發生函數在組合恒等式證明中的應用

◎羅志敏 (江門職業技術學院教育與教育技術系，廣東 江門 529090)

1 引言

組合恒等式是組合數學研究的重要內容，它在概率論、計算機算法、工程計算等諸多領域有著廣泛的應用，因此它引起了許多數學工作者的興趣.發生函數又稱為母函數或生成函數，是解決離散數學問題的有效工具.我們運用發生函數也可巧妙地將離散和連續問題有機結合.將發生函數應用于組合恒等式的研究，可以突破組合恒等式的一些機械化證明，大大減少計算量.本文首先給出了發生函數的基本定義，然后簡述利用發生函數解決問題的基本思路，最后運用發生函數證明了一些組合恒等式.

2 基本定義、方法概述與引理

首先介紹形式冪級數.所謂形式冪級數，是指形如a0+a1x+a2x2+…的表達式.其中{an}n∈N為形式冪級數的系數序列.

引理1(組合變換互逆公式)：設g(x)為任一函數，f(n)定義如下：

則有

這里f(0)=g(0)，且也可由g(n)推出f(n).

3 發生函數法的應用

以下給出幾個關于組合恒等式的命題，展示發生函數的具體應用.

證明取發生函數f(x)=(1+x)n，x∈(-1,1)，同時，

f(x)=(1+x)n

(1)

f(x)=(1+x)n

(2)

將(1)式用2n替換n，有：

證明取發生函數f(x)=(1-x)2n，g(x)=(1+x)2n，x∈(-1,1)，同時，

(3)

(4)

將(3)(4)式對應相乘有：

對于(3)式，用x2替換x可得：

將以上兩等式兩邊對應相加可得：

(ⅱ)當n≠1時，取發生函數f(x)=-(1-x)n，將f(x)展開可得：

則原命題成立.

證明(1)對于任意的n∈N,當m=0和m=1時，等式成立是明顯的.

(2)當m≠0,1時，以下用數學歸納法證明等式也是成立的：

所以當m=s+1時，等式成立.由數學歸納法可知原命題成立.

證明取發生函數f(x)=(1+x)n，對f(x)求p(n≥p)階導數有：

f(p)(x)=n(n-1)·…·(n-p+1)(1+x)n-p

(ⅰ)當n>p時，取x=-1，則有

將f(x)在[0,1]積分有：

將f(x)做如下表示：

同樣對此f(x)在[0,1]積分有：

綜合以上可知原命題成立.

證明當|x|<1時，有如下冪級數展開式：

取發生函數：

=(1-x)-n-1·(1-x)-m-1=(1-x)-n-m-2

最后令n+r=q，m+p-r=k-q，則有n+m+1+s=k+1，于是可以得到：

將上式中的q改寫成r，即可得原命題成立.

=f(n).

再由引理1中f(n)與g(n)的互逆性，可以得到：

注：以上幾個命題如果僅用組合數的運算性質來證明，將會非常煩瑣，由此可見發生函數法在解決組合數問題中的優越性.