分式探秘

文／江蘇省無錫市梅里中學 甄 璽

在七年級上學期，我認識了整式，學會了整式的加減法；在七年級下學期，我學習了整式的乘法，唯獨沒學整式的除法；直到八年級下學期，我學習了分式，找到了分式與整式除法之間的關聯。那么，當分式與我們學過的其他知識碰撞在一起，會擦出什么樣的火花呢？下面，我們一起來欣賞一下。

一、分式與方程的碰撞——分類中的陷阱

例1若關于x的分式方程無解，求m的值。

【解析】解分式方程，就是把它轉換為整式方程。x2-4 可以分解因式，得（x+2）（x-2），方程兩邊同時乘最簡公分母，這樣去掉分母后就變成了整式方程2x+4+mx=3x-6，解得。分式方程無解有兩種情況：①方程出現增根，②去分母后的整式方程無解。若分式方程有增根，即原方程分母為0，即x=2 或-2，即x=或-2，得m=-4 或6；若去分母后的整式方程無解，即無解，此時1-m=0，得m=1。綜上所述，m=-4 或6 或1。解決此題的關鍵是理解分式方程無解的含義，從而避開題中的陷阱。

二、分式與不等式的碰撞——轉化中的曲折

例2如果關于x的不等式組有且僅有四個整數解，且關于y的分式方程有非負數解，求符合條件的所有整數m的和。

【解析】首先把不等式組的解集求出來，得可得四個整數解分別為-3，-2，-1，0，所以，解得2≤m＜7。把轉化成整式方程2-my+8=2-y，解得。有非負數解，則解得m＞1。因為原方程中2-y≠0，即y≠2，即，即m≠5。結合不等式組的解集2≤m＜7，可得m取值范圍為2≤m＜7 且m≠5，m的整數解為2，3，4，6，和為15。此題中，不等式組有有限個特殊解，分式方程有特殊解，分式有意義，分母不等于0……都是本題的易錯點。分式與不等式的碰撞，讓我們的解題更加“步步驚心”。

三、分式與連等式的碰撞——消元中的對稱

例3已 知 實 數a，b，c滿 足，求的值。

【解析】把設，則ak=b+c，bk=a+c，ck=a+b，將三式相加得2（a+b+c）=k（a+b+c）。此時分類討論：

①若a+b+c=0，則a+b=-c，b+c=-a，

②若a+b+c≠0，則k=2，所以b+c=2a，a+c=2b，a+b=2c，得

此類連等式題中未知數較多，解決時最重要的就是消元。我們可以利用其對稱性解決此題。

初中數學分為代數、幾何、統計、概率四大板塊，每一塊中又有許多不同的知識點。知識點并不是單獨存在的，而是互相聯系，互相依存。我們只有把不同的知識點串聯起來，形成體系，才能更全面、更深刻地理解知識，從而把數學學好、學深、學透。

教 師 點 評

小作者從整式的加、減、乘法說起，揭開分式與整式之間的關聯，說明他已理清本章知識從哪里來，怎么形成的，又將到哪里去的問題。同時，小作者能以本章的易錯點及重難點為突破口，從方程、不等式、連等式三個角度對分式進行深度剖析，使得分式的學習更加精準有效。