高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧

關(guān)廣嚴(yán)

(安徽省界首中學(xué) 236500)

解答高中數(shù)學(xué)立體幾何習(xí)題時(shí)注重相關(guān)解題技巧的應(yīng)用可少走彎路，有效地提升解題能力，因此教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)注重為學(xué)生講解相關(guān)的解題技巧，尤其應(yīng)展示相關(guān)解題技巧在解題中的具體應(yīng)用.

1 分類討論法解題

解答立體幾何習(xí)題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，充分理解題意，認(rèn)真考慮滿足題干的所有可能，畫出相關(guān)的草圖輔助分析，尤其注重分類討論法的應(yīng)用，確保考慮問題的全面性.

分析根據(jù)題干描述無法判斷點(diǎn)C1在直線AB上的具體位置，因此，需要進(jìn)行分類討論.

因?yàn)椤螧AC=90°，所以AC⊥AB.

而AC⊥BC1，且AB∩BC1=B，則AC⊥平面ABC1.所以平面ABC⊥平面ABC1.

故點(diǎn)C1在平面ABC上的射影在直線AB上.

過點(diǎn)C1作C1H⊥BA于點(diǎn)H，設(shè)C1H=x.

2 向量法解題

運(yùn)用向量法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，能彌補(bǔ)空間想象力不足的缺陷.運(yùn)用向量法解答立體幾何習(xí)題時(shí)為降低計(jì)算復(fù)雜度應(yīng)注重構(gòu)建合理的空間直角坐標(biāo)系.

圖1

(1)證明：AD⊥平面CC1D1D；

則△D1DC1為直角三角形，DC1⊥DD1.

而平面AA1D1D⊥平面CC1D1D，且DD1為兩平面的交線，因此，DC1⊥平面AA1D1D，則AD⊥DC1.

又因?yàn)锳D⊥CD，所以AD⊥平面CC1D1D.

(2)連接A1C1，以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系.

圖2

由A1D1⊥平面CC1D1D，

則A1C在平面CC1D1D內(nèi)的射影為D1C.

則A1C和平面CC1D1D所成的角為∠A1CD1.

在Rt△A1CD1中，易得A1D1=3.

設(shè)m=(x，y，z)為平面AA1D1D的法向量，

設(shè)n=(a，b，c)為平面AA1C1C的法向量，

由圖2可知，二面角C-AA1-D為銳二面角，

3 轉(zhuǎn)化法解題

解答立體幾何習(xí)題無法采用正向思路進(jìn)行推理時(shí)可采用轉(zhuǎn)化法間接求解相關(guān)參數(shù)，尤其在求解點(diǎn)到平面之間的距離問題時(shí)可通過等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將距離問題轉(zhuǎn)化為求解平面圖形的面積問題.

圖3

(1)求證：DE∥平面SAB；

(2)求點(diǎn)S到平面AEB的距離；

分析(1)取BC的中點(diǎn)為點(diǎn)F，連接DF，EF，因?yàn)椤螦DC=2∠BCD=120°，而∠ADC+∠BCD=180°，所以AD∥BC.

由三角形中位線可得EF∥SB，且EF∩DF=F.

所以平面DEF∥平面SAB.

所以DE∥平面SAB.

(2)如圖4，取SB的中點(diǎn)P，連接EP，

圖4

因?yàn)椤蟂AB=∠BAD=90°，平面SAB⊥平面ABCD，所以AD⊥平面SAB.

所以EP=AD，PE⊥平面SAB.

即VS-ABE=VE-SAB.

因?yàn)锳B∥DF，∠BDC=60°，

4 割補(bǔ)法解題

割補(bǔ)法是解答高中立體幾何題的常用方法.當(dāng)題干中給出的立體幾何圖形是不規(guī)則的,可通過針對(duì)性地隔開或者添加使其成為規(guī)則的圖形，更加直觀地展示點(diǎn)線面之間的關(guān)系，化難為易.

設(shè)△BCD外接圓半徑為r，則

因?yàn)锽D⊥AD，CD⊥AD，BD∩CD=D，

所以AD⊥面BCD.

圖5

則外接球的表面積S=4πR2=21π.

5 函數(shù)法解題

求解立體幾何有關(guān)最值問題時(shí)運(yùn)用函數(shù)法有時(shí)可獲得事半功倍的良好效果.解題時(shí)需要運(yùn)用所學(xué)的立體幾何知識(shí)構(gòu)建相關(guān)參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)，確定函數(shù)取得最大值時(shí)某參數(shù)具體的值.

例5如圖6，已知ABCD為矩形，AB=a，BC=2a，AD的中點(diǎn)為點(diǎn)E，將△ABE沿BE翻折到△A′BE的位置，翻折過程中點(diǎn)A′不在平面BCDE內(nèi)時(shí)，記二面角A′-DC-B的平面角為α，則當(dāng)α最大值時(shí)，cosα的值為____.

圖6

因?yàn)锳B=a，BC=2a，AD的中點(diǎn)為點(diǎn)E，

所以AF⊥BE.則A′O⊥BE.

則二面角A′-BE-C的平面角為∠A′OF.

高中數(shù)學(xué)立體幾何解題技巧較多,為使學(xué)生更好地掌握，并在解題中靈活應(yīng)用，既要注重解題技巧的講解與展示，要求學(xué)生做好聽課總結(jié)，又要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自身學(xué)習(xí)實(shí)際開展針對(duì)性地訓(xùn)練活動(dòng)，親身體會(huì)解題技巧的具體應(yīng)用細(xì)節(jié)以及注意事項(xiàng)，積累豐富的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，提升立體幾何解題水平.