基于框架分析法的波形鋼腹板箱梁橫向內(nèi)力研究

王永江，曲天巖

（蘭州交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，甘肅蘭州 730000）

0 引言

波形鋼腹板組合箱梁是一種較為新型的組合箱梁結(jié)構(gòu),在構(gòu)造上是將傳統(tǒng)混凝土箱梁中的混凝土腹板替換成波形鋼板。 與傳統(tǒng)的混凝土箱梁相比，波形鋼腹板具有縮短工期、降低成本等優(yōu)點(diǎn)，引起世界各國學(xué)者的廣泛關(guān)注。目前國內(nèi)外學(xué)者對(duì)波形鋼腹板組合箱梁的抗彎、抗剪、抗扭、動(dòng)力等力學(xué)性能的研究比較成熟,但對(duì)波形鋼腹板組合箱梁橫向受力方向的研究相對(duì)欠缺[1-5]。 袁亞卓等[6]基于彈性薄板理論，結(jié)合波形鋼腹板組合箱梁結(jié)構(gòu)受力特性，將組合箱梁的框架展成四跨連續(xù)薄板與一邊簡支、三邊固定的薄板后，推導(dǎo)了波形鋼腹板箱梁橫向內(nèi)力計(jì)算公式。戴慧娟等[7]推導(dǎo)了波形鋼腹板組合箱梁橋的橫向內(nèi)力計(jì)算公式。趙品等[8-9]基于框架分析法研究了波形鋼腹板橋面板橫向內(nèi)力，認(rèn)為線剛度比是影響箱梁橫向內(nèi)力的重要因素。 郭金瓊等[10-11]對(duì)帶伸臂的普通混凝土組合箱梁橋橫向內(nèi)力進(jìn)行了研究。 本文利用框架分析法，通過推導(dǎo)虛設(shè)側(cè)向水平支撐與無側(cè)向水平支撐時(shí)波形鋼腹板的橫向內(nèi)力計(jì)算公式，研究側(cè)向水平支撐對(duì)最終橫向彎矩的影響。

本文在分析波形鋼腹板組合箱梁橫向內(nèi)力前，為方便計(jì)算與分析，對(duì)受力模型作出以下假設(shè)：（1）組合箱梁截面周邊不可壓縮；（2）組合箱梁橫截面自身平面內(nèi)服從“擬平截面假定”；（3）翹曲正應(yīng)力與剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布，即忽略板厚對(duì)翹曲的影響。

1 施加虛設(shè)支撐的框架分析

波形鋼腹板一個(gè)波長范圍內(nèi)的形狀如圖1 所示，其中θ 為波形鋼腹板波折角，hc為波高，Lb為傾斜段的水平投影長度，q 為波長，Lc為平直段長度。 波形鋼腹板橫向抗彎慣性矩為Ic。 組合箱梁橫截面如圖2 所示。

圖1 波形鋼腹板形狀

圖2 組合箱梁橫截面簡圖

利用框架分析法原理，沿組合箱梁橋縱橋向施加虛設(shè)支撐和豎向偏心荷載，截取單元長度閉合框架計(jì)算支反力，用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法計(jì)算橫向彎矩。 再釋放施加的剛性支撐，將支反力反向施加在組合箱梁角點(diǎn)處，計(jì)算由畸變產(chǎn)生的橫向彎矩，由此產(chǎn)生的橫向彎矩與施加剛性支撐產(chǎn)生的橫向彎矩疊加即為箱梁最終橫向彎矩。

利用框架分析法分析單箱室組合箱梁橫向內(nèi)力時(shí)，圖3 只在底板施加剛性支撐，圖4 除在底板施加剛性支撐外，還在角點(diǎn)B 處施加側(cè)向水平支撐，此時(shí)組合箱梁在荷載作用下無側(cè)移。 本文將對(duì)兩種荷載施加形式下的橫向內(nèi)力進(jìn)行對(duì)比研究。

圖3 虛設(shè)豎向支撐

圖4 虛設(shè)水平和豎向支撐

2 釋放虛設(shè)支撐的框架分析

本文重點(diǎn)研究釋放支撐后的框架分析。 當(dāng)框架撤出支撐后，在角點(diǎn)處加上與支反力大小相等、 方向相反的力，將該力分解成正對(duì)稱荷載和反對(duì)稱荷載，qh為反對(duì)稱荷載分解的豎向力，qs為反對(duì)稱荷載分解的水平力。 當(dāng)采用圖3 所示計(jì)算模型時(shí)無水平力qs，且豎向力的大小qh與圖4 計(jì)算的值不同。 反對(duì)稱荷載作用于組合箱梁會(huì)產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)與畸變，并產(chǎn)生畸變橫向彎矩，通過框架畸變剪力差與內(nèi)剪力的關(guān)系可得到橫向內(nèi)力（圖5）。

2.1 畸變與扭轉(zhuǎn)剪力差

如圖5 所示，ts、tf、th分別為頂板、底板、腹板由于組合箱梁剛性扭轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)剪力差。Ts、Tf、Th為頂板、底板、腹板由于組合箱梁畸變產(chǎn)生的畸變剪力差。 對(duì)于截取的跨中單元框架而言，剪力差為外荷載，因此框架會(huì)產(chǎn)生橫向彎矩。 根據(jù)角點(diǎn)剪力流相等的原則得到：

圖5 剪力差與反對(duì)稱荷載

組合箱梁在偏心荷載作用時(shí)產(chǎn)生畸變，并產(chǎn)生畸變正應(yīng)力。引入翹曲應(yīng)力比β（β=σD/σA）,設(shè)α0=b0/b，Mu，Mb，Mc分別為頂板、底板、腹板在各自平面內(nèi)的畸變內(nèi)力矩，可得到下式：

Mc對(duì)于y 軸的內(nèi)力矩Mcy為：

畸變翹曲內(nèi)力矩應(yīng)滿足自平衡關(guān)系Mu-Mb-Mcy=0，可得到關(guān)于畸變翹曲系數(shù)β 的表達(dá)式：

根據(jù)翹曲內(nèi)力矩與畸變剪力差的關(guān)系得到下式與圖6：

圖6 各板件力矩圖

2.2 框架內(nèi)力及位移

由箱梁畸變理論，箱梁的畸變引起箱梁橫向內(nèi)力，其位移與內(nèi)力的關(guān)系在畸變理論中用畸變角表示。 由于選取的單元框架來自于箱梁，因此按框架計(jì)算得到的位移與箱梁的畸變位移相協(xié)調(diào)。

由各角點(diǎn)彎矩平衡得到各內(nèi)剪力的關(guān)系為：

式中：ηm=[3+2n＇bIc/hIu]/[3+2n＇bIc/hIb]，慣性矩Ii(i=u,b)=ti3/12(1-μ2)，鋼材彈性模量與混凝土彈性模量之比n＇=Ex/Ec。 框架內(nèi)剪力分析圖如圖7 所示。

圖7 框架內(nèi)剪力

在頂板作用單位水平荷載時(shí)的彎矩圖與內(nèi)剪力作用下的彎矩圖圖乘即可得到用框架內(nèi)剪力表達(dá)的框架相對(duì)水平位移Δ：

圖8 為框架的變形簡圖，在小變形情況下，框架轉(zhuǎn)角γ1頂板的相對(duì)水平位移以Δ 來表示，因此γ1=Δ/h。

圖8 框架變形簡圖

波形鋼腹板組合箱梁橫截面自身平面內(nèi)服從 “擬平截面假定”，各板元內(nèi)的橫向撓曲滿足初等梁理論，由關(guān)系式M=-EIΔ″得到各板元內(nèi)畸變剪 力與位移：Δu=αTs/EcJu，Δb=αTf/EcJb, Δh=αTh/n＇EcJh。 式中系數(shù)α 與箱梁的荷載作用形式、支撐條件及計(jì)算截面的位置有關(guān)。 Ju，Jc，Jb分別為頂板、腹板、底板的縱向抗彎慣性距。

箱梁變形后（圖9），箱梁頂板畸變角γ1＇，底板畸變角γ2＇,腹板畸變角γh可由各板件的相對(duì)位移表示：其中框架結(jié)構(gòu)的畸變角與箱梁結(jié)構(gòu)的畸變角相協(xié)調(diào)得：γ1＇+ γ2＇+2γh=2γ1。 將式（3）～（12）代入得到箱梁畸變剪力差與框架內(nèi)剪力的關(guān)系：

圖9 箱梁畸變變形簡圖

2.3 有側(cè)向水平支撐的框架內(nèi)力關(guān)系

根據(jù)圖4 可知，框架在頂板角點(diǎn)處有側(cè)向水平約束。 根據(jù)圖5、圖7 作用于框架的內(nèi)外力平衡，分別列出水平、豎向和下部框架繞D 點(diǎn)的平衡方程。

框架水平方向力平衡關(guān)系：

框架上半部水平平衡關(guān)系：

框架豎向平衡關(guān)系：

框架下半部分對(duì)D 點(diǎn)取矩：

通過聯(lián)立式（14）～（17）得到內(nèi)剪力Vs、Vf、Vh，即可得到有側(cè)向水平支撐時(shí)組合箱梁由畸變產(chǎn)生的畸變彎矩。

2.4 無側(cè)向水平支撐的框架內(nèi)力關(guān)系

通過圖3 可知，框架在頂板角點(diǎn)處沒有側(cè)向水平位移，根據(jù)內(nèi)外力平衡關(guān)系得到：

波形鋼腹板組合箱梁的最終橫向彎矩為加支撐計(jì)算模型的橫向彎矩與釋放支撐時(shí)反對(duì)稱荷載作用下畸變橫向彎矩的疊加。

3 數(shù)值算例

以某簡支波形鋼腹板組合箱梁為例，計(jì)算跨徑為L0=35m，b0=4.15m，b=2.075m。 頂板上距離頂板中心1m 作用偏心均布線荷載10kN/m，頂?shù)装寤炷敛捎肅50 等級(jí), 混凝土的彈性模量為Ec=3.45×104MPa，泊松比為ν=0.2，混凝土頂板厚度tu=0.24m，底板厚度tb=0.22m。 波形鋼腹板選擇Q235，波紋型號(hào)為H1600，厚度為0.02m，彈性模量為Es=2.06×105MPa，泊松比為ν=0.3。

3.1 水平側(cè)向支撐對(duì)組合箱梁橫向內(nèi)力的影響

根據(jù)公式算得有無側(cè)向水平支撐的框架內(nèi)剪力, 由求得的框架內(nèi)剪力與力矩平衡關(guān)系，得到畸變效應(yīng)產(chǎn)生的框架橫向彎矩，如表1、表2 所示。

表1 釋放剛性支撐后框架內(nèi)剪力（單位：kN/m）

表2 釋放剛性支撐后產(chǎn)生的橫向彎矩（單位：kN·m/m）

根據(jù)彎矩分配法計(jì)算得到了圖3、 圖4 所示框架虛設(shè)剛性支撐時(shí)的橫向彎矩。 將虛設(shè)剛性支撐得到的框架橫向彎矩與釋放剛性支撐后畸變產(chǎn)生的橫向彎矩疊加，即為框架考慮畸變效應(yīng)后的最終橫向彎矩（表3）。

表3 箱梁最終橫向彎矩（單位：kN·m/m）

從表3 可以看出，兩種模型計(jì)算組合箱梁橫向彎矩時(shí)的結(jié)果偏差均不超過4%，因此釋放虛設(shè)側(cè)向水平支撐對(duì)結(jié)果影響不明顯，為計(jì)算組合箱梁橫向內(nèi)力更加簡便準(zhǔn)確，可以使用無側(cè)向水平支撐的框架分析法計(jì)算組合箱梁考慮畸變效應(yīng)影響的橫向內(nèi)力。

3.2 最終橫向彎矩計(jì)算值與有限元對(duì)比

為驗(yàn)證以上理論計(jì)算方法的可靠性與準(zhǔn)確性，利用ANSYS中SHEEL63 單元模擬混凝土頂?shù)装搴筒ㄐ武摳拱濉?采用四邊形網(wǎng)格劃分，共28862 個(gè)單元。 通過提取橫向應(yīng)力換算橫向彎矩，對(duì)圖3 中計(jì)算模型的橫向彎矩值與有限元解進(jìn)行對(duì)比，將結(jié)果列于表4 中,箱梁整體彎矩云圖如圖10 所示。

表4 箱梁橫向彎矩與有限元對(duì)比（單位：kN·m/m）

圖10 箱梁整體彎矩云圖（N·m/m）

圖3 模型考慮畸變影響的框架分析法計(jì)算波形鋼腹板組合箱梁跨中截面角點(diǎn)的彎矩值與有限元計(jì)算結(jié)果間的偏差不大，相對(duì)誤差不超過7.30%，此時(shí)可以利用無側(cè)向水平約束的框架分析法計(jì)算組合箱梁橫向內(nèi)力。

4 參數(shù)分析

在圖3、圖4 兩種計(jì)算模型下，考慮波形鋼腹板組合箱梁加載點(diǎn)位、高寬比、頂板厚度、腹板厚度、波折角變化對(duì)頂板角點(diǎn)和加載點(diǎn)橫向彎矩的影響。

4.1 加載點(diǎn)位變化的影響

利用控制變量法，在其他條件不變的情況下改變外荷載作用于頂板的位置，從而分析跨中截面荷載作用點(diǎn)位變化對(duì)組合箱梁橫向內(nèi)力的影響。 將左側(cè)頂板均分為10 等份，標(biāo)記頂板中點(diǎn)為0 點(diǎn)位，依次向左（圖11）。

圖11 加載點(diǎn)位

各角點(diǎn)和荷載作用點(diǎn)E 處的彎矩值均為釋放虛設(shè)支撐后考慮畸變效應(yīng)影響的最終橫向彎矩值。 MAY為無側(cè)向水平支撐時(shí)頂板角點(diǎn)A 處的橫向彎矩，MAY為有側(cè)向水平支撐時(shí)頂板角點(diǎn)A 處的橫向彎矩值，其他點(diǎn)亦如此。 如圖12 所示，有側(cè)向水平支撐與無側(cè)向水平支撐的組合箱梁各角點(diǎn)橫向彎矩值變化趨勢(shì)相同。當(dāng)外荷載作用于頂板附近時(shí)，有側(cè)向水平支撐與無側(cè)向水平支撐計(jì)算的橫向彎矩值最為接近，即偏差率最小，表明側(cè)向水平支撐對(duì)橫向彎矩影響最小。 當(dāng)荷載靠近腹板作用時(shí)，有側(cè)向水平支撐與無側(cè)向水平支撐計(jì)算的橫向彎矩值偏差變大，表明側(cè)向水平支撐對(duì)橫向彎矩影響變大，且各角點(diǎn)彎矩均隨荷載左移而減小。

圖12 加載點(diǎn)位變化對(duì)橫向彎矩影響

4.2 高寬比變化的影響

在其他參數(shù)不變的情況下，研究高寬比變化對(duì)跨中截面頂板橫向彎矩的影響，組合箱梁箱高度h 從0.415m 增加到4.15m，對(duì)應(yīng)的箱室高寬比從0.1 增加到1.0（圖13）。

從圖13 中可以看出，當(dāng)箱室高寬比增大時(shí)，頂板角點(diǎn)處的橫向彎矩值逐漸減小，而荷載作用點(diǎn)E 處的彎矩值逐漸增加。 隨著高寬比的增加，有側(cè)向水平支撐與無側(cè)向水平支撐計(jì)算的橫向彎矩值偏差變大，表明側(cè)向水平支撐對(duì)橫向彎矩的影響隨著高寬比的增加而變大。

圖13 高寬比變化對(duì)橫向彎矩影響

4.3 頂板厚度變化的影響

在其他條件不變的情況下，頂板厚度從0.1m 增加到0.35m。如圖14 所示，當(dāng)頂板厚度增加時(shí)，頂板角點(diǎn)A、B 的彎矩呈下降趨勢(shì)，而荷載作用點(diǎn)E 處彎矩逐漸增加。 有側(cè)向支撐模型與無側(cè)向水平支撐的橫向彎矩偏差隨頂板厚度增加而減小。

圖14 頂板厚度變化對(duì)橫向彎矩的影響

4.4 腹板厚度變化的影響

通過改變波形鋼腹板組合箱梁腹板厚度進(jìn)行分析。 波形鋼腹板厚度從0.1m增加到0.35m，增量為0.05m。如圖15 所示，隨著波形鋼腹板厚度的增加，頂板角 點(diǎn)A、B 處 的橫向彎矩值逐漸增加，荷載作用點(diǎn)E 處的彎矩值逐漸減小。 有無側(cè)向水平支撐對(duì)最終彎矩值影響較小。

圖15 腹板厚度變化對(duì)橫向彎矩影響

4.5 波折角變化的影響

算例中波形鋼腹板平直段長為0.37m，波折角為30.7°，在其他參數(shù)不變的情況下，波折角從30.7° 增 加 到39.7°。 如 圖16所示，隨著鋼腹板波折角的增加，頂板角點(diǎn)A、B 處橫向彎矩值逐漸增加，荷載作用點(diǎn)E 處的彎矩值逐漸減小。 有側(cè)向支撐模型與無側(cè)向支撐模型計(jì)算的最終彎矩值偏差較小。

圖16 腹板波折角變化對(duì)橫向彎矩影響

5 結(jié)論

本文通過對(duì)波形鋼腹板組合箱梁橫向內(nèi)力進(jìn)行研究，得到以下結(jié)論;

（1） 基于框架分析法原理，給出了波形鋼腹板組合箱梁無側(cè)向水平支撐時(shí)的橫向內(nèi)力計(jì)算公式，并經(jīng)過有限元驗(yàn)證，證明理論解與有限元解較為吻合；

（2） 波形鋼腹板組合箱梁參數(shù)變化會(huì)影響組合箱梁頂板角點(diǎn)和荷載作用點(diǎn)的橫向彎矩值。 其中，荷載點(diǎn)位變化、高寬比變化、頂板厚度變化時(shí)，有側(cè)向水平支撐計(jì)算模型與無側(cè)向水平支撐計(jì)算模型的最終彎矩值偏差較大；

（3） 腹板厚度變化和波折角變化時(shí)，有側(cè)向水平支撐計(jì)算模型與無側(cè)向水平支撐計(jì)算模型的最終彎矩值偏差很小，結(jié)構(gòu)是否虛設(shè)水平側(cè)向支撐對(duì)橫向彎矩結(jié)果影響較小。