用線性諧振子模型初步計(jì)算恒星純氫大氣中的熱力學(xué)函數(shù)

陳彥輝

（1.楚雄師范學(xué)院 天體物理研究所，云南 楚雄 675000；2.楚雄師范學(xué)院 物理與電子科學(xué)學(xué)院，云南 楚雄 675000；3.中國科學(xué)院 天體結(jié)構(gòu)與演化重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，云南 昆明 650011）

量子力學(xué)是研究微觀物理規(guī)律的科學(xué)。在微觀領(lǐng)域有和宏觀領(lǐng)域明顯不同的物理規(guī)律，比如微觀粒子的波粒二象性、測不準(zhǔn)關(guān)系（坐標(biāo)動(dòng)量測不準(zhǔn)關(guān)系、能量時(shí)間測不準(zhǔn)關(guān)系、軌道角動(dòng)量x軸分量和y軸分量測不準(zhǔn)關(guān)系、自旋角動(dòng)量x軸分量和y軸分量測不準(zhǔn)關(guān)系等）、量子隧道效應(yīng)、自旋等［1，2］。恒星中的核聚變反應(yīng)就需要參加反應(yīng)的微觀粒子穿越庫倫勢(shì)壘，即發(fā)生量子隧道效應(yīng)［3，4］。另外，屏蔽庫倫勢(shì)的物理規(guī)律也依賴量子隧道效應(yīng)。熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理可統(tǒng)計(jì)微觀物理過程計(jì)算系統(tǒng)的宏觀物態(tài)方程和熱力學(xué)函數(shù)，是聯(lián)系微觀和宏觀的橋梁［5，6］。熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理計(jì)算了理想氣體物態(tài)方程和電子簡并結(jié)構(gòu)的物態(tài)方程。致密天體白矮星的物態(tài)結(jié)構(gòu)可以近似認(rèn)為是電子簡并中心核加理想氣體大氣組成，白矮星是檢驗(yàn)極端物理規(guī)律的天然實(shí)驗(yàn)室。

作者在第一篇文章中詳細(xì)計(jì)算了線性諧振子加空間轉(zhuǎn)子模型的能量本征值、本征函數(shù)，分析了該系統(tǒng)的基態(tài)能量和能量本征值的簡并度，并根據(jù)微擾理論計(jì)算了該體系在微弱外電場中l(wèi)=0的非簡并情況的能量一級(jí)修正、二級(jí)修正和波函數(shù)的一級(jí)修正［7］。作者在第二篇文章中詳細(xì)計(jì)算了常溫和高溫時(shí)用該線性諧振子與空間轉(zhuǎn)子模型模擬雙原子分子振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)耦合情況下的粒子配分函數(shù)［8］。有了配分函數(shù)以后可以很方便計(jì)算系統(tǒng)的物態(tài)方程、熱力學(xué)函數(shù)如內(nèi)能、熵、焓、自由能、吉布斯函數(shù)等。

該工作嘗試在前兩工作的基礎(chǔ)上用線性諧振子模型初步計(jì)算恒星純氫大氣的熱力學(xué)函數(shù)。第2個(gè)板塊中將討論理想氣體物態(tài)方程和態(tài)函數(shù)的計(jì)算，第3個(gè)板塊中將討論雙原子分子的熱容量計(jì)算過程和能量均分定理的應(yīng)用，第4個(gè)板塊中將計(jì)算恒星純氫大氣的物態(tài)方程和態(tài)函數(shù)，最后對(duì)該研究工作作出小節(jié)和展望。

1 理想氣體物態(tài)方程和態(tài)函數(shù)的計(jì)算

理想氣體模型是將分子抽象成質(zhì)點(diǎn)（忽略體積、計(jì)算質(zhì)量），忽略分子間相互作用、不計(jì)分子間勢(shì)能的氣體模型。另外，理想氣體與容器壁的碰撞是彈性的，不損失能量。在普通物理熱學(xué)課程中，根據(jù)氣體實(shí)驗(yàn)定律和阿伏伽德羅定律獲得理想氣體物態(tài)方程如下：

其中，p為體系的壓強(qiáng)，V為體系的體積，T為體系的溫度，n為體系氣體的物質(zhì)的量，R為摩爾氣體常數(shù)。在理論物理熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理課程中計(jì)算孤立系的微觀狀態(tài)數(shù)、壓強(qiáng)公式等可導(dǎo)出理想氣體的物態(tài)方程如下：

其中，N為體系的粒子總數(shù)，k為玻爾茲曼常數(shù)。摩爾氣體常數(shù)和玻爾茲曼常數(shù)通過阿伏伽德羅常數(shù)聯(lián)系起來，公式（1）和公式（2）是一致的。

理想氣體和分子內(nèi)部運(yùn)動(dòng)沒有關(guān)系，無論單原子分子理想氣體還是雙原子分子理想氣體物態(tài)方程都是公式（1）和公式（2）。不管用線性諧振子模型模擬雙原子分子的振動(dòng)還是用空間轉(zhuǎn)子模型模擬雙原子分子的轉(zhuǎn)動(dòng)，只要熱平衡以后氣體相對(duì)稀薄采用理想氣體模型近似時(shí)物態(tài)方程都是上述公式（1）和（2）。即粒子數(shù)為N體積為V的氣體體系，達(dá)到熱平衡后溫度為T，采用理想氣體模型近似，則體系的壓強(qiáng)可由理想氣體物態(tài)方程計(jì)算。

物態(tài)方程雖采用通用公式，但是內(nèi)能等熱力學(xué)函數(shù)可采用更接近實(shí)際的雙原子分子的模型的統(tǒng)計(jì)計(jì)算值。假設(shè)雙原子分子的振動(dòng)頻率為v，線性諧振子的本征能量為：

其中，h為普朗克常數(shù)。熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理課程中計(jì)算雙原子分子的振動(dòng)熱容量時(shí)粒子的配分函數(shù)為［5］：

系統(tǒng)的態(tài)函數(shù)內(nèi)能（振動(dòng)能量）為［5］：

系統(tǒng)的態(tài)函數(shù)熵為：

其中，m為單個(gè)粒子的質(zhì)量。系統(tǒng)的態(tài)函數(shù)焓、自由能、吉布斯函數(shù)可分別由下面的式子計(jì)算：

2 雙原子分子氣體熱容量計(jì)算和能量均分定理的應(yīng)用

雙原子分子熱容量的計(jì)算可參考熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理教材［5］先計(jì)算粒子平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)、振動(dòng)配分函數(shù)，再分別計(jì)算平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)、振動(dòng)能量，再計(jì)算雙原子分子的熱容量。該方法和能量均分定理計(jì)算獲得的雙原子分子的能量和熱容量是一致的。平動(dòng)有三個(gè)自由度、轉(zhuǎn)動(dòng)有兩個(gè)自由度、振動(dòng)有一個(gè)自由度（但是包含振動(dòng)動(dòng)能和勢(shì)能），所以粒子的總能量為對(duì)應(yīng)的等體熱容量值約為1.286，和多數(shù)雙原子分子的實(shí)驗(yàn)值γ=1.4［9］不符。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)常溫下熱能kT遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于線性諧振子的激發(fā)能?ω，振動(dòng)被凍結(jié)在基態(tài)，對(duì)熱容量無貢獻(xiàn)。因此，不考慮振動(dòng)自由度，粒子的總能量為E=等壓熱容量理論值為1.4，與實(shí)驗(yàn)值相符。

由分子光譜確定的氫分子振動(dòng)特征溫度大約為6000K［5］。該溫度相對(duì)常溫和實(shí)驗(yàn)室溫度比較高，但是在恒星大氣中很容易實(shí)現(xiàn)。比如，太陽表面有效溫度約為5777K［10］，DA型脈動(dòng)白矮星（純氫大氣）的有效溫度約為12000K［11］。即計(jì)算高溫恒星大氣中的熱力學(xué)函數(shù)如能量時(shí)，不采用經(jīng)典的能量均分定理來計(jì)算雙原子分子的振動(dòng)能，而用微觀量子模型的統(tǒng)計(jì)計(jì)算。微觀量子模型會(huì)給出更精確的態(tài)函數(shù)能量值。

3 恒星純氫大氣中的物態(tài)方程和態(tài)函數(shù)計(jì)算

恒星中的純氫大氣可用理想氣體模型近似。氫氣分子是雙原子分子，可用線性諧振子模型近似。前面已經(jīng)提到理想氣體和原子內(nèi)部作用無關(guān)，純氫大氣理想氣體的物態(tài)方程就是公式（1）和公式（2）。但是態(tài)函數(shù)能量中的振動(dòng)項(xiàng)可以采用更精確的量子描述。平動(dòng)項(xiàng)貢獻(xiàn)3個(gè)自由度，平動(dòng)動(dòng)能為。轉(zhuǎn)動(dòng)項(xiàng)由于轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于恒星氫大氣溫度，能級(jí)準(zhǔn)連續(xù)，量子力學(xué)計(jì)算結(jié)果和經(jīng)典能量均分定理給出的結(jié)果一致，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為E r=NkT［5］。雙原子分子的振動(dòng)能量由公式（5）給出。

因此恒星純氫大氣的熱力學(xué)函數(shù)內(nèi)能（平動(dòng)加轉(zhuǎn)動(dòng)加振動(dòng)的總能量）為：

另外，該總內(nèi)能也可由平動(dòng)動(dòng)能加轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)的耦合總能量計(jì)算。在第二篇文章［8］中介紹振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)的耦合配分函數(shù)為z=帶入到能量計(jì)算公式中同樣可算得轉(zhuǎn)動(dòng)與振動(dòng)耦合總能量為公式（8）中的后兩項(xiàng)。再加上平動(dòng)動(dòng)能得出和公式（8）一致的結(jié)果。該公式（8）計(jì)算的內(nèi)能和單純依賴經(jīng)典能量均分定理得出的內(nèi)能明顯不同。

體系的內(nèi)能有了改變，帶入到公式（6）和公式（7），對(duì)應(yīng)的熱力學(xué)函數(shù)熵、焓、自由能、吉布斯函數(shù)都會(huì)有所改變。熱力學(xué)函數(shù)熵、焓、自由能、吉布斯函數(shù)的計(jì)算公式中均直接或者間接包含體系的內(nèi)能，采用公式（8）計(jì)算的恒星純氫大氣中的內(nèi)能是更精確的內(nèi)能，該內(nèi)能將帶來恒星純氫大氣中熱力學(xué)函數(shù)熵、焓、自由能、吉布斯函數(shù)等熱力學(xué)函數(shù)的更精確的數(shù)值。而更精確的態(tài)函數(shù)數(shù)值有助于在數(shù)值模擬工作中構(gòu)建更符合物理?xiàng)l件的恒星模型，進(jìn)而更準(zhǔn)確地研究恒星。

4 小結(jié)與展望

該工作采用理想氣體模型和線性諧振子模型初步討論了恒星純氫大氣的物態(tài)方程、熱力學(xué)函數(shù)內(nèi)能、熵、焓、自由能和吉布斯函數(shù)。利用量子力學(xué)知識(shí)計(jì)算微觀模型，再由統(tǒng)計(jì)物理知識(shí)計(jì)算宏觀統(tǒng)計(jì)的熱力學(xué)函數(shù)，最后再應(yīng)用到具體實(shí)例中，這是理論物理研究工作的典型思路。本文只是初步的將線性諧振子模型應(yīng)用到恒星純氫大氣中。具體的恒星大氣還要計(jì)算粒子的部分電離或全電離、能量的輻射轉(zhuǎn)移、輻射與物質(zhì)的相互作用等諸多復(fù)雜物理過程。后續(xù)的研究工作將以此為基礎(chǔ)開展更深入的恒星大氣熱力學(xué)函數(shù)研究。