機匣螺栓連接虛擬薄層單元建模方法

陳云，臧朝平，楊志強

(南京航空航天大學 能源與動力學院，江蘇 南京 210016)

0 引言

航空發動機中的許多連接結構對發動機的動力學特性有很大的影響，比如機匣螺栓連接、轉子套齒連接等[1]。在對航空發動機整機動力學特性分析時，前人大都將連接作為剛性處理，這樣會增加整機模型的總體剛度，不符合實際發動機結構特性，嚴重影響整機模型與實際結構動力學特性的吻合程度。在早期設計階段，沒有物理樣機，無法準確建立連接模型，也就無法獲取連接參數，故連接建模難度非常大。

針對螺栓連接結構，國內外學者進行了一系列探索研究，發現連接對結構的剛度和阻尼有很大的影響，尤其是金屬結構，其產生的阻尼可以達到材料阻尼的10～100倍[2-3]。KIM J等[4]研究了基于彈簧阻尼法的螺栓接觸分析法；SONG Y等[5]研究了采用梁單元模擬螺栓連接的方法；AHMADIAN H等[6]采用薄層單元法，將連接結構的接觸法蘭面等效為厚度很薄的實體單元，建立動力學建模，并利用優化算法對薄層材料參數進行了修正。馬雙超[7]在模擬螺栓連接時，采用了薄層單元建模的方法，通過調整薄層單元的材料參數來識別連接處的實際剛度。孫衍山等[8]研究了螺栓預緊力、螺栓分布和螺栓數量對機匣抗彎剛度和振動頻率的影響。姚星宇等[9]提出了航空發動機復雜螺栓連接結構的連接剛度理論表達式,并進一步研究了航空發動機螺栓連接載荷、結構參數對連接剛度的影響規律。劉宗魁[10]運用分區薄層單元模擬航空發動機機匣螺栓連接結構。劉丁[11]通過建模仿真驗證了薄層單元法在建模仿真中的可行性。目前，螺栓連接采用薄層單元建模的方式得到了一定的認可，但是AHMADIAN H、劉宗魁等人建立的均為實體薄層單元，機匣連接件建模采用實體薄層會導致機匣軸向位置發生微量偏移，連接機匣數量較多的情況下偏移量會不斷累積，最終造成整機軸向位置定位出現較大誤差。為避免這個誤差的出現，本文研究了薄層單元建模原理，提出虛擬薄層單元法代替實體薄層單元法完成機匣連接建模，并用相關分析理論驗證了虛擬薄層單元法的可靠性。

1 基本原理與方法簡介

1.1 薄層單元建模原理

本文采用8節點六面體單元建立實體薄層，如圖1(a)所示；4節點板殼單元建立虛擬薄層如圖1(b)所示。為便于計算引入局部坐標系(ξ，η，ζ)。薄層單元內任意節點坐標為(Xi，Yi，Zi)，節點位移為(Ui，Vi，Wi)。

圖1 薄層單元

薄層單元的形函數為

(1)

薄層單元中任一點的位移可表示為

(2)

薄層單元內任一點的坐標可表示為

(3)

形函數是在局部坐標中建立的，在由單元節點位移求單元應變時，需要求解形函數在總體坐標中的導數，因而需要將局部坐標中的形函數表達式轉換到整體坐標中，由偏微分法則得

(4)

(5)

對于尺寸為l1×l2×d的薄層單元，根據虛位移原理得到其虛功方程

(6)

式中：l1、l2分別是薄層單元x和y方向的長度；d是薄層單元在局部坐標系z方向的厚度；K是通過等參變換得到的在自然坐標系ξ、η、ζ下的單元剛度矩陣。需要對積分的單元體積進行變換，根據微分知識可得

(7)

式中i、j、k分別是沿x、y、z方向的單位矢量。微元體的體積可由dξ，dη，dζ的矢量混合積求得：

dV=dξ(dη×dζ)=|J|dξdηdζ

(8)

進而可得單元剛度矩陣的表達式為

(9)

式中K是雅克比矩陣。由局部坐標轉換到自然坐標的等參變換得到，二者方向一致時J的表達式為

(10)

根據高斯積分，剛度矩陣K的表達式為

det([J(ξi，ηj，ζk)])wξ，iwη，jwζ，k

(11)

式中wξ,i、wη,j、wζ,k是高斯積分權函數。

假設薄層單元厚度d遠遠小于長度l1和寬度l2，相關研究表明當厚度d趨近于0時單元應變(εx,εy,εxy)和單元應力(δx,δy,δxy)可以忽略。此時可以把接觸面法向{e}n和接觸面切向{e}Tx，{e}Ty分別定義為局部坐標，x、y和z的方向。同理，應力δz、δxz和δyz分別對應tn、tTx和tTy；應變εz、2εxz和2εyz分別對應εn、γTx和γTy，則本構方程可以轉化為

(12)

式中En和GT分別是彈性模量和切變模量。對于各向同性材料，En和GT之間的關系式為

(13)

1.2 相關分析理論

相關分析是用于評價有限元模型預測的結果與參考數據的接近程度，從而確定有限元結果和參考數據對應的模態對，可用以驗證有限元模型的可靠性。模態置信準則(modal assurance criterion，MAC)，是工程上應用最為廣泛的模態相關性分析方法。MAC基于模態向量之間的加權正交性，通過計算兩個模態向量之間夾角余弦值的平方來判斷模態對，其定義如下：

(14)

式中：φr和φq分別代表第r階和第q階模態向量；*代表共軛轉置。MAC值介于0～1之間，其>0.9說明兩個模態向量有很好的一致性，兩階對應的模態為相關的模態對；若接近0則說明兩階模態向量有較大的差異，不是對應模態。在工程中，若兩階模態的MAC值>0.6，就可認為二者是相關模態對。

2 機匣薄層單元連接建模

2.1 機匣連接簡化模型

機匣螺栓連接簡化模型如圖 2所示，上安裝法蘭1與下安裝法蘭3通過螺栓2a連接。實體薄層單元的簡化模型如圖 3(a)所示，上安裝法蘭1與下安裝法蘭3通過實體薄層2b連接。虛擬薄層單元的簡化模型如圖 3(b)所示，上安裝法蘭1與下安裝法蘭3通過虛擬薄層2c連接。薄層單元連接結構的各部分的軸向剛度表達式為

圖2 螺栓連接簡化模型

圖3 薄層連接簡化模型

(15)

式中：Ei為被連接件的彈性模量；Ai為有效橫截面積；Li為結構的軸向長度。

把上安裝法蘭1、薄層單元2b(2c)和下安裝法蘭3視為串聯的彈簧結構，可得薄層單元連接結構的軸向剛度表達式為

(16)

由式(15)和式(16)可得薄層等效彈性模量

(17)

式中：k為螺栓連接剛度，具體的計算方法可參照文獻[9]；k1、k3為安裝法蘭的軸向剛度；A2是薄層與法蘭的接觸面積；L2是薄層的厚度。

2.2 機匣連接有限元模型

航空發動機機匣大多是帶有凸臺、凹槽或者肋板等細節特征的薄壁圓筒結構。建立機匣連接結構有限元模型時，忽略這些細節特征可以有效提高計算效率。本文建立的機匣虛擬薄層連接有限元模型如圖 4所示。機匣與薄層均為各向同性材料，彈性模量為210GPa，密度為7 800kg/m3，泊松比為0.3。根據參考文獻[9]，薄層單元厚度均設置為1mm。實體薄層連接的機匣將產生1mm的軸向位置偏移，虛擬薄層連接的機匣可以有效地避免這個誤差，而且虛擬薄層的厚度可以設置為實常數，修改實常數值能夠方便快捷地研究薄層厚度的改變對連接剛度的影響。

圖4 機匣虛擬薄層連接有限元模型

3 相關分析

對兩種薄層連接模型分別計算自由狀態下前5階模態，忽略重模態，得到的各階模態頻率如表 1所示。可見與實體薄層連接模型比較，虛擬薄層連接模型各階頻率有所降低，最大誤差為-4.5%，最小誤差為-0.1%。如圖 5所示，兩種模型各階匹配模態振型基本一致，振型相關性較好。前5階主要是后面機匣的節徑振動，隨著頻率的增大，節徑數逐漸增多。連接處未出現局部振動模態，說明薄層連接剛性足夠，與實際螺栓連接情況相符。如圖 6所示，各階MAC值均>0.8，說明兩種連接模型接近程度非常高。

表1 機匣實體/虛擬薄層連接模型前5階頻率

圖5 機匣實體/虛擬薄層連接模型前5階振型

圖6 薄層連接模型相關分析MAC值

4 結語

本文針對航空發動機機匣螺栓連接結構建模方法展開研究。在實體薄層基礎上，提出虛擬薄層代替螺栓連接的建模方法，并用相關分析理論驗證虛擬薄層連接模型的可靠性。研究結果表明：虛擬薄層單元法建立的連接模型比實體薄層單元法建立的連接模型各階頻率略有降低，最大誤差為-4.5%，各階模態MAC值均>0.8。該建模方法能較好地模擬機匣螺栓連接，并能有效避免實體薄層單元法所產生的機匣軸向位置偏移。虛擬薄層連接模型各階頻率偏低可能是虛擬薄層自身剛度偏低所致，后續可以對虛擬薄層的彈性模量進行調整，減小頻率誤差，提高連接模型的可靠度。