不同時(shí)間尺度徑流的多重分形特征解析

劉樹鋒，關(guān) 帥，陳記臣

(1.廣東省水利水電科學(xué)研究院，廣東 廣州 510635；2.河口水利技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510635；3.廣東省水動(dòng)力學(xué)應(yīng)用研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東 廣州 510635)

0 引 言

由于受到人類活動(dòng)、氣候、地質(zhì)地貌等因素的影響，徑流時(shí)間序列變化過程呈現(xiàn)出復(fù)雜的非線性特征，探索徑流的非線性特征成為水文學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。關(guān)于徑流時(shí)間序列非線性特征的研究，較早從混沌和分形角度進(jìn)行。如：1987年Hense等[1]最早在水文領(lǐng)域中引入了混沌分析方法；Sivakumar等[2]于2001年分析了瑞典南部Gta河流域131年(1807年1月～1937年12月)的月降雨量和月徑流量序列存在混沌現(xiàn)象；Xu等[3]于2008年以阿拉爾水文站1958年～2005年的時(shí)間序列資料為基礎(chǔ)，運(yùn)用分形理論，揭示了塔里木河干流年徑流過程的分形特征。為了能反映徑流時(shí)間序列的真實(shí)特性，需考慮它們的多層次結(jié)構(gòu)，而傳統(tǒng)的方法難以分析徑流時(shí)間序列非線性的多層次結(jié)構(gòu)。因此，相關(guān)學(xué)者結(jié)合多重分形理論，來描述徑流時(shí)間序列的多層次結(jié)構(gòu)。近年來，多重分形理論作為分形幾何領(lǐng)域的一個(gè)主要發(fā)展方向，在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、網(wǎng)絡(luò)交通、通訊和圖象處理、水文學(xué)等許多學(xué)科和領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用[4-7]。如：Labat等[8]基于巖溶流域的高度非線性和非平穩(wěn)系統(tǒng)，分析了皮雷內(nèi)埃斯山脈(法國(guó)阿里日)的3個(gè)法國(guó)巖溶泉(Aliou、Baget和Fontestorbes)上測(cè)得的降雨和徑流的多重分形分析特征；Kantelhardt等[9]討論了大時(shí)間尺度上降水和河流流量的多重分形特性；Wang等[10]以洪水時(shí)間序列為研究對(duì)象，解析武江流域洪峰流量、洪水總量、最大24 h洪量、最大48 h洪量和最大72 h洪量的多重分形特征；袁曉輝等[11]采用多重分形消除趨勢(shì)波動(dòng)分析法，分析了長(zhǎng)江流域某水文站的月徑流序列；張姝琪等[12]運(yùn)用非參數(shù)檢驗(yàn)法分析了咸陽站等7個(gè)站點(diǎn)年徑流序列非平穩(wěn)性波動(dòng)特征。流量作為徑流常用的表示方法，本文以錦江流域?yàn)閷?duì)象，分析年尺度和月尺度的流量時(shí)間序列的多重分形這一內(nèi)在典型特征。通過對(duì)流量時(shí)間序列內(nèi)在微觀分形特征進(jìn)行分析，揭示其演變規(guī)律，為徑流的預(yù)測(cè)、利用和管理提供合理判據(jù)和科學(xué)依據(jù)。

1 研究區(qū)域簡(jiǎn)介

錦江是珠江水系北江里湞江的西源，發(fā)源于湖南省萬時(shí)山。流向自北而南，縱貫全縣，在細(xì)瑤山出仁化縣境，至韶關(guān)市曲江區(qū)白芒壩匯入湞江，錦江流域水系圖見圖1。干流長(zhǎng)度為108 km，集雨面積為1 913 km2，主流平均比降0.171%，多年平均流量44.55 m3/s。錦江流域?qū)僦衼啛釒夂騕13]，受季風(fēng)和地形的影響較大，多年平均降雨量為1 611.0 mm，年最大降雨量2 060 mm(發(fā)生在1959年)，年最小降雨量1 117.4 mm(發(fā)生在1967年)，年平均降雨天數(shù)153 d，多年平均水面蒸發(fā)量為1 340 mm，多年平均陸地蒸發(fā)量為704.8 mm。本研究選取錦江流域作為研究對(duì)象，分析該流域1967年～2018年共52年的年、月平均流量分形特征。

圖1 錦江流域示意

2 研究方法

多重分形，又叫多標(biāo)度分形，由Mandelbrot[14]在研究湍流時(shí)首次提出。多重分形通過一個(gè)譜函數(shù)來描述分形結(jié)構(gòu)上不同的局域條件、或在演化過程中不同層次所導(dǎo)致的概率在整個(gè)集合上的分布狀況，是從系統(tǒng)的局部出發(fā)來研究其整體的特征，并借助統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的方法來討論特征參量的概率測(cè)度的分布規(guī)律[15]。

冪譜是研究分形的重要工具，根據(jù)冪譜與頻率之間的關(guān)系式

E(ω)∝ω-β

(1)

若時(shí)間序列的冪譜與冪率logE(ω)與log(ω)之間成正比關(guān)系，則表明該時(shí)間序列具有無標(biāo)度性。把滿足冪率的頻率區(qū)間及相應(yīng)的時(shí)間區(qū)間稱位無標(biāo)度區(qū)間，在無標(biāo)度區(qū)間內(nèi)，研究的對(duì)象具有無標(biāo)度性，即存在自相似性，表明局部與整體在形狀、性質(zhì)或功能等方面是相似的。

從信息論角度，當(dāng)r→0時(shí)，得到

Iq(r)=Cr-(1-q)Dq

(2)

通過Legender變換得到

(3)

當(dāng)時(shí)間序列的過程是多重分形過程時(shí)，則配分函數(shù)M(λ，q)隨著時(shí)間標(biāo)度λ的變化服從如下的冪律關(guān)系

M(λ，q)∝λτ(q)

(4)

式中，τ(q)為尺度函數(shù)(又稱為“質(zhì)量指數(shù)”)，可通過對(duì)雙對(duì)數(shù)函數(shù)圖lnM(λ，q)～lnλ中的點(diǎn)進(jìn)行最小二乘法擬合得到，且尺度函數(shù)τ(q)有如下性質(zhì)：①τ(q)是一個(gè)凹函數(shù)；②當(dāng)q=0時(shí)，所有尺度函數(shù)具有相同的截距τ(0)=-1；③τ(q)是q的非線性函數(shù)。

根據(jù)τ(q)計(jì)算出奇異標(biāo)度指數(shù)α和多重分形譜函數(shù)f(α)

(5)

對(duì)于存在多重分形結(jié)構(gòu)的時(shí)間序列，奇異標(biāo)度指數(shù)α(q)則是q的非線性的、遞減的函數(shù)。其中，Δα=αmax-αmin在統(tǒng)計(jì)意義上反映了序列變化的程度和范圍，Δα越大，說明時(shí)間序列分布越不均勻，波動(dòng)幅度較大；若Δα=0，屬于完全均勻的分布狀況。而Δf(α)=f(α)左-f(α)右，當(dāng)|Δf(α)|越大，表明該時(shí)間序列分布越不均勻，波動(dòng)行為就越混亂。若Δf(α)>0，奇異譜曲線為左鉤型；若Δf(α)<0，則奇異譜曲線為右鉤型。

3 結(jié)果與分析

根據(jù)冪譜與頻率之間的關(guān)系式，本文首先解析錦江流域年、月平均流量的logE(ω)與log(ω)之間是否為正比關(guān)系；再進(jìn)一步分析錦江流域年、月平均流量在其無標(biāo)度范圍內(nèi)的多重分形性，分析結(jié)果如圖2所示。

圖2 年平均流量的冪譜與頻率關(guān)系曲線

圖2表明錦江流域的年平均流量的冪譜與頻率之間的曲線成正比關(guān)系，且logE(ω)與log(ω)的正比系數(shù)的絕對(duì)值為：1.933 9，即年平均流量的β值，說明錦江流域年平均流量具有無標(biāo)度性。相似地，得出錦江流域各月流量的β值(見表1)。

表1 各月流量的冪譜與頻率關(guān)系式中的 β值

表1說明，錦江流域各月流量時(shí)間序列的β值均大于1.670 0。這表明錦江流域各月流量過程的時(shí)間序列具有無標(biāo)度性。

本文進(jìn)一步分析錦江流域年平均流量和月平均流量的配分函數(shù)，據(jù)此可判斷錦江流域年平均流量是否具有多重分形的特性，錦江流域年、月平均流量的配分函數(shù)圖見圖3和圖4。

圖3 年平均流量的log(λ)～log(xq(λ))關(guān)系曲線

圖3和圖4為q取不同值時(shí)log(λ)～log(xq(λ))的曲線簇，說明：當(dāng)log(λ)<-0.55時(shí)，若q<0，log(λ)～log(xq(λ))具有良好的線性關(guān)系，q>0存在微小的波動(dòng)，但整體上依舊以線性關(guān)系為主。而且隨著q的增加，線與線之間的距越來越窄，直線斜率明顯增大，表明錦江流域年平均流量和月平均流量具有多重分形特征。綜上所述，錦江流域的年、月時(shí)間尺度的流量過程時(shí)間序列在相應(yīng)的標(biāo)度范圍內(nèi)，具有多重分形的特征。

圖4 各月平均流量的log(λ)～log(xq(λ))關(guān)系曲線

對(duì)錦江流域年、月平均流量進(jìn)行多重分形分析，得到q～τ(q)曲線(見圖5)。

圖5表明錦江流域流量過程的q～τ(q)曲線為凹向q軸的曲線，q～τ(q)之間存在非線性關(guān)系，進(jìn)一步說明錦江流域流量過程的時(shí)間序列具有分形結(jié)構(gòu)特征；且τ(q)隨著階數(shù)q值的增加而增加，當(dāng)q>0時(shí)，τ(q)隨著階數(shù)q的增加的幅度變小。

圖5 錦江流域流量過程的q～τ(q)曲線

多重分形譜α～f(α)的關(guān)系圖，能反映一個(gè)時(shí)間序列局部和全局的奇異性。圖6和表2為錦江流域年、月平均流量的多重分析奇異譜分析結(jié)果。

圖6和表2說明，錦江流域年、月平均流量的α～f(α)曲線形狀均呈現(xiàn)左鉤型和右鉤型；且Δα越大，代表錦江流域流量過程分布越不均勻，波動(dòng)幅度越大。具體地：年平均流量序列的多重分形譜開口Δα=0.24為最小，說明年平均流量序列的波動(dòng)幅度較??；而9月平均流量序列的多重分形譜開口Δα=0.45為最大，說明9月平均流量序列的波動(dòng)幅度較大，表現(xiàn)出強(qiáng)烈的多重分形特征。同樣地，依據(jù)|Δf(α)|值，得到錦江流域年、月平均流量波動(dòng)行為混亂程度和奇異性由小到大的排序?yàn)椋?0月流量<6月流量<年平均流量<12月流量<7月流量<5月流量<2月流量<1月流量<4月流量<3月流量<8月流量<9月流量<11月流量。

圖6 錦江流域流量過程的多重分形譜

表2 錦江流域流量過程的多重分形譜函數(shù)的相關(guān)參數(shù)

4 結(jié) 論

本文通過多重分形方法，分析了錦江流域徑流時(shí)間序列的非線性特征，所取得的主要成果如下：

(1)過去52年的年時(shí)間尺度和月時(shí)間尺度的平均流量，均表現(xiàn)出明顯的多重分形特征。

(2)錦江流域12個(gè)月的月平均流量和年平均流量序列相比，年平均流量的波動(dòng)幅度最小，9月平均流量序列的波動(dòng)幅度較大，即9月平均流量表現(xiàn)出強(qiáng)烈的多重分形特征。

(3)錦江流域年、月平均流量波動(dòng)行為混亂程度和奇異性由小到大的排序?yàn)椋?0月流量<6月流量<年平均流量<12月流量<7月流量<5月流量<2月流量<1月流量<4月流量<3月流量<8月流量<9月流量<11月流量。錦江流域年、月平均流量的多重分形變化特征，表明錦江流域年、月平均流量時(shí)間序列具有較為復(fù)雜的混亂特性，這為錦江流域年、月平均流量的復(fù)雜性規(guī)律的解析提供依據(jù)。