四元數神經網絡的固定時間同步分析

王增赟，宋嗣琪

(湖南第一師范學院 數學與統計學院，湖南 長沙 410205)

1 研究現狀

計算機神經網絡通過模擬人腦神經網絡的結構和功能進行信息處理，它具有很強的數據處理、聯想記憶功能和適應能力。在過去的幾十年里，相繼有學者提出了不同的神經網絡模型[1-5]。Isokawa等[5]首次提出了四元數神經網絡模型(QNN)。四元數神經網絡在圖像處理、色彩融合和聯想記憶等領域有獨特的優勢[6-8]。近年來，四元數神經網絡大部分研究成果都集中在平衡點和周期解的存在性及穩定性上[9-11]。文獻[9]詳細介紹了線性時標四元數微分方程的基本理論，包括解的存在性和穩定性。文獻[11]研究了四元數細胞神經網絡周期解的存在性和指數穩定性。

自1990年Pecora和Carroll提出驅動—響應同步概念以來，漸進/指數同步和有限/固定時間同步成為過去十幾年的熱門研究課題[12-14]。固定時間同步能夠刻畫兩個系統在任意初始誤差的情形下達到完全相同的狀態，因此研究神經網絡的固定時間同步具有重要的意義。近年來，研究四元數神經網絡的有限/固定時間同步的成果陸續出現[15-16]。文獻[15]研究了四元數神經網絡的固定時間同步，并設計魯棒反饋控制器實現了網絡的固定時間同步。文獻[16]介紹了憶阻四元數神經網絡模型，并設計了控制器來實現網絡的固定時間同步。然而，已有的成果都依賴于傳統的固定時間穩定性定理。

本文提出一個新的固定時間收斂定理，并給出嚴格的數學證明。隨后，基于該定理，分析了四元數神經網絡的固定時間同步。

2 四元數神經網絡模型與預備知識

2.1 四元數神經網絡模型

四元數神經網絡模型的主系統為：

(1)

式(1)的向量形式為：

接下來考慮四元數神經網絡模型的從系統為：

(2)

定義誤差系統為：

ep(t)=sp(t)-zp(t)。

(3)

利用Hamilton法則將誤差系統的實部和虛部分離，可得

(4)

2.2 預備知識

在進一步分析四元數神經網絡的固定時間同步之前，定義參數如下：

(5)

接下來，筆者給出固定時間同步的定義和一個有用的引理。

定義2.1 對任意的初始條件，存在不依賴于系統初值的時間變量，誤差向量滿足

引理2.1[17]如果x1，x2，…，xn≥0，0<ξ≤1，η>1，那么下面的不等式成立

3 固定時間收斂定理

下面介紹一個新的固定時間收斂定理。

(1)V(e(t))=0?e(t)=0，

(2)對于誤差系統的每個解，存在α，β，M>0，0<ξ<1和η>1，滿足

則誤差系統的零解可以實現固定時間吸引性。此外，設定時間的估計為：

(1)如果0<(M/α)1/ξ≤(α/β)1/η-ξ≤V(e(0))，對?s1，s2∈(0，V(e(0)))，可以得到

(2)如果0<(M/α)1/ξ≤V(e(0))≤(α/β)1/η-ξ，則

(4)如果0<(α/β)1/η-ξ≤(M/α)1/ξ≤V(e(0))，則

綜合(1)—(6)可得

注3.2 從證明過程可以看出，當M=0時，定理3.1也不能退化成傳統定理[18]。因此，本文的固定時間定理是一個新的固定時間定理。

4 固定時間同步分析

為了使系統(2)固定時間同步于系統(1)，設計下面的非線性控制器：

(6)

其中，p=1，2，…，n；δip是不確定的常數；σip，ρip，τip是正數，且0<ξ<1，η>1。

定理4.1 如果假設2.1成立，選擇合適的參數滿足下列條件：

δip≥ωip，i=1，2，3，4；p=1，2，…，n。

則系統(1)和系統(2)在控制器的作用下可以實現固定時間同步。此外，

下面證明在控制器的作用下，系統(1)和系統(2)可以實現固定時間同步。

證明：構造一個李雅普諾夫(Lyapunov)函數：

對V1(t)求導，由系統(4)可得

由基本不等式可得

(7)

由假設2.1和式(2)，可得

(8)

又

(9)

由式(7)、式(8)、式(9)可得

(10)

同理可得

(11)

由式(10)、求(11)和參數(5)可得

令

又0<(ξ+1)/2<1，(η+1)/2>1，若δip滿足定理4.1的條件，由引理2.1可得

由定義2.1和定理3.1，在控制器的作用下，系統(2)的固定時間同步于系統(1)。同步時間的上界為：

所以定理4.1得證。

5 數值模擬

下面用數值模擬的方法來驗證上述結論的正確性。

例考慮如下四元數神經網絡模型作為主系統：

(12)

接下來考慮從系統為：

(13)

定義誤差系統為ep(t)=sp(t)-zp(t)。

s1(0)=-3-1.2i+j-2.5k，s2(0)=2.1+0.5i-1.2j+0.3k。此外，其他參數為：

圖1 狀態變量zR1(t),sR1(t),zI1(t),sI1(t)在無控制器下的軌跡圖2 狀態變量zJ1(t),sJ1(t),zK1(t),sK1(t)在無控制器下的軌跡圖3 狀態變量zR2(t),sR2(t),zI2(t),sI2(t)在無控制器下的軌跡圖4 狀態變量zJ2(t),sJ2(t),zK2(t),sK2(t)在無控制器下的軌跡圖5 誤差變量eR1(t),eI1(t),eJ1(t),eK1(t)在控制器下的軌跡圖6 誤差變量eR2(t),eI2(t),eJ2(t),eK2(t)在控制器下的軌跡

根據定理3.1，主從系統達到同步的時間上限Tmax≈1.66 s。由圖5、圖6可知，主從系統在固定時間內可以達到同步。

6 結論

本文提出了一個新的固定時間收斂定理，并給出了時間上限，最后通過數值模擬證明了結論的有效性。由于固定時間同步與初始值無關，所以本文提出的新定理具有更強的實用性。