基于H∞和干擾觀測器的磁懸浮軸承干擾抑制方法

周衡，金超武

(南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

主動磁懸浮軸承(active magnetic bearing, AMB)是一種利用電磁力對轉子進行重力抵消的新型非接觸式支承結構。與傳統軸承相比，它具有無摩擦、無污染、不需要潤滑、壽命長等優點[1]。相比于傳統的旋轉機械裝備，磁懸浮轉子通常需要在高速下穩定運行。如何保證磁懸浮轉子在高速下穩定運行是需要解決的一個重要問題。磁懸浮軸承-轉子系統在高速失穩，其主要原因在于轉速同頻分量增大和低頻振動的增加。轉速同頻分量的增大可以通過動平衡技術解決[2]。在保證轉子具有較好的動平衡時，低頻振動成為影響磁懸浮軸承-轉子系統在高速運行時穩定性的一個重要因素，對磁懸浮軸承-轉子系統中低頻振動的抑制，可以有效提高其在高速工作時的穩定性。

目前對于如何抑制磁懸浮軸承-轉子系統在高速工作的低頻振動的研究相對較少。北航的劉健等[3]設計一種干擾觀測器來抑制系統在高速時出現的低頻擾動，其只針對于單一干擾頻率進行了驗證。WEN X Y等[4]設計一種復合分層抗干擾控制器，可以對外部有界干擾進行有效抑制。

本文采用復合抗干擾控制器。內層控制器選取干擾觀測器對外部干擾進行觀測并進行前饋補償，外層控制器使用H∞控制器保證系統在高速工作時的穩定性。通過仿真對該方法的抗干擾性能進行驗證，當轉子轉動頻率為500 Hz時，施加不同頻率的干擾信號。仿真結果表明：該方法有效降低了低頻擾動對于系統的影響，提高了磁懸浮軸承-轉子系統在高速時的魯棒性與抗干擾性能。實驗驗證了該方法可以有效地抑制50Hz的正弦干擾信號。

1 復合分層抗干擾控制器設計

1.1 磁懸浮軸承數學模型

建立精確的被控對象數學模型，是設計磁懸浮軸承-轉子系統復合分層抗干擾控制器的基礎，所以對磁懸浮軸承-轉子系統數學模型進行分析是很有必要的。為了使復合分層抗干擾控制器獲得更好的動態性能，將磁懸浮軸承-轉子、傳感器和功率放大器結合起來作為控制器的被控對象，建立如圖1所示的磁懸浮-轉子示意圖，并規定圖中各個向量的方向。

圖1 磁懸浮軸承-轉子示意圖

根據圖1磁懸浮軸承-轉子受力圖，令：

(1)

則在轉子質心C處建立轉子徑向自由度的運動學方程[5]可以表示為

(2)

式中：質量矩陣M、陀螺矩陣G和矩陣A可分別由式(3)獲得：

(3)

其中：m為轉子的質量；Jx、Jy和Jz分別為轉子繞x、y和z軸轉動的轉動慣量。

根據式(2)可知，慣性耦合和陀螺力矩耦合存在于徑向各個自由度之間。慣性耦合在理論上可以通過合理的結構設計進行避免。一般情況下，在低轉速時可以將陀螺力矩耦合忽略不計。結合式(2)可得解耦后磁懸浮軸承-轉子系統徑向自由度的傳遞函數：

(4)

式中：kii為各個自由度的電流剛度；kxi為各個自由度的位移剛度；mi為各個自由度的當量質量。

本文使用的磁懸浮軸承的徑向保護間隙為0.25mm，傳感器輸出的轉子位移電壓信號在0～5 V之間，可以得到徑向傳感器環節的數學模型

Ks=20 000 V/m

(5)

本文使用的功率放大器在磁懸浮軸承-轉子系統工作時，可以將其視為比例環節，其接受的電壓信號為-5 V～+5 V，徑向自由度的輸出電流信號為0～3.4 A，可以得到功率放大器環節的數學模型

Ka=0.34 A/V

(6)

結合式(4)-式(6)，可以得到磁懸浮軸承-轉子徑向自由度機電一體化模型的傳遞函數

(7)

1.2 干擾觀測器設計

干擾觀測器的基本思想是將外部干擾、實際模型與名義模型的差異全部等效為干擾觀測器的輸入端，觀測出等效干擾，在控制系統中引入相同的補償量，實現對干擾的完全抑制。干擾觀測器基本原理框圖如圖2所示。

圖2 干擾觀測器原理圖

根據圖2，可以得到從輸入u到輸出y的傳遞函數和從輸入d到輸出y的傳遞函數分別為：

(8)

(9)

當Gn(s)≈Gp(s)時，從式(8)和式(9)中可以發現，干擾觀測器對于外環控制器并不會造成影響。

通過上述分析可知，采用低通濾波器設計Q(s)可以實現對低頻干擾的有效抑制。目前常用的低通濾波器Q(s)的形式為

(10)

1.3 H∞控制器設計

通過1.2小節的分析可知，干擾觀測器的設計對H∞控制器的設計沒有任何影響，當標稱模型近似于實際模型時，H∞控制器與干擾觀測器可以獨立設計。

本文針對單自由度磁懸浮軸承模型設計H∞控制器，將式(9)轉化為狀態空間方程：

(11)

在磁懸浮軸承-轉子系統中，由于干擾與參數不確定性同時存在，模型的不確定性也會影響系統的魯棒性。在設計控制器時，需要同時考慮干擾的抑制能力和系統的魯棒性。本文采用混合靈敏度H∞控制器設計方法設計控制器，選取靈敏度加權函數和補靈敏度加權函數，通過選取合適的加權函數來建立廣義被控對象。

混合靈敏度H∞方法原理框圖如圖3所示。其中r為系統參考輸入量；y為系統輸出量；e為跟蹤誤差量；u為控制器輸出量；d為外部干擾量；z1、z2和z3為控制評價輸出信號；W1和W3分別為系統的靈敏度函數和補靈敏度函數，W2為不確定性權函數。當確定了W1、W2和W3之后，即可求出控制器K。

圖3 混合靈敏度H∞方法原理框圖

靈敏度函數表示系統對于外部干擾的抑制能力，其為d到y的閉環傳遞函數：

(12)

補靈敏度函數表示系統對于未建模動態的抑制能力，其為r到y的傳遞函數：

(13)

混合靈敏度控制器設計的關鍵在于選擇合適的加權函數。目前，加權函數的選用應該滿足魯棒控制第一定理：

(14)

2 仿真

2.1 仿真條件

本小節將通過Matlab/Simulink軟件平臺，對復合抗干擾控制器的性能進行驗證。H∞和干擾觀測器的仿真框圖如圖4所示。被控系統中包含磁懸浮軸承-轉子系統、功率放大器和傳感器。r為系統參考輸入，d為外部干擾，y為系統輸出。

圖4 H∞和干擾觀測器仿真框圖

本文所設計的干擾觀測器中，采用分子為一階、分母為三階的低通濾波器，選取τ=0.000 1。

在H∞控制器的設計中，選取加權函數分別為：

(15)

2.2 仿真驗證

針對磁懸浮軸承-轉子系統中存在的低頻擾動，旋轉頻率為500Hz時，對系統施加不同頻率的擾動，對控制器的魯棒性和抗干擾性能進行仿真驗證。

圖5中，圖5(a)-圖5(d)分別為系統加入頻率為20Hz、30 Hz、40 Hz和50 Hz、幅值為1.5 V的正弦干擾。從0 s開始，在系統中加入干擾；在0.5 s時，引入干擾觀測器對干擾進行前饋補償。可以從圖中看出，干擾在幅值相同時，頻率越高，系統中產生的振動幅值越大，在引入干擾觀測器對干擾進行前饋補償后，可以明顯降低系統的振動幅值，有效地提升系統的抗干擾能力，驗證了基于H∞和干擾觀測器的復合控制器在系統高速工作時對于外部引入的低頻干擾有較好的抑制作用。

圖5 H∞和復合控制器對低頻干擾的抑制效果對比

3 實驗

在磁懸浮軸承-轉子系統上進行高速旋轉實驗。在仿真中可以觀察到，干擾頻率越高，磁懸浮軸承-轉子的振動幅值越大。在實驗中，對系統施加頻率為50Hz、幅值為0.1 V的正弦干擾信號，分別采用H∞控制器與復合控制器進行控制，實驗結果如圖6所示(本刊為黑白印刷，如有疑問請咨詢作者)。

圖6中，磁懸浮軸承-轉子在H∞控制器控制下的最大振動幅值為9.49 μm，在復合控制器控制下的最大振動幅值為7.06 μm。與H∞控制器相比，復合控制器控制下的振動幅值減小了25.6%，有效地提高了磁懸浮軸承-轉子系統的抗干擾性能。

圖6 H∞和復合控制器對50Hz干擾的抑制效果對比

4 結語

1)本文所采用的基于H∞和干擾觀測器的復合控制器相較于傳統H∞控制器，對于低頻正弦干擾的抑制效果更加顯著，可以有效地提高系統的抗干擾性能；

2)基于H∞和干擾觀測器的復合控制器結構簡單，參數選取容易，便于實現；

3)通過仿真驗證，磁懸浮軸承-轉子系統在500Hz工作時，對于20Hz～50Hz范圍內的干擾有明顯的抑制作用；

4)通過實驗，復合控制器可以對50Hz正弦干擾引起的振動進行有效地抑制。