股與渤海股份有一定的相似性。

圖2 投資組合的相關性Heatmap圖Fig.2 Portfolio correlation Heatmapdiagram

1.3 凈值與收益率通常為得到投資組合的VaR值，還需要計算投資組合的凈值序列、收益率序列等指標。通過MATLAB編程實現，結果如圖3所示。

圖3 投資組合凈值與收益率分布Fig.3 Distribution of net value and return of investment portfolio

2 數值實驗

在一定的置信水平α下，某一金融資產證券組合在未來的一段時間△t（持有期）里，可能的最大損失值，這就是VaR的含義。它的數學定義可以這樣說

式（1）表明在給定置信水平1-α和一定的持有期△t內，如果投資人或機構在時間間隔△t內，預計的損失額會超過M的概率小于α，則稱這個投資人或機構在該持有期△t之內的VaR值為M［5］。另外，式（1）中，△r為在一定持有期△t下，某一種資產組合的市場價值的變化。1-α為給定的置信水平。注意，持有期和置信水平在不同的銀行可能有不同的數值。

2.1 參數法參數法也被稱為方差-協方差法。參數法是計算VaR最常用的方法［6］。參數法首先要假設投資組合的資產收益率服從正態分布，然后再借助于正態分布轉換，把VaR表示成標準差的倍數，通過簡單的計算即可獲得最終結果。

參數法在計算時可以采用的三種方法是直接法、指數平均移動法與移動平均法。這里介紹直接法。

直接計算所有n個樣本的樣本均值與標準差，日變化率的樣本均值和日變化率的樣本標準差如下：

用單尾法計算1-α置信度的單位資產收益率的日VaR值為式（4）。另外，標準正態分布下置信水平α與標準差數zα之間的關系如表2所示［7］。

表2 標準正態分布下置信水平與標準差數之間的關系Table 2 The relationship between the normal distribution and the standard deviation

接下來，隨機選取2018年10月8日到2019年3月1日的二十只股票進行模擬計算，此期間的股票基金指數成分股作為投資組合，經參數法計算得到的結果如圖4所示。此外，在置信區間為95%～99%下，經參數法計算得到的VaR值如表3所示。

圖4 參數法VaR結果Fig.4 The VaR result of parameter method

由表3可知，該投資組合在置信度為95%時，最大的損失值不會超過21，023，243，950.50元，在置信度為99%時，最大的損失值不會超過30，654，761，123.28元。

表3 參數法得到的VaR值Table 3 The value of VaR obtained by parametric method

2.2 歷史模擬法歷史模擬法的基本思想，用給定歷史時期內所觀測的市場因子的變化，來表示市場因子的未來變化［8］。在估計市場因子模型時，一般采用全值估計法，即根據市場因子的未來價格水平對頭寸進行重新估值，然后計算出頭寸的價值變化（損益），最后，將得到的組合的損益從最小到最大排序，即得到了損益分布，再通過給定置信度下的分位數求出VaR值。

隨機選取2018年10月8日到2019年3月1日的二十只股票進行模擬計算，此期間的股票基金指數成分股作為的投資組合，經過歷史模擬法得到結果如圖5所示。

圖5 歷史模擬法結果Fig.5 Historical simulation results

然而只有在龐大的數據支撐下，歷史模擬法才能夠得到比較精確的數據，而此處的數據均取自銳思金融數據庫，由于網站的限制，只能下載100條數據，與要進行歷史模擬所需的歷史數據相比是渺小的，因此此處的結果并不精確。此外，利用歷史模擬法，在置信區間為95%～99%下所對應的VaR值如表4所示。

表4 歷史模擬法得到的VaR值Table 4 Value-at-risk derived from historical simulation

由表4可知，該投資組合在置信度為95%時，最大的損失值不會超過19 053 141 389.40元，在置信度為99%時，最大的損失值不會超過33 090 572 308.89元。

2.3 基于隨機收益率序列的蒙特卡洛模擬VaR計算蒙特卡洛模擬是一個概率模型，該方法是計算VaR最復雜的方法，通常只有在其他方法不能使用的情況下才會使用，主要因為難以假設其概率分布以及原有問題的復雜程度［9］。

假定好概率分布后，接著根據假定的分布可隨機生成模型的輸入數據，然后再收集數據結果并得出結論。得出模擬輸出的數據之后，可以按照與歷史模擬法相同的步驟進行操作。

同樣對隨機選取的2018年10月8日到2019年3月1日的二十只股票進行模擬計算，此期間的股票基金指數成分股作為投資組合，經過基于隨機收益率序列的蒙特卡羅模擬計算得到結果如圖6所示。

圖6 基于隨機收益率序列的蒙特卡洛模擬結果Fig.6 Monte Carlo simulation results based on random rate of return series

得到在置信區間為95%到99%所對應的VaR值如下表5所示。

由表5可知，該投資組合在置信度為95%時，最大的損失值不會超過21 261 896 469.28元，在置信度為99%時，最大的損失值不會超過29 178 474 596.42元。

表5 基于隨機收益率序列的蒙特卡羅模擬VaR結果Table 5 The result of Monte Carlo method VaR based on random rate of return series

2.4 基于幾何布朗運動的蒙特卡羅模擬計算VaR值基于幾何布朗運動的蒙特卡羅模擬法VaR計算的步驟如下：

首先，假設投資組合中資產價格的變動服從某一種隨機過程，并且這個變動在時間上是不相關的，其離散形式可表示為：

其中，F i表示i時刻的資產價格，也就是收盤價，μ表示資產收益率的均值，σ表示資產收益率標準差，ξ表示隨機變量，假定ξ～(0,1)，t為當前時刻，T為目標時刻。

其次，隨機模擬價格變動路徑，生成正態隨機數ξ1(i=1,2,…,n)。當前的價格為F i，根據上述隨機模型，按i=1,2,…,n，依次產生相應的模擬價格F i+1(i=1,2,…,n)，模擬出資產價格F未來走勢及目標時刻T的資產價格F T，那么

重復第二步n次，得到一定時期內的價格分布情況。最后由模擬得到的分布情況計算出VaR值［10］。

對隨機選取的2018年10月8日到2019年3月1日的二十只股票進行模擬計算，此期間的股票基金指數成分股作為的投資組合，經過基于幾何布朗運動的蒙特卡羅模擬計算得到結果如圖7所示。

圖7 基于幾何布朗運動的蒙特卡羅模擬結果Fig.7 Monte Carlo simulation results based on geometric Brownian motion

置信區間為95%到99%所對應的VaR值如表6所示。由表6可知，該投資組合在置信度為95%時，最大的損失值不會超過21 253 700 144.18元，在置信度為99%時，最大的損失值不會超過31 247 184 035.71元。

表6 基于幾何布朗運動的蒙特卡羅模擬VaR結果Table 6 VaR results for the Monte Carlo simulation based on geometric Brownian motion

3 結論

本文運用求解VaR值的三種主要方法，即參數法、歷史模擬法和蒙特卡洛模擬法（基于隨機收益率序列和基于幾何布朗運動）對投資組合的風險價值進行計算，并對相關理論進行了梳理。通過采用以上三種方法對所選取的投資組合的VaR值進行計算，得到了四個不同卻相近的結果。若以四個結果的平均值作為該投資組合，則最終結果如表7所示。

由表7可知，該投資組合在置信度為95%時，最大的損失值不會超過20 647 995 488.34元，在置信度為99%時，最大的損失值不會超過31 042 748 016.08元。所以該投資組合的風險價值較高，相關性較大，分散風險的效果并不好，不能給投資者或投資機構帶來期望的收益。此外，本文假設了投資者服從正態分布，顯然是過于理想化，因此在實際應用中VaR模型的選擇上仍需考慮到這一點。

表7 該投資組合的平均VaR值Table 7 The average VaR value of the portfolio

總之，通過對相關性較低的資產進行組合，分散風險才能得到較高收益的投資組合，VaR值的計算結果也會較好。本文通過簡單的投資組合的VaR值計算，增強了對投資組合在現實中的作用的理解，還增強了投資人與投資機構對投資組合的重視程度，也讓當代年輕人對基金等的本質有一定了解。