數學建模思想應用于微積分的教學實踐

陳梅香 謝溪莊

[摘 要] 常微分方程是微積分課程中的重要組成部分，在自然科學和社會科學中有著廣泛的應用。針對微分方程教學過程中存在的問題，提出解決的可行性方案，再以可分離變量的微分方程為例，以數學建模思想為導向，將抽象的理論知識附著在實際問題中，讓學生在應用的背景中學習、理解可分離變量微分方程的求解及其應用，提高他們學習數學和應用數學的能力。

[關鍵詞] 微分方程;數學建模;可分離變量方程;Matlab工具

[基金項目] 2020年度福建省教育廳境外生公共數學教育教學改革項目（FBJG20200181）; 2021年度第三批華僑大學一流本科課程建設項目

[作者簡介] 陳梅香（1984—），女，福建泉州人，博士，華僑大學數學科學學院講師，主要從事數值線性代數研究。

[中圖分類號] G642 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）20-0141-04 [收稿日期] 2021-01-19

高等數學的主要內容是微積分，而微積分是以極限為基本思想和基本運算來研究實數集上的函數[1]。微分方程則是高等數學的重要組成部分，它是數學聯系實際，并應用于實際的重要途徑和橋梁。在反映客觀現實世界運動過程的量與量之間的關系中，大量存在著滿足微分方程關系式的數學模型，需要通過求解微分方程來了解未知函數的性態，從而精確地表述事物變化所遵循的基本規律[2，3]。例如：牛頓在研究天體力學和機械動力學時，就利用了微分方程這一工具，從理論上得到了行星的運動規律;法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發現的海王星的位置等，這些都使數學家和物理學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量。

數學建模是人們應用數學方法探討自然現象、社會現象、工程技術以及日常生活中的實際問題的過程，是聯系數學與應用的重要橋梁[4，5]。作為數學走向應用的最初一步，事實上，數學建模與數學學科本身有著同樣悠久的歷史。從古希臘數學家歐幾里得的幾何原本，到根據大量天文觀測數據總結出來的行星運動的三大定律;從牛頓和萊布尼茲創立的微積分，到流體力學以及量子力學中的微分方程，無一不是揭露了事物本質的數學模型。隨著計算機技術的發展，數學迅速地進入了自然科學和社會科學的各個領域，為數學建模開拓了廣闊的用武之地。將數學建模引入到微積分，尤其是常微分方程的教學中，為數學與外部世界的聯系提供了一種更有效的方式。讓學生學習和品味數學是如何從實際問題中提煉出來，是如何應用于實際問題的，這也是傳統的教學課堂和教材上所缺少的，這必將啟迪學生們的數學心智，促使他們更好地學習、理解、應用數學，這對于學生的“學以致用”和“用以致學”都是一件很有意義的事情。

一、高等數學中微分方程課程教學存在的問題

對于非數學專業的學生來說，一般是在學習完一元函數的微分學和積分學后開始接觸微分方程。然而，不少同學對微分方程這一知識體系的學習卻覺得有些吃力，知識點的理解有些困難，往往只會一些簡單方程的計算，而且很多時候也是生搬硬套書上的公式，談不上對知識點的理解，其主要原因主要有以下三個方面。

（一）很多教材過于理論化、抽象化

數學中的基本概念、基本公式和基本定理大多來源于實際生活中的具體問題，再經過分析、總結，最后用數學語言描述形成數學理論。很多高校都是選用《高等數學》作為非數學專業學生系統學習微積分和微分方程的教材。與更加理論化、專業化的《常微分方程》相比，《高等數學》顯得更加簡單、系統，而且授課的學時也較少。然而，很多教材在微分方程這一知識體系上的內容介紹過于理論化、抽象化，導入的問題和分析的案例比較陳舊和單薄，與實際應用的關聯度較少，這就使得學生對微分方程的學習和理解比較困惑，在腦海中呈現出來的都是如何計算微分方程，只停留在微分方程理論知識的表面，不懂得如何學以致用。

（二）課堂教學上重理論輕應用

在微分方程的課堂教學上很多都是依據教材、按部就班，教學內容過于理論化、公式化，形式化，與實際應用聯系不夠緊密;教學方法單一，與現代信息技術手段的結合較少，課堂比較枯燥無味;有些教師又過分地依賴于多媒體授課方式，未有足夠的時間給予學生思考、理解，有種“學術報告”的感覺。而且，一般在介紹微分方程這部分內容的時候，已臨近期末，時間緊，任務重。在教學進度、學習任務各方面的壓力下，學生在教學課堂上常常有種“滿堂灌、聽不懂、很凌亂”的感覺，學習效率低下，整個課堂效果不甚理想。

（三）學生的學習興趣不濃、積極性不夠

高等數學的知識體系是環環相扣、緊密相連的，而知識的學習是一個從接觸、學習、鞏固、提高到熟練掌握的過程。大一的新生剛從中學過來，對老師的依賴性比較大，習慣了中學期間重復性的做題、訓練、講解，從而完成對知識點的理解和掌握，還未能很好地適應大學的學習生活。對于高等數學的學習，總感覺“概念多、定理多、理論性強、實際應用少”。尤其是進入大學階段后，整體管理較為輕松，缺乏群體學習的壓力和激勵，一旦教師授課手段或方式缺乏多樣性，學生就容易出現疲倦狀態，學習動力不足，學習效果不好。一旦沒有微分學和積分學的堅實基礎，對于微分方程的學習自然是一頭霧水、云里霧里。

二、微分方程教學中融合數學建模思想的思考

高等數學內容豐富，難度大，課時少，需要學生有著更高的理解、分析和邏輯推理能力。同時，作為教師則需要幫助學生轉變學習方式，幫助他們從“被動學習”到“主動學習”。微分方程作為微分學和積分學在理論上的推廣及應用，在很多學科領域都有著重要的作用，是研究和解決很多實際問題的有力工具。下面以可分離變量的微分方程為例，結合筆者多年來在高等數學與數學建模的教學經驗，對數學建模思想應用于微分方程教學提出如下可供參考的建議。

（一）源于教材，高于教材

現有微積分教材中關于微分方程知識體系，雖有著內容的完整性和理論的嚴謹性，但較為抽象，案例較為陳舊。在教學過程中，應以數學建模思想為導向;以學以致用、用以致學為目標;對理論知識進行探究、再加工;使之簡單化、易理解。可以尋找一些與知識點相關，又源于生活、生動新穎，內容豐富、啟示性強的案例進行建模示范，將抽象的理論附著在現實的背景中，讓學生在應用情境中認識微分方程、學習和掌握微分方程的理論及其應用。

（二）活躍課堂教學，提高課堂效率

在課堂教學中，根據引入的實際案例，設置懸念、創設問題情境、讓學生參與討論、引導學生思考問題、解決問題，激發學生的學習樂趣。此外，還可分享一些理論知識背后的歷史背景和數學家故事，消除課堂教學上的疲倦感，緩解理論學習的壓力，培養他們追根溯源、發散思維的能力。

（三）借助Matlab工具和數形結合思想，提升直觀想象能力

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，分析研究對象的性質及變化規律。通過圖形構建數學問題的直觀模型，將數學理論知識的呈現可視化，進而探索、發現并解決問題，這是學習數學和應用數學的很有效方法。同時，這也需要在課堂教學上整合信息技術、數學軟件、數學模型等多種資源，豐富課堂教學方式，使學生從感官上獲得認知，內化為對實際問題的理性思考。其中，Matlab工具在理論知識的可視化，提升學生直觀想象能力等方面都扮演著很重要的角色。Matlab作為方便使用、功能強大的數學軟件之一，具有強大的數值運算和圖形可視化功能。尤其在微分方程方面，Matlab不僅可以求解微分方程的解析解，還可以求解微分方程的數值解、估計方程中的參數、檢驗微分方程與實際數據的吻合情況以及實際問題的仿真。當然，它還可以很輕松地將微分方程中蘊含的解函數以二維圖形或三維圖形的形式呈現出來。這樣，不僅可以把很多實際問題和研究對象變得具體化、形象化，使學生從復雜的數學理論的理解轉化為對圖形的理解，加快、加深學生對知識點的學習、理解及應用，豐富課堂教學內容，調動學生的學習積極性，進一步地培養學生的觀察、分析、直觀想象的能力。

三、情景再現——實例分析

函數刻畫的是事物間的相關性，是用來描述“關系”或“變化”的工具。而導數是研究函數增減、變化快慢的最有效的工具，通俗地講是研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度。微分方程則是聯系自變量、未知函數及其變化率（導數）的關系式。事實上，微分方程是一個數學建模的過程，是一個源于實際，應用于實際的一個重要數學工具。它能夠較好地捕捉一些實際問題中蘊含的變量之間的聯系，進而形成微分方程這一數學語言，只要求出這一方程的解函數或獲得解函數的性態，便可獲悉該實際問題背后的自然規律，幫助人們解決實際問題。下面，我們以人口模型為例，結合Matlab工具的數值分析，以期讓學生在具體的應用情境中學好可分離變量微分方程的計算、求解及應用知識。

（一）問題的引入

有個地區，人口的相對增長率是個常數，即單位時間內人口的增長量與人口成正比，假設這一比例系數為r，那么該地區人口數量隨時間是如何變化的？

（二）數學模型

①建立微分方程：假設該地區初始時刻的人口為N（0）=N0，時刻t的人口為N（t），那么在時刻t到t+Δt這段時間內人口的增長量為：N（t+Δt）-N（t）=rN（t）Δt，上式兩端同除以Δt并令Δt→0時，可得如下微分方程：

? ?（1）

②引入可分離變量微分方程的求解：在自然科學和社會科學各個領域有一類常見的方程，其形式如下：

g（y）dy=f（x）dx，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

我們稱之為可分離變量微分方程。

提問：這樣形式的微分方程有什么特征？

對于可分離變量方程，可知其解等價于積分方程的解（詳見文獻[1-3]，在板書上詳細推導），因此只需求出g（y）和f（x）的原函數，即可得到方程（2）的通解。若方程（2）還滿足初始條件，便可進一步得到該方程的特解。

③模型的求解和Matlab數值分析：方程（1）顯然是一個可分離變量方程，經變量分離并對方程兩邊取不定積分后可得：N（t）=N0ert。

討論：這個函數關系式能說明什么現象，揭示什么規律？

這個函數關系清晰地表明了人口數量與時間的變化關系。借助Matlab工具，取N0=30.6，r=0.02，可在平面上畫出人口數量關于時間的函數曲線。不難看出，人口數量呈現出指數增長的變化趨勢，而且每34.6年會增加一倍。

④背景知識和歷史的檢驗：方程（1）就是經典的馬爾薩斯人口模型，最早由英國著名的人口學家馬爾薩斯在1798年提出。他在擔任牧師期間，查看當地一百多年的人口出生資料發現了一個規律：該地區人口的相對增長率是個常數，便建立該模型，用以分析人口數量的變化情況。與歷年的世界人口統計資料對比，可發現人口增長的實際情況在一定時期內與馬爾薩斯模型預報的結果是基本相符的。例如，1961年世界人口數為30.6億，人口增長率約為2%，人口數大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961年的260年人口實際數量，發現兩者幾乎完全一致。

（三）模型的改進

①新問題：按照馬爾薩斯人口模型，人口數量將呈現幾何級數的方式增長。可以計算到2510年，人口將達到2×1014，這是不現實的，因此模型（1）在人口數量不太大的時候是合理的，而長時間來看，又是不吻合的。隨著人口的增加，自然資源、環境條件等因素會對人口繼續增長的阻滯作用越來越顯著。

②新模型：因為人口增長率會隨著人口的繼續增加而減少，一個簡單的方法是將增長率看成N（t）的一次函數，即如下新模型：

（3）

這里r表示自然增長率，表示資源環境阻滯人口增長，Nm表示環境容納量。

③新模型的求解和Matlab數值分析：方程（3）仍是一個可分離變量方程，這個方程也稱為Logistic模型。經變量分離求解可得：

（4）

該函數清楚地揭示了人口數量與時間的變化關系。借助Matlab工具，記1961年為t=0時刻，即N0=30.6億，并取r=0.0243，Nm=150億，可在平面上畫出人口數量關于時間的函數曲線，不難獲悉人口數量隨著時間的變化先是指數上升，后來則趨于平穩，說明人口數量不會無限制地增長。

④真實數據的檢驗：取t=39和t=59時，分別對應于2000年和2020年，根據函數關系（4）式可求得N（39）=59.7，N（59）=77.7，即2000年和2020年世界人口數量分別為59.7億和77.7億，這與聯合國人口基金會發布的世界人口報告中的61.14億和77.62億是基本一致的。

結語

為了讓學生領悟高等數學的本質及應用的精髓，激起學生學習數學的興趣和積極性。本文從微分方程教學過程中出現的問題出發，結合筆者多年來的高等數學和數學建模教學、輔導經驗，提出將數學建模思想融合于微分方程的教學中。并通過具體的人口實例，充分利用數學建模的方法，讓學生清晰地看到微分方程可以從哪里來，如何分析、求解，又如何回到實際問題中，也讓學生明白微分方程不只是一個計算的過程，而是一個數學建模的過程，可以很好地應用于我們日常生活中的許多問題，并逐漸地理解微分方程研究的目標是微分方程驅動下的函數性態和函數曲線規律，而不單純地是一個抽象的數學概念。

參考文獻

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[2]王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006：30-42.

[3]東北師范大學數學系.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2005：1-17.

[4]姜啟源.數學建模案例精選[M].北京：高等教育出版社，2017：1-27.

[5]譚忠.數學建模：問題、方法與案例分析[M].北京：高等教育出版社，2018：137-155.

Application of Mathematical Modeling Idea in Calculus Teaching Practice： Taking the Differential Equation of Separable Variables as an Example

CHEN Mei-Xiang， XIE Xi-zhuang

（School of Mathematical Science， Huaqiao University， Quanzhou， Fujian 362021， China）

Abstract： The ordinary differential equation is an important part of Calculus， which is widely used in natural science and social science. In this paper， we present the feasible solutions for the problems in ordinary differential equation teaching. Furthermore， taking the variable separable differential equation as an example， we focus on how to apply the practical problems into the abstract mathematical theoretical knowledge guided by the idea of mathematical modeling， which can make students study better in this environment and understand the solving of variable separable differential equations. Meanwhile， it can improve students’ ability to study mathematics and apply mathematics.

Key words： differential equation; mathematical modeling; variable separable differential equations; Matlab tools