道路土石方調配數學模型與方案精細度研究

劉廣鑫，曾凡云，唐俊成

（中國電建集團中南勘測設計研究院有限公司，湖南 長沙 410014）

0 前 言

土石方調配是土木工程中的重要環節，尤其在水電工程、道路工程中土石方調配方案的優劣對工程的經濟性產生了重要的作用。土石方調配問題主要針對工程項目在施工過程中產生的土石開挖、填筑量進行最優分配。過程中涉及土石料的利用率、各區域之間的運距、取棄土場的位置等一系列問題。

土石方最優調配的現有研究成果多針對于水電工程項目，道路工程方向研究較少，且多延續水電工程項目的做法，適用性不強。道路工程中的土石方調配由于其工程的線性特點，路線較長，土石方調配方案更為重要。同時，由于道路工程全線的土石分布情況較為復雜，對土石料的分類要求和利用要求更為嚴格，土石方的調配問題有其獨特性。

國內外對土石方最優調配的研究側重于水電工程的土石壩土方平衡問題，研究方法以線性規劃建立數學模型為主。天津大學的胡程順、鐘登華等對土石壩的最優調配問題進行總結［1］，并提出了通用性較強的土石壩最優調配數學模型。申明亮等針對堆石壩施工中的料物分配做了深入研究［2］，并編寫了調配軟件［3］。鄭霞忠等以實際項目為依托，研究建立了針對性較強的線性規劃數學模型［4］，并在項目中進行了應用。曹生榮等從水電項目中的道路工程土石方調配問題切入，提出了數學模型和工程應用［5］。以上學者在研究過程中，針對土石壩的土方平衡均提出了數學模型，數學模型在總體一致的基礎上，各有側重。道路工程由于其特殊性，其土石方最優調配的線性規劃數學模型也有其特殊性。

綜合以上研究成果，道路工程中的土石方最優調配問題沒有針對性強、適用性強的研究成果可以應用［6～10］，以上成果多源自水電工程項目，道路工程的特性不明顯，其數學模型未能綜合考慮道路工程中的土石分類、利用率等多種因素。研究成果多為書面形式，數學模型的求解部分未能提出重復利用的工具性成果，沒有適用性較強的軟件程序可以使用。

1 道路土石方調配數學模型

1.1 工程特點分析

為構建具有道路工程特點的土石方最優調配數學模型，首先針對道路工程土石方調配問題的特點進行分析。將道路工程土石方調配的特點轉化為數學問題，考慮到數學模型中。

道路工程由于其線性的特點，在土石方調配的過程中，一般考慮的土石種類較多，會根據各種土石類別分別計算松方系數和土石利用率，除工程項目自身的填挖方量外，沿線布置的取土場、棄土場同樣要考慮各類土石的松方系數和土石利用率。需首先將此類問題轉化為數學問題。

本研究在建立土石方最優調配的數學模型時，部分摒棄了以往研究成果中的數學假定。例如，由于道路工程中在進行土石方調配之前取、棄土場的容量已經確定，所以摒棄掉以往研究成果中料場容量無限大的數學假定；道路工程中的土石料進行了詳細的土石種類劃分，確定了各類土石的土石松方系數和土石利用率，所以摒棄掉以往研究成果中關于料場可滿足任意級配要求的數學假定；道路工程中要求整個項目滿足填挖平衡，即所有的填缺區域需要填滿，所有的挖余區域都要被使用或者棄置，所以摒棄掉以往研究結果中關于不考慮開挖料及中轉料場的棄渣的部分。

綜合道路工程土石方調配中的特點，結合道路工程中的土石方調配問題中各類土石的松方系數［11］、土石成分［12］、利用率等幾個較為特殊的邊界條件，建立了可應對各種情況的道路土石方調配數學模型。

1.2 建立數學模型

模擬一個完整的道路土石方調配過程：考慮路基設計方案中有m個挖方區域，其體積為W1～Wm；n個填方區域，其體積為T1～Tn；r個取土場，其可用體積為Q1～Qr；s個棄土場，其容量為D1～Ds（如圖1所示）。在調配過程中考慮土石成分、松方系數等條件的挖方折減系數awij、填方折減系數atij。在上述邊界條件下，已知土石調配的運距為cij，求解最優調配方案xij，以達到整個項目調配的總運距最小等優化目標。

圖1 土石方調配邊界條件示意

這一問題可看成典型的產銷平衡問題，適合利用線性規劃的方法進行數學建模與求解，將此問題抽象為線性規劃矩陣模型，如圖2所示。

圖2 土石方調配問題對應的線性規劃矩陣示意

1.2.1 目標函數

本數學模型按照道路工程傳統上運距最優的目標為例，目標函數如式（1）所示：

式中：Cij表示由第i個土石來源區域調配到第j個土石目標區域的運距；xij為第i個土石來源區域調配到第j個目標區域的土石總方量。

1.2.2 約束條件

根據道路工程土石方調配的要求可抽象出4個約束條件：為挖方約束、為填方約束、為取土場約束、為棄土場約束，如式（2）所示：

式中：aw、at表示土石體積修正系數；xij表示調配土石料的體積；Wi表示挖方區域土石料總體積；Tj表示填方區域所需的土石料總體積；Qi表示取土場的土石料總體積；Di表示棄土場的土石料容量的總體積。

1.2.3 軟件設計

本研究同時編寫了土石方自動調配軟件，可以識別現有道路設計軟件的土石方基礎數據文件格式，軟件核心算法采用的1.2中建立的數學模型，包含了數據前處理、求解、數據后處理3部分。

（1）數據前處理。根據道路工程項目信息，讀取數學模型求解所需要的基礎數據進行前處理，包括項目全線填挖區域的方量、各類土石的土石成分以及項目上已經確定的土石松方系數。

（2）求解。軟件采用開源數學庫glpk進行數學求解，通過求解器快速求解出方程組在可行域內的最優解，具體如下：

（3）數據后處理。根據數據前處理的運算過程解析出調配方案，將調配方案結存儲到數據庫，方便后期查看、出表等。

2 方案精細度優化

2.1 方案精細度分析

國內外現有的相關研究，幾乎沒有對土石方調配數學模型的最優解進行分析。本研究從實際項目出發，最終結果需要應用到實際工程中去，所以對數學模型求出的最優解進行了分析。

本節以某道路工程項目為例，采用本研究建立的數學模型進行最優解計算，進行分析。工程為某省道項目的一段，全長約4.8km，道路橫斷面采用公路二級標準設計。在數據前處理中，根據線性規劃方程求得的最優解——二維數組xij繪制3D堆積條狀圖，如圖3所示。i軸表示數學模型的下標i；j軸表示數學模型的下標j，xij表示土石方量，m3。由于全線范圍內的解為474×478的數組，共有474個挖方區域Wi和478個填方區域Ti，數據量巨大。本節主要研究最優調配方案的實際項目可行性，注重最優調配方案的細節，所以圖3僅截取其中的0～1.5km的結果進行局部分析。

根據圖3所示，可以發現數學模型計算出的純數學解具有明顯的數學特點，即：碎片化。這種碎片化特點在圖4的局部細節放大圖中更易觀察。

圖3 自動調配方案3D堆積條狀圖（局部）

圖4 局部細節放大示意

如圖4所示，以0≤i≤15為例，每一處i區域的土石料被細碎的分散成0.1～1m3調配至多個j區域。這在數學角度是可以理解的，最優解的情況可以是離散的、碎片的。但從工程角度，這種最優解是不可取的，將某一挖方區域的土石方分成細散的幾十個甚至上百個部分，分別調配到不同區域，這在人力物力調度角度是不現實的。

2.2 數學模型優化

為了利用本數學模型的最優解，同時解決最優解的離散性問題。本研究針對道路工程土石方調配的實際情況提出了方案精細度P的概念。

方案精細度P指實際項目中根據土石方調配使用的交通工具、人力等實際因素確定的調配方案xij精細程度。基于方案精細度P對本文建立的數學模型進行優化，采用整數規劃。將計算所需的土方數據基于P整數化。

以2.1中的工程項目為例，首先根據項目實際情況確定方案精細度P（一般取項目使用運土車的容量，如10m3），對調配過程基于P進行優化處理，該處理僅對基礎土石數據進行合并，未影響土石數據的精確性。采用glpk整數規劃求解器進行求解后，得到與圖3相同區域的優化后自動調配方案3D堆積條狀圖（局部），如圖5所示。

由圖5可見，優化后的調配方案不再有碎片化的缺點，調配方案的xij均為方案精細度P（本例為10m3）的整數倍，且調配方案更加整體化，可以直接應用于實際項目的土石方調配工作中，大大增加了最優調配方案的適用性。

圖5 優化后自動調配方案3D堆積條狀圖（局部）

綜合以上幾點，證明方案精細度優化后的數學模型既可以快速地生成優于手動調配的最優調配方案，又可直接將調配方案應用于實際項目。

3 工程實例應用

為驗證本數學模型的適用性，針對多個道路工程項目進行了傳統的土石方手動調配，形成調配方案。同時采用優化后的數學模型，利用本研究編寫的土石方自動調配軟件進行自動調配，形成了自動調配方案。將手動調配方案和自動調配方案進行對比，對比結果見表1。

表1中6個道路工程項目道路包含了多種道路等級標準，項目均在可行性研究階段確定了取棄土場的位置和容量。通過6個道路工程項目的手動調配與自動調配的方案對比結果得出結論：

表1 實際項目土石方調配方案對比

（1）本研究建立并優化的數學模型完美地適用于表中6個項目的土石方調配問題。

（2）相比于手動調配，自動調配無論在操作上還是用時上都大大地提高了效率，提高的效率在數量上與路線的長度呈正相關。

（3）本數學模型求得的最優解相比于傳統手動調配方案更經濟，降低了土石方調配的費用。

4 結 論

（1）結合道路工程特點，建立土石方最優調配數學模型。模型考慮了多個線性工程中特有的問題：土石分類、松方系數、土石利用率等。在道路工程領域適用性較高，可以處理現有工程中的各種實際問題。

（2）土石方自動調配軟件是基于本研究建立的數學模型進行編寫設計的，已經在多個道路工程實際項目中進行應用。通過與手動調配方案對比，大幅度減少了土石方調配的耗時，降低了土石方調配的成本。

（3）針對數學模型進行了方案精細度優化。未優化的原始方案是碎片化的，離散性較高，直接應用于道路工程項目的土石方調配中是不現實的。結合實際項目對方案精細性進行分析，提出了方案精細度P的概念，對原有數學模型進行了精細度優化。通過設置方案精細度P，提高了自動調配方案在實際項目中的適用性，使調配方案可直接應用于實際道路工程項目。