基于Wiener 過程首超概率的結構耐久性評估

張熙

（長沙礦冶研究院有限責任公司，湖南長沙 410012）

0 引言

混凝土結構耐久性退化的研究是工程界和學術界關注的重要課題。 對于一些傳統結構，即使結構退化和損傷機理非常清晰，但其退化和損傷過程在使用壽命期間仍會表現出很強的隨機性。 因此從隨機過程的角度來模擬結構的退化和損傷過程是十分必要的[1]。

基于隨機過程理論，學界提出了許多模型來模擬結構關鍵指標的退化，如Gamma 過程模型、路徑退化模型、Wiener 過程模型、累積損傷模型、純跳躍過程模型、擴散過程模型。Wiener 過程模型由于具有良好的數學性質受到很多學者的青睞，在工程領域得到廣泛應用[2-3]。 Doksum[4]首次將Wiener 過程應用于工程領域，研究了Wiener 過程退化產品的可變應力加速壽命試驗模型。Liu[5]基于維納過程對復合材料在高周彎曲疲勞載荷作用下的劣化行為進行了研究。 在研究結構退化方面，Wiener 過程同樣扮演著重要角色。如Wang[6]通過考慮退化率與退化變量的比例關系，提出了一種改進的自適應維納過程模型，用于結構剩余使用壽命在線預測。 Li[7]提出了一種基于維納過程變異系數的一致性檢驗方法來預測結構的剩余使用壽命，并通過仿真數據和經典裂紋退化數據對該方法進行了驗證。Wang[8]提出了一種基于時間尺度變換的二元維納退化過程的自適應剩余壽命估算方法,并通過一個疲勞裂紋的數值算例驗證了該方法的有效性。

Wiener 過程是隨機過程中的經典模型，由于良好的解析性質得到廣泛應用。近年來，基于維納過程的工程結構性能退化和剩余壽命預測的研究變得越來越重要。 本文以Wiener 過程為研究對象，從Wiener 過程的對稱性推導了其首次超越概率的精確解析解，為后續結構耐久性的評估打下理論基礎。然后通過自相關函數法對比Wiener 過程和混凝土動彈性模量退化過程的自相關函數圖像，進而以Wiener 過程對動彈性模量的退化過程進行建模。 最后，以某案例為例，評估了不同服役年限下結構的耐久性，驗證本文所提方法的正確性。

1 Wiener 過程首超概率分析

1.1 Wiener 過程定義

隨機過程{X（t），t≥0}的狀態空間為E=（-∞，∞），如果滿足下列數學模型：

（1） X（t）是一個平穩獨立增量過程；

（2） 任意增量X（t）-X（s）服從均值為μ（t-s），方差為σ2|t-s|（σ〉0）的正態分布，如：

則稱隨機過程{X（t），t≥0}為Wie ner 過程。 廣義Wiener 過程均值為μt，方差為σ2t，參數μ 為漂移系數，σ 為擴散系數。當μ=0，σ=1 時，為標準Wiener 過程。

在動態環境中，由于各種因素的影響，結構性能會隨著時間的推移而遭到破壞。大量試驗表明[9-10]，混凝土結構性能退化過程是由許多隨機小損失疊加的過程，當損失達到一定閾值后，結構失效。 故結構性能退化過程應看作一個具有不確定性的隨機過程[11]，用隨機過程來描述結構某關鍵指標的退化過程能更好反映結構的實際情況。 Wiener 過程的良好數學性質和解析特性能較好描述非單調退化過程，若混凝土材料和結構的退化過程符合Wiener，那么就能準確預測結構失效的概率。

1.2 基于Wiener 對稱性的首超概率推導

Wiener 過程在任意狀態滿足對稱性，即當X（t0）=x0時，后續狀態X（t0+t）≥x0和X（t0+t）≤x0都以等概率發生，如下：

令Wiener 過程首次超越閾值b 的時間Tb呈現為：

根據全概率公式可知：

由于Wiener 過程的連續性[12]，上式右邊第二項P{X（t）≥b|Tb〉t}=0。 因此：

根據Wiener 過程的對稱性，當Tb≤t 或X（Tb）=b，{X（t）≥b}和{X（t）≤b}的概率是相等的，為：

將式（5）帶入式（4），可得：

將式（7）帶入式（6）可得：

式（8）即為Wiener 過程首次超越概率分布的解析表達式。 由首超概率分布函數可得首超概率密度函數：

式中，I［0，∞）（t）代表反正態分布函數。

故Wiener 過程在[[0，T]時段內的失效概率為：

Wiener 過程在[0，T] 時段內的可靠概率為：

2 基于首超概率的結構剩余壽命及可靠性評估

2.1 混凝土耐久性退化機制

在自然環境中，溫度會產生周期性的升高或降低，導致凍融循環引起結構內部損傷。 當溫度下降時，混凝土中的孔隙水結成冰，導致體積膨脹，當混凝土處于水飽和狀態時由于孔徑較小，凝膠孔中溫度較低的水不會結冰，而毛細管孔內的水則會結冰。 由于凝膠孔和毛細管孔中兩種蒸發壓力的不同，混凝土將同時承受壓力和滲透壓。 當壓力或滲透壓超過混凝土既定強度時，孔隙壁破壞從而導致混凝土內部裂縫。 然后，混凝土內部裂縫繼續擴展直到裂縫之間相互滲透，這一過程會導致混凝土強度下降。 現階段，混凝土強度的降低或裂縫的發展可以通過混凝土動彈性模量的變化來反映，因此混凝土動彈性模量可以視為混凝土結構耐久性退化的合理指標[13]。 文獻[14]通過快速凍融試驗測量了混凝土動彈性模量和抗壓強度，得到了兩者之間的關系曲線。文獻[15]以摻有粉煤灰的混凝土為研究對象，通過測量混凝土動彈模的損傷，發現混凝土動彈模隨時間的增加而增加，當損失達到規定閾值時，混凝土性能失效。

假定混凝土動彈性模量在時段內的退化量為X（△t）=X（t1+△t）-X(t1)，X（△t）是混凝土中許多隨機且獨立的小損失累積量，顯然，X（△t）是一個隨機變量。 根據中心極限定理，若被研究的隨機變量是大量獨立隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起到微小的作用，則可認為這個隨機變量近似服從正態分布[16]，故X（△t）近似服從正態分布。

圖1 為混凝土相對動彈性模量隨時間的變化曲線[17]。由圖1 可知，混凝土相對動彈性模量（t 時刻動彈性模量/初始動彈性模量）在0～10 天內不斷下降，但10～20天時動彈性模量有恢復的趨勢。故混凝土動彈性模量的變化是一個非單調的發展路徑，而Wiener過程適用于描述非單調遞減過程（圖2）。

圖1 混凝土相對動彈模退化曲線

圖2 Wiener過程樣本路徑

2.2 混凝土動彈性模量退化過程的識別

隨機過程有限維概率分布族函數能代表一個隨機過程既有的統計特性，并且隨著維度的增加，隨機過程統計特性也越精確。但實際中，n 維隨機過程的概率分布函數難以計算。 因此，工程上多研究隨機過程的數字特征。 其中，自相關函數是隨機過程的一項重要數字特征，它代表隨機過程在不同時刻狀態的相互聯系。文獻[18]通過對比Wiener 過程的自相關函數，將產品性能退化過程建模為Wiener 過程。 研究表明，若性能退化數據的自相關函數圖像與Wiener 過程的自相關函數圖像在一定程度上相似，便可對其進行Wiener 過程建模。

已知Wiener 過程自相關函數表達式為：

根據MATLAB 繪制其自相關函數圖像，如圖3 所示。

根據已有的加速退化試驗結果，混凝土相對動彈性模量的退化增量數據如表1 所示，測量的時間間隔為7 天。

表1 相對動彈模損失經時變化

樣本在時刻tj的動彈模損失均值公式為：

則樣本自相關函數的矩估計為：

根據式（13）、（14）及表1，利用MATLAB 軟件繪制相對動彈模損失的自相關函數圖像，如圖4 所示。

對比圖3 和圖4，發現兩自相關函數圖像相似。 接下來將混凝土相對動彈性模量的損失建模為Wiener 過程，利用Wiener 過程首次超越公式對結構的剩余壽命及可靠性進行評估。

圖3 Wiener自相關函數

圖4 混凝土動彈性模量損失的自相關函數圖像

2.3 剩余壽命及可靠性評估

令W(t)作為結構在t 時刻的退化量（與未損傷狀態相比），隨機過程{W(t)，t≥0}代表結構退化時變量。 由2.2 節可知，{W(t)，t≥0}可進行Wiener 過程建模。 結構在一定時間t 的退化失效概率可由退化量W(t)和失效閾值b 確定，表示為P{W(t)≤b}。 根據退化失效的定義，結構的剩余使用壽命T，即為W(t)首次到達閾值b的時間。 因此，T 可以表示為：

根據1.2 節的分析，T 服從反正態分布，其概率密度函數和概率分布函數為：

進而，結構在[0,t]時段內的耐久性可靠度為：

如果結構在t 時刻的退化量W(t)=l（l〈b），那么結構在T1時刻的剩余使用壽命可表示為：

根據Wiener 過程的獨立增量性和馬爾科夫性，T1可表示為：

故結構的剩余使用壽命為：

基于上述分析可知，結構的剩余使用壽命及可靠性評估實際上是計算退化量首次達到失效閾值的時間。

3 實例分析

研究表明混凝土中裂紋的擴展或截面強度隨時間的退化可以通過其動彈性模量的變化來反映，因此混凝土動彈性模量的損失是評估混凝土內部損失的有效指標。 2.2 節已經證明了混凝土動彈性模量的損失符合Wiener 過程，且表1 給出了某混凝土結構動彈性模量損失的具體數據。 故本節以此為基礎，將動彈性模量的損失過程建模為Wiener 過程，進而評估結構剩余使用壽命及可靠性。

以表1 中的JS2-3 為研究對象，運用極大似然估計法對Wiener 過程的擴散系0 數和漂移系數進行評估。試件耐久性退化Wiener 過程參數可表示為：

根據式（22），表1 中JS2-3 構件耐久性退化Wiener 過程參數為：

根據式（23）所求Wiener 過程擴散系數和漂移系數，發現μ≈0，σ≈1，近似符合標準Wiener 過程。

對于混凝土耐久性退化失效閾值的規定：如果其相對動彈性模量減少到40%，則表明結構失效。 因此，設失效閾值（準確的安全閾值應根據實際的工程案例進行確定），將Wiener 過程漂移系數、擴散系數（式23）及失效閾值帶入式（18）可得不同時間t 下，混凝土結構的耐久可靠性，具體見表2、圖5。

表2 不同時刻下結構耐久可靠性

由圖5 可知，混凝土結構耐久性隨著時間的增加而不斷減少，符合實際。 如當服役年限為50年時，結構可靠性為88.5702%，這表明結構服役50年時不發生耐久性失效的概率為88.5702%，發生失效的概率為11.43%。如果將可靠度減少11%作為結構是否需要檢驗的標準，那么結構服役50年時，應對結構進行全面的耐久性檢測以確定此結構是否需要進行維修。以上與工程 實 際 相符，驗 證 了應用Wiener過程描述結構耐久性退化的可行性和正確性。

圖5 可靠性變化曲線

4 結論

本文基于Wiener 過程首次超越概率進行結構耐久性評估，具體研究結論如下：

（1） 根據Wiener 過程的對稱性，推導了Wiener 過程首次超越概率精確解析解，為后續結構耐久性評估打下了理論基礎；

（2） 通過自相關函數法分別繪制了Wiener 過程自相關函數圖像和混凝土動彈性模量損失過程的自相關函數圖像，發現兩者較為相似，可以用Wiener 過程對混凝土動彈性模量的損失過程進行建模；

（3） 以某案例評估結構在不同時刻下的耐久性，結果表明利用Wiener 過程對混凝土動彈性模量的損失過程進行建模符合實際。