“模型”少一點 “積累”多一層

陳建洲 李玉榮 (江蘇省南京金陵中學河西分校 210019)

文[1]由一道幾何試題引發深度思考，給出了9個問題的解題分析，其中對問題1—3的求解引發了筆者的進一步思考：為何要那樣求解？有沒有更自然、適切的解法？深度思考的意義何在？在此與作者商榷.

問題1如圖1，在矩形ABCD中，CD=3，AD=4，在AD邊上取點E，H，在AC上取點F，作正方形EFGH，連結AG，點E′是點E關于AG的對稱點，AE′交BC于點P，則PC的長為.

圖1

圖1

圖2

又∠PAM=∠DAG=∠M，所以PA=PM，設PA=x，則BP=7-x.

圖3

解法4如圖4，延長GF交AB于點M，交AP于點N，則∠NAG=∠HAG=∠AGN，所以NA=NG.

圖4

評注 解法1—4添加的都是樸實的輔助線，構造出“角平分線+平行線=等腰三角形”等與角平分線有關聯的基本圖形，使用了面積法、勾股定理、相似三角形等基本計算工具，貼近學生思維發展區，解法自然、適切.

問題2如圖5，正方形ABCD中，AB=6，E是BC邊中點，將△ABE沿AE對折，使得點B與點F重合，AF與對角線BD交于點G，求線段GF的長．

圖5

分析 此題文[1]是利用之前探究的結論求解的，筆者以為作為解答題顯然不妥.有更自然的求解方法嗎？要求線段GF的長，只需求線段AG的長，需借助△AGB或△AGD求解，但條件暫時不足．注意到∠AFE=90°，于是有兩個基本思路：一是構造“一線三等角型”相似三角形；二是構造“雙垂直共角型”相似三角形，最后借助“X型”相似三角形求解.

解法1如圖5，過點F作MN⊥AD于點M，交BC于點N，則MN=AB=6，AM=BN.

解法2如圖6，延長AF,BC交于點H.

圖6

設FH=k，則BH=2k，EH=2k-3，AH=6+k，所以6+k=2(2k-3)，解得k=4，所以AH=10，BH=8.

解法3如圖7，延長AF交DC于點H，連結CF.

圖7

因為EF=BE=EC，所以∠EFC=∠ECF，可得∠HFC=∠HCF，所以CH=FH.

解法4[2]如圖8，延長AE,DC交于點H，延長AF交DC于點M.

圖8

易證△ABE≌△HCE，可得CH=AB=6，DH=12，∠BAE=∠EHC=∠HAM，所以AM=HM.

評注 筆者分別給出了問題1、問題2的4種解法，或許還有更多的解法可以探索，這不遠比套“公式”求解更能啟迪思維？

圖9

評注 這個解法無需添加輔助線，更無需套什么“公式”或“模型”，獨具匠心.

不知從何時起，應對考試的“模型”充斥數學課堂教學，如“豬蹄”模型、“手拉手”模型、“12345”模型……讓人眼花繚亂，教學年歲較長的教師甚至聞所未聞、莫名其妙.《義務教育數學課程標準(2011年版)》明確指出：“課程內容的組織要重視過程，處理好過程與結果的關系.”基于此理念，曾經耳熟能詳的射影定理、相交弦定理、垂徑定理等重要定理在教材上都已刪去，那我們還有什么理由去編制所謂的模型(充其量也只能算基本圖形)讓學生去記憶、套用？解題是數學教師的最常見活動，學生學習數學更離不開解題，建立數學模型，對模型進行分析、求解，最終達到解決問題的目的無可厚非，甚至極為重要，但模型不能泛化，數學解題不能依賴并不常用的所謂“模型”或“結論”，更不宜在初中解題教學中大肆渲染一些遠離教材的“模型”甚至是超標的內容，美其名曰“拓展延伸”，實際上是加重了學生的學業負擔.泛化的模型等同于“拿來主義”：拿現成的“模型”去解難度大、思維含量高的數學題，表面上看解題過程簡化了，但失去的是更有價值的數學思維，實在得不償失.解題方法的教學理應遵循教材知識，執行課程標準，探尋貼近學生的發展區的自然解法，機械的“模型”或“結論”慎教、慎用，著力點應是強化過程性教學，讓學生更多地思考、探究，體驗獲取知識的樂趣，促進數學思維能力的提升，增效減負才能真正落到實處.

完稿之余，恰好看到廣東省2021年中考數學試卷第23題：

如圖11，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點．連結BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點G，求CG的長．

圖11

此題與問題2極為相似，考生該用什么樣的思路來求解呢？讀者自有分辨．