對一道平面向量模考題的探究與思考

華志遠 (江蘇省無錫市第一中學 214031)

在無錫市2021年秋學期高三期中考試中，第20題是一道以三角形為背景的平面向量試題．統(tǒng)計表明，該題難度系數僅為0.15，得滿分者更是寥若晨星．從題面上看，試題內容看似平實，實則內涵極為豐富；試題呈現方式簡潔，提出問題逐級深入；涉及知識綜合有度，方法靈活多樣；具有較強的探索性，深度檢測了數學素養(yǎng)，充分體現了新高考評價體系的精神，即把關鍵能力作為高考評價的核心指標和因素．從題干上看，本題從三角形的基本量和點線的位置關系出發(fā)，通過引入向量語言，使數與形有機結合．第(1)問是求兩條線段的比值，屬于幾何問題；第(2)問是求兩個向量數量積的最小值，屬于代數問題，從而使試題具有較強的探索性和開放性，學生可以從平面向量的多個維度尋找解題突破口，并利用向量共線定理進行轉化，而數量積的最值可利用基本不等式或求導獲得答案．由于學生解答情況較差，因此我們對本題作重新研究、評估和反思．本文試圖通過探索該題的命題背景，嘗試一般的解題策略，依托數學思想方法，引領學生走出思維誤區(qū)，以發(fā)展學生的能力和素養(yǎng)．

1 試題及背景分析

試題

在△

ABC

中，已知為

BC

的中點，

E

為邊

AB

上的一個動點，

AD

與

CE

交于點

O

．設

(1)若求的值；

(2)求的最小值．

分析

從幾何維度去分析，本題第(1)問求兩線段的比值，容易想到構造相似三角形求解，因

D

是

BC

的中點，故可以取

CE

的中點

F

，則

DF

∥

BE

，且(圖1)．再由△

ODF

∽△

OAE

，得到的值，進而求得的值．事實上，若將△

BEC

看成被直線

AD

所截，則由梅涅勞斯定理可直接得出結論，這正是這道試題的平面幾何背景．

圖1

從向量維度去分析，本題首先可以選定一組基向量然后將

C

,

O

,

E

和

A

,

O

,

D

三點共線轉化為向量的共線，再利用共線向量定理進行轉化．也可以利用三點共線的一個重要模型，即以為基向量，則

C

,

O

,

E

三點共線的充要條件是其中

λ

+

μ

=1，從而實現解題目標．從建系維度去分析，根據三角函數定義，應以

A

為原點，

AB

為

x

軸，這樣有利于寫出各個點的坐標，從而將向量問題轉化為坐標的代數運算．

2 解法探究

(1)

解法1

(利用相似三角形性質)由題設，得取

CE

的中點

F

，連結

DF

，則

DF

∥

BE

，且由△

ODF

∽△

OAE

，得于是

解法2

(利用梅涅勞斯定理)在△

BEC

中，直線

AD

與三邊所在直線分別相較于

O

,

A

,

D

，得由條件得故

解法3

(利用基向量法)由

C

,

O

,

E

三點共線，可設即得同理，可設由此得解得所以

解法4

(利用重要模型)設因故由

C

,

O

,

E

三點共線，可設由得于是故即

解法5

(建立坐標系法)以

A

為坐標原點，

AB

為

x

軸，建立直角坐標系(圖2)．由三角函數的定義得的中點設

O

(

x

,

y

)，由而故解得設解得

λ

=4，于是

圖2

解法6

(利用解析幾何法)建系寫坐標與解法5類似，只是在求點的坐標時，由直線及直線求得它們的交點坐標再利用距離公式，求得(2)

解法1

(與(1)中解法1類似)由題意，得

AE

=2

x

，

BE

=2-2

x

，

DF

=1-

x

．由△

AOE

∽△

DOF

，得故于是從而令

x

+1=

t

，由

x

∈[0,1]，得

t

∈[1,2]．于是當且僅當即時，的最小值為-4．

解法2

(與(1)中解法3類似由(1)中解法3得解得代入上式，得設則令

f

′(

x

)=0，得故當時，

f

′(

x

)<0，

f

(

x

)在上單調遞減；當時，

f

′(

x

)>0，

f

(

x

)在上單調遞增，故當時，

f

(

x

)有極小值，也是最小值.由得的最小值為-4．

解法3

(與(1)中解法4類似由

C

,

O

,

E

三點共線，得于是后面同上．

解法4

(與(1)中的解法5、6類似)設

O

(

x

,

y

)，

E

(2

x

,0)，則由得解得(也可用解析幾何求交點的方法求得答案)．于是求得后面同上．

3 解法評價

數學解題中，不同的思維視角對解題的長度、邏輯推理及數學運算產生較大影響，其中確立思維的起點最為重要．以《平面向量》一章為例，通常可以從幾何法、基向量法、坐標法、數量積等作為思維的開啟，在解題目標的驅使下作合理的選擇、調整和實施．如本題若從圖形上加以整體分析，則利用平面幾何知識，可使解題顯得一氣呵成、簡潔明了，這對學生的直觀想象素養(yǎng)提出了要求；若從向量角度思考，則要選好基向量，并通過其線性運算，結合向量的共線找到其中的內在聯系，但由于本題圖形中涉及的點線較多，許多學生解題時產生了“原地打轉”的現象，思維缺乏進階；若從坐標法去分析思考，則關鍵要建立適當的坐標系，寫出相關點及向量的坐標，同時對數學運算的目的性、條理性及準確性提出了較高的要求．由此可見，只有讓學生形成大單元的視野，掌握主干知識結構和體系，依據數學思想方法，才能自然地找到思維的起點，并在思維導圖的引領下，實現解題的目標．從考試卷面上看，首先眾多學生面對問題無所適從，因而零分率超過60%，說明在復習教學中，學生的認知體系構建存在不足；其次是解題的目標意識不強，在探尋結論與條件的關系時，找不到中間轉化的量(線段長、向量或坐標)，從而使思維受挫；再次是邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學素養(yǎng)有待進一步提高，尤其是利用坐標法求解的學生，無論從坐標系的建立，還是運算的正確率都有待加強．

4 走出解題困境

著名數學及教育家G·波利亞在《怎樣解題》一書中，將數學解題分為四個步驟，即審題聯想、擬定計劃、實施解答和回顧反思．審題聯想是從宏觀上要求解題者理解題意，弄清條件與結論，并產生有效聯想，從而找到解題目標，其中包括信息的獲取與檢索、題目與知識的關聯性以及思維起點的確立等；擬定計劃是從中觀上要求解題者在明晰方向后，形成具有可操作性的解題步驟，即從條件與結論的聯系出發(fā)，運用數學思想方法作引領，盡量將復雜的、陌生的問題化歸為簡單的、熟悉的問題；實施解答是從微觀層面上動手操作，要求解題者利用數學知識和通性通法，進行有條理的推理和演算，并在解題過程中加以監(jiān)控、調整和優(yōu)化；回顧反思則是指既要總結解題成功的經驗，又要反思解題失敗的教訓，并從認識論、方法論、價值論的維度加以提煉，促進解題者理性思維的發(fā)展，從而不斷積累數學活動經驗，提高“元認知”能力．以這道模擬考題為例，如果我們從這一解題理論去指導學生分析和解決問題，那么對學生構建《平面向量》一章的認知結構、優(yōu)化思維品質、提升關鍵能力，都會起到積極的引領作用．