一道錯題的求證與警示

◎王永軍 (重慶市廣益中學校，重慶 南岸 400065)

一、預備知識

下面給出本文用到的一些公式、結論.

(一)三角函數誘導公式與變換公式

2.sin(-α)=-sinα.

3.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

4.sin 2α=2sinαcosα，

cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.

(二)比例性質與均值不等式

1.合分比性質：

2.均值不等式：

Gn≤An，等號成立，當且僅當所有ai都相等.

(三)三角形中的一些結論

在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

1.A+B+C=π，sinA=sin(B+C).

其他兩種形式：sinB=sin(C+A)、sinC=sin(A+B).

3.余弦定理：c2=a2+b2-2abcosC.

其他4種形式：a2=b2+c2-2cbcosA，b2=a2+c2-2accosB.

事實上，

sinA+sinB+sinC

=sinA+sinB+sin(A+B)

=sinA+sinB+(sinAcosB+cosAsinB)

=sinA(1+cosB)+sinB(1+cosA)

6.sin 2A+sin 2B+sin 2C=4sinAsinBsinC.

事實上，

sin 2A+sin 2B+sin 2C

=sin 2A+sin 2B+sin 2[π-(A+B)]

=sin 2A+sin 2B-sin(2A+2B)

=sin 2A(1-cos 2B)+sin 2B(1-cos 2A)

=2sinAcosA·2sin2B+2sinBcosB·2sin2A

=4sinAsinB(cosAsinB+cosBsinA)

=4sinAsinBsin(A+B)

=4sinAsinBsinC.

7.三角形中兩邊之和大于第三邊；三角形中兩邊之差小于第三邊；三角形中大邊對大角；三角形中大角對大邊.

二、原題重現

A.a+b+c=4

B.R=6

三、經典解答

這是一道多項選擇題，涉及的知識點很多、很深，解題難度很大.現在結合題干(題目條件)、選項(判斷正誤)進行發散思維、展開聯想，力求突破求解.

(一)選項分析

對于選項A，由△ABC的內切圓半徑(r)、面積(S△ABC)與周長(a+b+c)建立聯想.

acosA+bcosB+ccosC

=2RsinAcosA+2RsinBcosB+2RsinCcosC

=Rsin 2A+Rsin 2B+Rsin 2C

解得R=6.選項B正確.

對于選項C，由正弦定理、選項A、選項B、合分比性質進行驗證.

事實上，

即有，

綜上分析，本題應該選擇選項ABD.其實這是一道錯題！因為這樣的△ABC根本就不存在！

(二)錯在哪里

考慮△ABC的三邊a，b，c，從(一)的求證過程中已經得到，

a+b+c=4，abc=144.

由均值不等式，

四、改進意見

在命制數學問題的時候，常常借用特定的模型(如正三角形)作為背景材料，因為這樣可以有效地回避“錯題”.

上述問題可以改進如下：

R=6，

sin 2A+sin 2B+sin 2C=2.

五、教學警示

(一)精彩的練習題

作為平時教學中的練習題，教師可以讓學生在各個知識點的交匯處進行綜合練習，努力提升學生的數學學科素養，讓數學核心素養落地有根.

三角函數的變換形式各異、精彩紛呈，是處理三角函數問題的基本工具之一.變換中要注意定義域、值域的適用條件、適用范圍的變化，防止出現“錯題”.教師在教學中要有意培養學生的思辨意識，要敢于挑戰權威、大膽質疑，努力培養學生的創新性思維品質.下面再看一個補充例題：

解析：本題的“標準答案”為ACD.原因如下：

先求出C.

下面來分析題目中其他的條件，再來分析角A，B.

注意到sinC>sinA，故c>a，從而C>A，這表明A為銳角，于是

這表明△ABC中的三個內角已完全確定，下面考慮△ABC的三邊之長.

對嗎？

這里求解的全過程都是完美的、是絕對正確的！那錯在哪里呢？錯在△ABC根本就不存在！

(二)精致的測試題

數學的測試題、考試題是準確的、精致的，科學性是命制數學問題的首要前提.試題的正確性是命制數學問題的根本要求.試想一道“錯題”，不管多么“綜合”、多么“高深”、多么“華美”，實際上都是舍本求末、無稽之談.數學測試中“錯題”對學生的傷害是巨大的、顯而易見的：影響測試時的心情、喪失后繼學習的興趣.

教師在命制與三角形相關的試題時，最好先設置好“框框”(模型)，再去“填空”，減少命制試題的盲目性，做到有據可依、有本有源.