基于線性位移模式的環(huán)形諧振子理論研究

裴永樂，高立民，徐 亮，李 華，李曉輝，李錄賢

(1.中國科學院西安光學精密機械研究所，西安 710119；2.西安交通大學航天航空學院，機械結(jié)構(gòu)強度與振動國家重點實驗室,飛行器環(huán)境與控制陜西省重點實驗室，西安 710049)

0 引言

諧振陀螺又稱為固體波動陀螺，是一種利用諧振子的駐波進動效應測量基座旋轉(zhuǎn)的無轉(zhuǎn)子式陀螺儀。由于其結(jié)構(gòu)簡單、精度高、體積小、能耗小、工作溫度范圍大等顯著優(yōu)點，被廣泛應用于航空、航天、航海、地面定位等領域。經(jīng)典的諧振陀螺主要包括諧振子、基座以及激勵組件等部件(有些也可將基座與激勵組件整合在一起)，如圖1所示。其中，諧振子是諧振陀螺的敏感部件，也是諧振陀螺的核心部件，通常情況下，諧振子有兩種典型結(jié)構(gòu)類型：簡化環(huán)型和旋轉(zhuǎn)薄殼型(如半球諧振子、鐘形諧振子等)。由于環(huán)形諧振子與旋轉(zhuǎn)薄殼型諧振子具有相同的四波腹振型和相似的動力學特性，可以用環(huán)形諧振子的模型來簡化研究半球諧振子唇緣的動態(tài)特性。

圖1 諧振陀螺結(jié)構(gòu)示意圖

經(jīng)典的環(huán)形諧振子理論是基于彈性力學理論以及幾何中性軸(或稱中心線)不可拉伸假設建立的(見式(1)之二式)。如圖2所示，對于環(huán)形結(jié)構(gòu)，建立極坐標系-，和分別為環(huán)形結(jié)構(gòu)幾何中心線(中性軸)的曲率半徑和特征長度，撓度(,)的控制方程及相關約束條件為

圖2 環(huán)形結(jié)構(gòu)及坐標系示意圖

(1)

(2)

然而，在目前經(jīng)典環(huán)形諧振子理論中,仍存在許多不足之處：1)經(jīng)典理論對應的撓度控制方程式不能精確描述環(huán)形結(jié)構(gòu)的靜態(tài)彎曲問題；2)對于動態(tài)響應問題，基于經(jīng)典理論獲得的理論解式(2)不能精確反映結(jié)構(gòu)特征尺寸(如高度、曲率半徑等)對動態(tài)響應的影響規(guī)律(特別是進動系數(shù)和二階振動角頻率)；3)經(jīng)典理論也未充分考慮環(huán)形結(jié)構(gòu)上、下表面剪應力自由條件。

因此，為了克服上述不足，本文從環(huán)形結(jié)構(gòu)的基本假設和基本條件出發(fā)，系統(tǒng)地開展環(huán)形諧振子結(jié)構(gòu)靜、動態(tài)問題的理論研究。

1 環(huán)形結(jié)構(gòu)問題的數(shù)學描述

根據(jù)文獻[9-10]，建立坐標系-，如圖2所示。對于一個環(huán)形結(jié)構(gòu)問題，可近似看成是一個平面應力問題。因而，三維彈性理論中6個應力分量減少到3個(即、和)；3個獨立的位移分量減少到2個(即和)。對于環(huán)結(jié)構(gòu)問題，通常還進一步采用如下2個廣義位移定義以及基本概念。

1.1 廣義位移的定義

(3)

其中，表示環(huán)橫截面的面積;為環(huán)截面的拉伸剛度，其含義為

(4)

1.2 基本概念和基本假設

對于環(huán)結(jié)構(gòu)問題，通常還進一步采用如下2個基本假設和1個基本條件。

基本假設1：徑向正應力相對和較小，因而在環(huán)結(jié)構(gòu)中忽略不計(即=0)；其余2個應力與應變之間滿足退化的胡克(Hooke)定律，即

(5)

其中，和分別為截面上的正應變和剪應變；及分別表示材料的彈性模量和剪切模量，進而幾何關系可以表示為

(6)

基本假設2：徑向正應變恒等于零，即

=0

(7)

其含義為

??=0

(8)

式(8)表明,徑向位移只是的函數(shù)，不隨著高度坐標發(fā)生變化。

基本條件1：上、下表面剪應力自由條件。

根據(jù)基本假設1中式之二式，剪應力自由條件等價于

(,±2,)=0

(9)

1.3 位移模式及本構(gòu)關系

對于環(huán)形結(jié)構(gòu)，假設其位移模式為以下線性形式

(10)

其中，“′”表示物理量對周向坐標的一階偏導數(shù)。顯然，上述位移模式滿足式(9)(即上、下表面剪應力自由條件)。將式(10)代入幾何關系式(6)可得

(11)

對于環(huán)結(jié)構(gòu)問題，其廣義應力的定義如下

(12)

其中，和分別為周向拉力和彎矩。

根據(jù)本構(gòu)關系式(5)和幾何關系式(11)，可得環(huán)結(jié)構(gòu)的廣義本構(gòu)關系為

(13)

并且

(14)

2 環(huán)形結(jié)構(gòu)的靜態(tài)彎曲問題

彎曲問題是環(huán)形結(jié)構(gòu)靜力學的基本問題，目前已有許多學者進行了系統(tǒng)的研究，但是仍然沒有獲得精度很高、形式簡單的解析解。因此，這一節(jié)重點研究圓環(huán)結(jié)構(gòu)的靜態(tài)彎曲問題。

2.1 靜態(tài)彎曲問題的基本理論

根據(jù)環(huán)結(jié)構(gòu)的虛功原理，可得

0=δ+δ

(15)

其中，()為幾何中心線上的載荷分布函數(shù)。

(16)

將式(13)和式(14)代入式(16)，平衡方程為

(17)

相應的邊界條件為

(18)

當對于整個圓環(huán)結(jié)構(gòu)進行分析時，取=2π，此外，還需要充分考慮環(huán)結(jié)構(gòu)的連續(xù)性條件(或周期性條件)，從而保證計算結(jié)果的準確性。從環(huán)結(jié)構(gòu)的物理意義上講，環(huán)結(jié)構(gòu)的連續(xù)性條件可表述為

(19)

2.2 靜態(tài)彎曲問題的理論解

對于環(huán)結(jié)構(gòu)彎曲問題，根據(jù)式(13)、式(14)和式(16)，有

″+=()

(20)

即

(21)

(22)

根據(jù)式(16)中第一式，可得

(23)

根據(jù)式(22)和式(23)，消去變量()可得

(24)

(25)

求解式(24)，可得

dd++

(26)

根據(jù)式(22)和式(26)，可得撓度()的分布為

(27)

根據(jù)式(26)及式(27)可知，對于靜態(tài)彎曲問題，本文理論中有6個邊界條件可唯一確定上述6個待求系數(shù)，因此環(huán)結(jié)構(gòu)彎曲問題從數(shù)學意義上講是完備的。

3 環(huán)形結(jié)構(gòu)的動態(tài)問題

環(huán)形諧振子結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應問題(如駐波進動效應、振動頻率等問題)，一直是諧振陀螺領域的重要研究內(nèi)容。因此，本節(jié)基于上述廣義幾何關系、本構(gòu)關系及哈密頓原理，對環(huán)形結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應問題進行系統(tǒng)的研究。

3.1 動態(tài)問題的基本理論

對于緩慢、勻速轉(zhuǎn)動過程中的環(huán)形諧振子結(jié)構(gòu)，根據(jù)環(huán)結(jié)構(gòu)的哈密頓原理，可得

(28)

其中

(29)

并且，和分別代表環(huán)結(jié)構(gòu)中心軸處的周向速度和徑向速度。

(30)

其中

(31)

至此，建立了環(huán)形結(jié)構(gòu)動態(tài)問題的控制方程，這對于求解環(huán)形諧振子的動態(tài)響應問題具有重要的指導作用。此外，環(huán)形結(jié)構(gòu)的連續(xù)性(周期性)條件可一般地表述為

(32)

3.2 動態(tài)問題的理論解

二階(角)頻率及進動系數(shù)是諧振陀螺的重要動態(tài)響應參數(shù)，因此需要重點研究。為了獲得環(huán)形結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應問題的理論解，同樣引入幾何中性軸(或稱中心線)不可拉伸假設，考慮式(10)和式(1)之二式，從而有

(33)

即

(34)

(35)

其中，()和()為分布函數(shù)，并且該分布自動滿足周期性條件(見式(32))。

將式(33)和式(35)代入平衡方程式(30)，利用布勃諾夫-伽遼金法整理可得

(36)

其中

(37)

進而，進動系數(shù)和二階角頻率的理論解為

(38)

4 典型問題的求解與分析

為了減少諧振子在工作過程中的能量損耗，環(huán)形諧振子往往選用熔融石英材料，其相關力學參數(shù)如下：密度=2200kg/m，彈性模量=76.7GPa及泊松比=017。基于該材料的力學屬性，本文對環(huán)形諧振子的靜態(tài)彎曲問題和動態(tài)響應問題進行了求解與分析。

4.1 彎曲問題求解及分析

為了驗證本文環(huán)問題的基本理論和解析求解方法的正確性，本小節(jié)對兩端(即=0及=π處)受簡支條件約束、均布載荷()=作用的環(huán)形結(jié)構(gòu)彎曲問題進行分析。考慮上述彎曲問題的對稱性，本文取二分之一圓環(huán)結(jié)構(gòu)進行分析(即=π)，如圖3所示。根據(jù)式(18)，上述彎曲問題的邊界條件可進一步描述為

圖3 環(huán)形結(jié)構(gòu)受均布載荷示意圖

(39)

(a) 當L/h=10及L/h=20時

根據(jù)圖4可知，對于上述彎曲問題，隨著長高比的增加，撓度的最大值在不斷減小，這是由于的增加，引起了整體結(jié)構(gòu)剛度不斷減小的緣故。與此同時，在長高比分別為10、20、50和100的工況下，本文理論獲得解析解與Timshenko理論的解在整個區(qū)域內(nèi)一致性十分好，并且具有良好的對稱性，這些都充分證實了本文環(huán)形結(jié)構(gòu)理論和解析求解方法的準確性。

令人遺憾的是，經(jīng)典環(huán)形諧振子理論是不能求解靜態(tài)彎曲問題的。根據(jù)經(jīng)典環(huán)形諧振子的撓度控制方程式(1)，撓度控制方程可簡化為

,+2,+,=0

(40)

顯然，上述撓度控制方程無法充分反映結(jié)構(gòu)特征尺寸、以及材料屬性對環(huán)形結(jié)構(gòu)彎曲問題的影響。事實上，造成這一問題的根本原因在于，沒有厘清經(jīng)典環(huán)形諧振子理論的基本條件(和假設)與理論求解的簡化條件(幾何中心線不可拉伸假設)之間的區(qū)別。在經(jīng)典環(huán)形諧振子理論建立時，過早地將幾何中心線不可拉伸假設作為約束條件引入；從數(shù)學意義上講，該假設條件只是為獲取理論解而引入的一個簡化求解條件，并非是環(huán)形諧振子理論建立的基本假設(或條件)。

為克服經(jīng)典理論不能求解環(huán)結(jié)構(gòu)彎曲問題的不足，本文從環(huán)結(jié)構(gòu)的基本假設和基本條件出發(fā)，根據(jù)虛功原理(或哈密頓原理)，建立了環(huán)結(jié)構(gòu)彎曲問題的基本理論，獲得的平衡方程可以精確求解環(huán)結(jié)構(gòu)的彎曲問題，見式(17)或式(30)左側(cè)項。因此，從這一方面來說，本文的環(huán)形諧振子理論具有更廣泛的適用性。

4.2 動態(tài)響應求解及分析

圖5 二階角頻率ω2隨h/r的變化規(guī)律

根據(jù)圖5可知，對于二階無量綱彎曲角頻率，利用經(jīng)典環(huán)形諧振子理論獲得的計算結(jié)果為恒定值，而基于本文理論的計算結(jié)果不再為恒值，并且隨著的增大，對應的無量綱頻率在一定的小范圍內(nèi)不斷減小，在=02時頻率值降低了約0.3%，這也是基于本文理論首次獲得的結(jié)果。此外，與有限元結(jié)果相比，盡管本文理論與經(jīng)典理論的結(jié)果都會有一定偏差，這主要是因為本文理論與經(jīng)典理論都忽略了環(huán)結(jié)構(gòu)橫向剪切效應所致；但是，相較于經(jīng)典理論的結(jié)果，基于本文理論的解更接近于有限元分析的結(jié)果(最大相對誤差小于1.4%)，這也證實了本文的計算結(jié)果具有更高的準確性。

另一方面，本文還研究了環(huán)形諧振子進動系數(shù)的分布規(guī)律。根據(jù)式(2)和式(38)，可獲得進動系數(shù)隨的變化規(guī)律，如圖6所示。同樣地，與經(jīng)典環(huán)形諧振子理論的計算結(jié)果不同，本文獲得的進動系數(shù)值不再恒為0.4，而是隨著的增大，對應的進動系數(shù)在一定的小范圍內(nèi)不斷減小，當=0.2時，進動系數(shù)值降低了約0.5%(降低至0.398)，這也是本文研究的另一重要理論結(jié)果。

圖6 進動系數(shù)K隨h/r的變化規(guī)律

事實上，對于環(huán)形結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應問題(即二階角頻率和進動系數(shù))，對比了經(jīng)典理論與本文新理論計算結(jié)果之間的差異，根據(jù)式(2)和式(38)，建立兩種理論解之間的聯(lián)系如下

(41)

5 結(jié)論

本文從經(jīng)典環(huán)形諧振子理論出發(fā)，揭示了經(jīng)典理論中的不足。然后，基于環(huán)結(jié)構(gòu)問題研究的基本假設和基本條件(即上、下表面剪應力自由條件)，根據(jù)線性位移模式假設、廣義位移的定義、幾何關系和本構(gòu)關系，獲得了環(huán)結(jié)構(gòu)的廣義本構(gòu)關系，利用虛功原理和哈密頓原理，建立了新的環(huán)結(jié)構(gòu)理論，包括平衡方程、邊界條件、連續(xù)性條件等。同時，推導了典型環(huán)結(jié)構(gòu)彎曲問題的解析求解方法及動態(tài)問題的理論解。最后，針對典型的環(huán)形結(jié)構(gòu)靜、動態(tài)問題，利用本文的新理論及求解方法，通過與其他理論及有限元法的結(jié)果進行對比，證明了本文的環(huán)形諧振子理論和求解方法的準確性，并剖析了經(jīng)典諧振子理論中缺陷產(chǎn)生的原因。

本文得出的主要結(jié)論如下：

1)本文獲得的環(huán)形諧振子結(jié)構(gòu)的相關理論及求解方法，不僅可以求解動態(tài)響應問題，還可以求解靜態(tài)彎曲問題；

2)本文獲得的環(huán)形諧振子結(jié)構(gòu)的二階彎曲角頻率理論解，不僅形式簡單，而且更接近有限元分析結(jié)果；

3)環(huán)形諧振子的進動系數(shù)事實上不是恒定的，其值會隨著結(jié)構(gòu)尺寸的差異在0.4附近很小范圍內(nèi)變化，并且進動系數(shù)的大小與材料的力學屬性(如彈性模量、密度及泊松比)無關。

此外，本文的環(huán)形諧振子理論對于高精度諧振陀螺的設計及模型誤差分析(如品質(zhì)因數(shù)不均勻、供電電壓不穩(wěn)等因素引入的誤差)等研究，具有重要的工程意義和學術(shù)價值。