分數到分式，特殊到一般

文／浦敘德

為了幫助同學們全面系統地掌握本章知識技能和思想方法，領會知識內涵和本質，老師將從下面三個方面來加以剖析。

一、認清分式概念的本質

我們七年級學過“用字母表示數”的相關知識，所以，從分數到分式，實際上就是由特殊的數走向一般的式；我們還學過整式，知道單項式和多項式統稱為整式，并由此得到了分式。由此可見，分式與分數、整式有著千絲萬縷的聯系。我們既可以把分式看成是分數的一般化，又可以將其看成是兩個整式之間的特殊除法。另外，整數和分數統稱為有理數，同理，整式與分式統稱為有理式。由此充分說明，數與式及其發展是一脈相承的，數式之間相同的性質，簡稱數式通性。

二、掌握分式性質和運算

既然從分數到分式是從特殊到一般，那么，我們學習分式就要利用數學的類比思想，從分式的源頭——分數出發，設法把新知識（分式的問題）轉化為舊知識（分數的問題）。可見，在本章學習中，特殊到一般、類比、轉化就是最重要的數學思想方法。

下面以“異分母分式相加減”為例具體說明。我們可以從圖1看到異分母分式的加減是如何一步步通過類比和轉化，變成我們完全熟悉的整式加減，最后變成最簡單的整數加減。

圖1

三、學透分式方程及應用

初中代數的知識分為數、式、方程、不等式、函數五塊。如果引進負數是初中代數的第一次飛越，那么從數走向式，就是初中代數的第二次飛越。我們學習數與式，歸根結底是為學習方程、不等式和函數等知識奠基。因此，分式方程可以認為是分式的數學運用，而用分式方程解決實際問題又可以認為是分式的實際應用，兩者都體現了分式的價值。

在學習分式方程時，我們自然會聯想到整式方程。通過類比，我們可以發現，分式方程比整式方程多了一個含有未知數的分母，所以，分式方程必須要檢驗，避免分母為0 時式子無意義。另外，分式方程的解法步驟中，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1，與整式方程的解法步驟唯一不同的是去分母。整式方程去分母是方程兩邊同時乘各分母的最小公倍數，而分式方程是方程兩邊同時乘各分母的最簡公分母。一旦去分母成功，分式方程就變成了整式方程。因此最簡公分母中必定含有未知數，所以，這個最簡公分母的值可能為0，這是分式方程會產生增根的本質原因。如果求出的未知數的值使最簡公分母為0，那么這個未知數的值就是原方程的增根，否則就是原方程的根。

利用分式方程解決實際問題，跟前面所學的用一元一次方程、二元一次方程組等各類方程來解決實際問題一樣，都是根據題目中的等量關系，設法把實際問題抽象、建模成數學中的方程問題，然后利用方程的知識進行求解。由于分式方程的特殊性，求出來的解需要先檢驗是不是原分式方程的解，再檢驗是不是實際問題的解。

從上面的研究我們可以看出，分式來源于分數，也可以看成來源于整式；分式的基本性質來源于分數的基本性質；分式的加減、乘除、乘方運算來源于分數的相應運算；分式方程是分式的運用和應用，但在解決問題時還是要回歸整式方程。這樣全面、整體的認識，會讓我們覺得分式的學習非常自然和簡單。可見，學好數學，一要抓住新舊知識的聯系，從舊知走向新知；二要學會用數學的思想方法來思考，學會類比、轉化等重要的思想方法；三要用整體的視角來進一步構建新的知識體系，從更高視角認識每一個知識板塊。只有這樣，我們的數學學習才會更加生動有趣。