圓柱矢量波函數的構建及其在圓柱波導中的應用

雒向東，海 波，趙宇杰，梁 曄

(1.蘭州城市學院 電子工程學院，甘肅 蘭州 730070； 2.《甘肅高師學報》編輯部，甘肅 蘭州 730070；3.蘭州城市學院 信息工程學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引言

近幾十年來，自Hansen首次引進矢量波函數來解決某些電磁場問題[1-3]，Stratton驗證了這些函數的有效性[4]，這些函數的使用方法進一步被Stratton、Morse、Feshbach等人推廣[5]，戴振鐸、宋文淼、魯述等就電磁理論中的并矢格林函數(DGF)也做了大量的研究[6-13]，使得DGF方法被廣泛地應用于電磁理論及工程的各個領域。毫無疑問，DGF現已成為電磁理論中的一個重要概念和解決問題的方法。用DGF方法解決各種電磁場工程問題，其關鍵在于求出DGF表達關系，因此DGF的研究和求解自然成為人們關注的熱點問題。由于不同的正交曲線坐標系的本征波函數的展開各有特殊性，使得DGF研究具有復雜性，國內外學者對此均作了大量研究，如對規則形狀波導、常用坐標系等問題已形成較一致的意見。但有些問題，如柱坐標系中的本征展開問題仍存在爭議，對該問題的報道也比較少[14-18]。本文就圓柱波導DGF的構建、正交歸一性質及其在圓柱波導中的應用做了詳細研究，其研究結論可為基于DGF方法解決電磁場工程等問題提供理論和技術支持。

1 構建具有離散本征值的圓柱矢量波函數

1.1 圓柱坐標系中的標量波函數

建立如圖1所示的圓柱波導示意圖。圓柱截面半徑為a，坐標變量用r、φ、z來表示。用pnm和qnm分別表示整階貝塞爾函數Jn(x)和該函數微商J′n(x)的根。

圖1 圓柱波導示意圖

首先研究齊次標量亥姆霍茲方程，從而得到柱坐標系的標量波函數。用分離變量法解標量波動方程：

(1)

(2)

設式(2)的解為：

Φ(r，φ，z)=R(r)Φ(φ)Z(z)。

(3)

對式(3)分離變量，得出的4個分量方程為：

Φ″+n2Φ=0，

(4)

(5)

(6)

(7)

式(4)和式(5)中的Φ和Z的解為諧函數，可能的取值分別為：

cosnφ，sinnφ，einφ，e-inφ(n=0，1，2，3，…)，

(8)

coshz，sinhz，eihz，e-ihz。

(9)

式(6)中，R是n階貝塞爾函數，方程解的形式為：

(10)

(11)

或者可寫成：

(12)

式(12)中，“+”表示沿z反方向傳播的波，“-”表示沿z正方向傳播的波，下標e、o分別表示函數為偶函數和奇函數。在圓波導內，假設波沿z軸方向導行，沿φ、r方向均為駐波，其基本波函數可表示為[19]：

(13)

式(13)中，除n=0的情況外，每一組分離常數對應兩種不同極化場的模式，稱為模式的極化簡并。

1.2 圓柱坐標系中的矢量波函數

基于圓柱坐標系中的標量波函數，定義兩類圓柱矢量波函數，它們在r=a時都滿足矢量狄里克雷邊界條件。

兩類圓柱矢量波函數定義為[6]：

(14)

其中，

(15)

(16)

其中，

(17)

兩組矢量波函數的全表達式為：

(18)

(19)

描述圓柱波導中的磁場，可采用的矢量波函數為：

(20)

(21)

函數M(h)和N(h)滿足下列關系[6]：

(22)

(23)

1.3 圓柱坐標系中矢量波函數的正交歸一性

圓柱矢量波函數具有正交性，可舉例證明如下：

(24)

要證明式(24)正交關系成立，首先討論下面積分：

(25)

將式(18)及(19)代入式(25)可得：

e-i(h-h′)zdV。

(26)

第一種情形：

(27)

(28)

第二種情形：

(29)

(30)

這兩種情形推證中都應用了以下公式[6]338：

(31)

在以上兩種情況的推證中，由于Jn(λa)=0，故I1=I2=0，所以有：

(32)

矢量波函數正交歸一關系總結如下(不再證明)：

(33)

(34)

(35)

式(34)和(35)中，δ0表示對n的克羅內克δ函數。式中體積分是對無限長波導的整個區域的積分，當n≠n′時，在φ域中所有圓柱矢量波函數都是正交的，這些正交關系這里不再證明。

2 圓柱波導的并矢格林函數

(36)

式(36)中，求和指數m、n與關系式pnm=λa和qnm=μa相聯系，上式可簡化記為：

(37)

Nenμ(-h′)·Menλ(h)Benλ(h)]dV，

(38)

(39)

用Nonμ(-h′)、Menλ(-h′)和Monλ(-h′)分別與式(36)作前標積，同樣可分別求得其系數為：

(40)

(41)

(42)

四個系數可簡寫為：

(43)

(44)

(45)

假設磁型并矢格林函數為：

(46)

將式(45)和(46)代入DGF滿足的麥克斯韋方程[20]：

(47)

求解系數得：

(48)

(49)

將系數表達式(48)和(49)代入式(46)得：

(50)

用圍線積分法計算[21]，對TE模當：

(51)

根據式(50)解得：

(52)

對TM模，當：

(53)

根據式(50)解得：

(54)

(55)

式(55)中上行符號對應z>z′，下行符號對應z

(56)

式(56)中，kμ、kλ表示兩組模式相應的導波函數。

(58)

δ(r-r′)=δ(ρ-ρ′)δ(φ-φ′)，

(59)

(60)

(61)

(62)

式(62)中使用了兩個單位階躍函數為：

(63)

(64)

進一步推導得：

(65)

由廣義函數理論知：

?U(z-z′)=ezδ(z-z′)，

(66)

?U(z′-z)=-ezδ(z-z′)。

(67)

將式(66)、式(67)代入式(65)得：

(68)

利用式(60)，式(68)又可寫成：

(69)

式(69)對于所有ρ，φ，z值都適用，由于下式成立：

δ(ρ-ρ′)δ(φ-φ′)δ(z-z′)=δ(R-R′)。

(70)

把式(69)和式(70)代入式(61)得：

(71)

將式(55)代入式(71)得圓柱波導第一類電型DGF為：

(72)

3 結語

利用分離變量法獲得圓柱坐標系中的標量波函數，進而研究圓柱系中的矢量波函數，部分地證明這些函數的正交歸一化性質，利用這些性質并借助Ohm-Rayleigh方法詳細推證圓柱坐標系中圓柱波導的第一類電型并矢格林函數關系，利用此關系并借助第一、二類電型并矢格林函數對稱關系獲得第二類電型并矢格林函數，這些電型并矢格林函數對解決在圓柱波導壁上用開口孔徑場激勵的波導內場等問題可提供理論依據和指導方法[22]。